安徽省合肥2018-2019学年高二第二学期期中考试理科数学试卷（解析版）.pdf

合肥一六八中学合肥一六八中学 2018/20192018/2019 学年第二学期期中考试学年第二学期期中考试 高二数学（理）试卷高二数学（理）试卷 一、选择题一、选择题: :本大题共本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题所给出的四个选项中，只有在每小题所给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1.已知 i 是虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】A 【解析】 分析：先将复数化为代数形式，再根据共轭复数的概念确定对应点，最后根据对应点坐标确定象限. 详解：因为，所以 所以,对应点为，对应象限为第一象限， 选 A. 点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如 . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数 的实部为 、虚部为 、模为、对应点为、共轭为 2.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点， 因为函数在处的导数值，所以，是函数的极值点.以上推理中( ) A. 大前提错误B. 小前提错误 C. 推理形式错误D. 结论正确 【答案】A 【解析】 【分析】 使用三段论推理证明，我们分析出“对于可导函数，若，且满足当和时导函数值 异号时，此时才是函数的极值点” ，得出答案. 【详解】对于可导函数，若，且满足当和时导函数值异号时，此时才是函 数的极值点，所以大前提错误 故选 A 【点睛】本题主要考查了三段论以及命题的真假，属于基础题. 3.函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析：先求导数，再求导数小于零的解集得结果. 详解：因为 ，所以 因此单调递减区间为（0,1）， 选 B. 点睛：求函数的单调区间或存在单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想. 4.由曲线,直线及 轴所围成的平面图形的面积为( ) A. 6B. 4C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先求可积区间，再根据定积分求面积. 【详解】由,得交点为， 所以所求面积为，选 D. 【点睛】本题考查定积分求封闭图形面积，考查基本求解能力，属基本题. 5.利用数学归纳法证明“”时，从“”变到“ ”时，左边应増乘的因式是 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据“”变到“”变化规律确定选项. 【详解】因为时，左边为,时左边为 ,因此应増乘的因式是 ，选 D. 【点睛】本题考查数学归纳法，考查基本分析求解能力，属基本题. 6.给出一个命题 ：若 ，，，且 ，则 ， ， ， 中至少有一个 小于零．在用反证法证明 时，应该假设 ( ) A. ， ， ， 中至少有一个正数B. ， ， ， 全为正数 C. ， ， ， 全都大于或等于 D. ， ， ， 中至多有一个负数 【答案】C 【解析】 【分析】 根据否定结论得结果. 【详解】 ， ， ， 中至少有一个小于零的否定为 ， ， ， 全都大于或等于 ，所以选 C. 【点睛】本题考查反证法，考查基本分析判断能力，属基本题. 7.三角形的面积为， （为三角形的边长， 为三角形的内切圆的半径）利用类比推理， 可以得出四面体的体积为 ( ) A. （为底面边长） B. （分别为四面体四个面的面积， 为四面体内切球的半径） C. （ 为底面面积， 为四面体的高） D. （为底面边长， 为四面体的高） 【答案】B 【解析】 【分析】 根据类比规则求解. 【详解】平面类比到空间时，边长类比为面积，内切圆类比为内切球，调节系数也相应变化， 因此四面体的体积为（分别为四面体四个面的面积， 为四面体内切球的 半径） ，选 B. 【点睛】本题考查类比推理，考查基本分析推理能力，属基本题. 8.函数，正确的命题是（ ） A. 值域为B. 在 是增函数 C. 有两个不同的零点D. 过点的切线有两条 【答案】B 【解析】 【分析】 利用导数研究函数值域、单调性、零点与切线. 【详解】因为，所以， 因此当时在上是增函数，即在上是增函数； 当时在上是减函数，因此；值域不为 R; 当时,当时 只有一个零点，即只有一个零点； 设切点为，则，所以过点的切线只有一条； 综上选 B. 【点睛】本题考查利用导数研究函数值域、单调性、零点与切线，考查基本分析求解能力，属中档题. 9.设,，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先研究函数单调性，再比较大小. 【详解】,令，则 因此当时，即在上单调递减， 因为，所以，选 A. 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，考查基本分析判断能力，属中档题. 10.已知函数图象上任一点处的切线方程为，那么函数 的单调减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据导数几何意义得导数，再解不等式得结果. 【详解】由题意得，因此由得或，选 D. 【点睛】本题考查导数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题. 11.关于函数，下列说法错误的是 A. 是的最小值点 B. 函数有且只有 1 个零点 C. 存在正实数 ，使得恒成立 D. 对任意两个不相等的正实数，若，则 【答案】C 【解析】 ,∴(0,2)上,函数单调递减,(2,+∞)上函数单调递增， ∴x=2 是 f(x)的极小值点，即 A 正确； ,∴, 函数在(0,+∞)上单调递减,x→0,y→+∞, ∴函数有且只有 1 个零点，即 B 正确； ,可得令则， 令,则,∴(0,1)上,函数单调递增,(1,+∞)上函数单调递减， ∴， ∴在(0,+∞)上函数单调递减，函数无最小值， ∴不存在正实数 k,使得 f(x)kx 恒成立，即 C 不正确； 对任意两个正实数,且,(0,2)上,函数单调递减,(2,+∞)上函数单调递增,若,则， 正确。

