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条件或结论的探究性问题.doc

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    • 初三复习教案模块 探究开放性问题 第一讲 条件或结论的探究性问题教学内容概要: 本讲主要研究中考中较为特殊的一类问题——因条件或结论引起的探究开放性问题,这类问题结论或条件都不确定,只要答案能够满足条件或结论的需求就可以了,因此此类问题较为简单,为学生进行自我学习与探索提供了很好的准备条件教学目标:1、教会学生了解条件或结论的探究性问题,懂得如何对此类题目进行审题、分析,能够找到此类题目的考查点,从而让学生自己掌握相关的解题方法2、能够让学生通过熟悉条件或结论的探究性问题,初步学会如何从条件或结论入手分析数学试题,体会试题中条件与结论的联系,从数学本质上理解数学题目的多样性与灵活性重难点:对条件或结论的探究性问题进行审题与分析,找到相关解题方法知识要点 开放型问题是指题目的条件或结论是发散的、不确定的,其解答往往不拘泥于单一的、固定的模式,它的特点是正确答案不唯一。

      条件或结论的开放型探究性问题主要包括条件开放型问题、结论开放型问题、条件结论同时开放型问题、过程开放型问题1、给出题目的结论,让解题者分析探索使结论成立应具备的条件,而满足结论的条件往往不是唯一的,这样的问题是条件开放型问题填写条件时,应符合题意或相关的概念、性质与定理2、给出问题的条件,让解题者根据条件探索相应的结论,而符合条件的结论往往呈现多样性,这样的问题是结论开放型问题得出的结论应尽可能用上题目及图形所给的条件3、问题的条件不完备,结论也具有开放性的题目,就属于条件结论同时开放型问题例题经典例1:如图1,在△ABC中,点D是BC的中点,作射线AD,段AD及其延长线上分别取点E、F,联结CE、BF请你添加一个条件,使得△BDF≌△CDF,并加以证明图1解:思路一:若添加DE=DF,在△BDF和△CDF中,BD=DC,∠FDB=∠EDC,DF=DE,由判定SAS得,△BDF≌△CDF思路二:若添加BF//EC,由平行线的性质定理得,∠FBD=∠ECD,在△BDF和△CDF中,BD=DC,∠FDB=∠EDC,∠FBD=∠ECD,由判定ASA得,△BDF≌△CDF思路三:若添加∠FBD=∠ECD,在△BDF和△CDF中,BD=DC,∠FDB=∠EDC,∠FBD=∠ECD,由判定ASA得,△BDF≌△CDF。

      思路四:若添加∠DFB=∠DEC,在△BDF和△CDF中,BD=DC,∠FDB=∠EDC,∠DFB=∠DEC,由判定AAS得,△BDF≌△CDF点评】本题是一道条件开放型问题,考查的知识点是全等三角形的判定因为三角形全等条件中必须是三个元素,而例1中,已知BD=DC,∠EDC=∠FDB,即已经确定一条边及此边相邻的一个角对应相等,根据全等三角形判定中的SAS、AAS、ASA,可以添加三类条件若用到判定SAS,可添加DE=DF;若用到判定ASA或AAS,可添加EC//BF或者∠DEC=∠DFB或者∠ECD=∠FBD(只要从以上条件中选出任意一个条件添加都正确)因此解这种开放问题的一般思路是:由已知的结论反思题目应具备怎样的条件,即从题目的结论出发,逆向追索,逐步探求例2:已知二次函数的图像如图所示,问由此图像中所显示的抛物线特征,可以得到二次函数的系数的哪些关系和结论 图2解:由图2知,二次函数的图像开口向下,得;与y轴交于正半轴处得,对称轴直线x=2,得,即。