故选：C. 点睛：不等式的存在问题即为不等式的有解问题，常用的方法有两个： 一是，分离变量法，将变量和参数移到不等式的两边，要就函数的图像，找参数范围即可； 二是，含参讨论法，此法是一般方法，也是高考的热点问题，需要求导，讨论参数的范围，结合 单调性处理. 12.已知函数是定义在 R 上的增函数, ,,则不等式的解集为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先构造函数，再化简不等式，最后根据函数单调性解不等式. 【详解】令，则， 因此不等式化为选 A. 【点睛】本题考查利用导数解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题. 二、填空题二、填空题: :本大题共本大题共 4 4 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,满分满分 2020 分分. . 13.已知，则 的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】 根据定积分几何意义得结果. 【详解】因为表示半个单位圆（上半圆）的面积，所以 【点睛】本题考查定积分几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题. 14.已知既成等差数列，又成等比数列，则 的形状是_______. 【答案】等边三角形 【解析】 【分析】 根据等差数列与等比数列解得关系，进而确定形状. 【详解】由题意得，即的形状是等边三角形. 【点睛】本题考查三个数成等差数列与等比数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 15.设 为实数，若函数存在零点，则实数 的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】 首先令函数，并求出函数的定义域，对函数求导，确定出函数的单调区间，从而求得 函数的最小值，进一步求得结果. 【详解】记函数， 由题意得：，解得， 所以函数的定义域为：， 在上恒成立， 所以在上是减函数，且， 所以函数的值域为：， 要使函数有零点，只需 在函数 的值域范围内即可， 所以， 故答案是：. 【点睛】该题考查的是有关将函数有零点转化为求函数的值域的问题，应用导数求得结果，属于中档题目. 16.如果函数在其定义域上有且只有两个数，使得，那么我们就称函数为 “双 函数” ，则下列四个函数中：①②③④，为“双 函数”的是 _______________．(写出所有正确命题的序号) 【答案】①③ 【解析】 【分析】 根据定义逐一验证选择. 【详解】①,有两解 ②;有一解 ③,;有两解 ④,有无数个解 综上填①③ 【点睛】本题考查新定义以及利用导数导数研究函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题. 三、解答题三、解答题: :共共 6 6 大题，写出必要的解答过程大题，写出必要的解答过程. .满分满分 7070 分分. . 17.已知复数． （1）若 为纯虚数，求实数 的值； （2）若 在复平面上对应的点在直线上，求实数 的值． 【答案】 （Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】 分析：（1）若 z 为纯虚数，实部为 0，虚部不为 0，求实数 a 的值； （2）求出 z 在复平面上对应的点的坐标，代入直线 x+2y+1=0，求实数 a 的值． 详解： Ⅰ 若 z 为纯虚数，则，且，解得实数 a 的值为 2； Ⅱ在复平面上对应的点， 在直线上，则， 解得． 点睛：对于复数，当且仅当 b=0 时，复数 a+bi(a、b∈R)是实数 a；当 b≠0 时，复数 z=a+bi 叫 做虚数；当 a=0 且 b≠0 时，z=bi 叫做纯虚数；当且仅当 a=b=0 时，z 就是实数 0 18.设数列的前 项之积为，并满足. （1）求； （2）证明：数列为等差数列. 【答案】 （1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据积项与通项关系的递推关系式，逐一代入得；（2）先归纳猜想，再根据数学归纳法证 明，最后根据等差数列定义证明结论. 【详解】(1)因为，所以, 相除得, 所以 （2）猜测：，并用数学归纳法证明： 当时，结论成立， 假设当时结论成立，即, 当时，,所以， 综上， 因此 ， ，所以数列为等差数列. 【点睛】本题考查数列通项公式、数学归纳法以及等差数列定义，考查基本分析论证与求解能力，属中档 题. 19.已知函数 在处有极值. （1）求函数的单调区间； （2）若函数在区间上有且仅有一个零点，求 的取值范围. 【答案】(Ⅰ)见解析 (Ⅱ) 【解析】 解：（Ⅰ） 由题意知：…………2 分 令 令 的单调递增区间是 单调递减区间是（-2，0）…………6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 为函数极大值，为极小值…………7 分 函数在区间[-3，3]上有且公有一个零点， 即…………10 分 ，即 的取值范围是…………12 分 20.（1）设是坐标原点，且不共线，求证：； （2）设均为正数，且.证明：. 【答案】 （1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）先根据点到直线距离求高，再根据三角形面积公式的结果， （2）根据基本不等式进行论证. 【详解】 （1）， B 到直线 OA 距离为 所以 （2）因为， 所以， . 【点睛】本题考查点到直线距离公式以及基本不等式，考查基本分析论证与求解能力，属中档题. 21.（本小题满分 14 分）已知函数． （Ⅰ）求函数的单调递增区间； （Ⅱ）证明：当时，； （Ⅲ）确定实数 的所有可能取值，使得存在，当时，恒有． 【答案】 （Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）． 【解析】 试题分析：（1）先求出函数的导数，令导函数大于 0，解出即可；（2）构造函数 F（x）=f（x）-x+1，先 求出函 F（x）的导数，根据函数的单调性证明即可；（3）通过讨论 k 的范围，结合函数的单调性求解即 可 试题解析：（1）得. 得，解得 故的单调递增区间是 （2）令, 则有 当时， 所以在上单调递减， 故当时，，即当时， （3）由（Ⅱ）知，当时，不存在满足题意。

当时，对于，有则 从而不存在满足题意 当时，令， 由得， 解得 当时，，故在内单调递增 从而当，即 综上吗，k 的取值范围是 考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用 22.已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）若存在与函数，的图象都相切。