      又∵对称轴直线x=2,即,得;从图中分析还知图像与x轴交于两点,得;当x=1时,,又∵,得;再将变形得,代入得,【点评】本题是一道结论开放型问题,考查的知识点是二次函数的图像与性质例2中,二次函数基本图像已经给出,从它的开口方向、对称轴范围以及与坐标轴的交点可先确定的正负性,再根据对称轴的具体数值可以讨论出系数与的关系本题结论不唯一,只要围绕之间的联系展开讨论,并且结论正确都可以因此解这种开放问题的一般思路是:充分利用已知条件或图形特征,进行猜想、类比、联想、归纳,透彻分析出给定条件下可能存在的结论,然后经过论证作出取舍例3:如图3,在△ABC中,AB=AC,过点A作GE//BC,角平分线BD、CF相交于点H,它们的延长线分别交GE于点E、G试在图中找出三对全等三角形,并对其中一对全等三角形给出证明图3解:图3中有五对全等三角形,分别是△BCF≌△CBD、△BHF≌△CHD、△BAD≌△CAF、△BAE≌△CAG、△ADE≌△AFG只要从以上全等三角形中任选一个都正确)1)证明△BCF≌△CBD在△ABC中,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB, 又∵角平分线BD、CF相交于点H,∴∠DBC=∠FCB在△BCF和△CBD中,∠ABC=∠ACB,BC=CB,∠FCB=∠DBC,∴△BCF≌△CBD(ASA)(2)证明△BHF≌△CHD。

      在△ABC中,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,又∵角平分线BD、CF相交于点H,∴∠DBC=∠FCB,∠ABD=∠ACF,又∵∠DBC=∠FCB,∴BH=CH在△BHF和△CHD中,∠ABD=∠ACF,BH=CH,∠FHB=∠DHC,∴△BHF≌△CHD(ASA)(3)证明△BAD≌△CAF在△ABC中,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,又∵角平分线BD、CF相交于点H,∴∠ABD=∠ACF,在△BAD和△CAF中,∠ABD=∠ACF,AB=AC,∠BAC=∠CAB,∴△BAD≌△CAF(ASA)(4)证明△BAE≌△CAG在△ABC中,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,又∵角平分线BD、CF相交于点H,∴∠DBC=∠FCB,∠ABD=∠ACF,又∵GE//BC,∴∠G=∠FCB,∠DBC=∠E,∴∠G=∠E在△BAE和△CAG中,∠ABD=∠ACF,AB=AC,∠E=∠G,∴△BAE≌△CAG(AAS)(5)证明△ADE≌△AFG在△ABC中,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,又∵角平分线BD、CF相交于点H,∴∠DBC=∠FCB,∠ABD=∠ACF,又∵GE//BC,∴∠G=∠FCB,∠DBC=∠E,∴∠G=∠E又∵GE//BC,∴∠GAB=∠ABC,∠ACB=∠EAC,∴∠GAB=∠EAC又∵GE//BC,∴∠G=∠FCB=∠ACF,∠DBC=∠E=∠ABD,∴AG=AC,AE=AB,∴AG=AE在△ADE和△AFG中,∠GAB=∠EAC,AG=AE,∠GAB=∠EAC,∴△ADE≌△AFG(ASA)【点评】本题也是一道结论开放型问题,考查的知识点是全等三角形的判定与性质。

      与例1不同的是,本题解题难点在于如何找出够数量的全等三角形并进行证明解这类题目要从图形与条件同时入手考虑,在例3中,从图形观察出,题目的背景图形是一个等腰三角形,根据对称性能发现有五组成对称性的三角形要证明这五组成对称性的三角形全等,又要从条件入手,条件多从角度出发,因此学生也要从SAS、AAS、ASA等与角有关的判定证明例4:如图4,四边形ABCD中,点E在边CD上,联结AE、BE给出下列五个关系式:①AD//BC;②DE=CE;③AE是∠DAB的角平分线;④BE是∠ABC的角平分线;⑤AD+BC=AB将其中的三个关系式作为题设,另外两个作为结论,构成一个命题用序号写出所有可能的真命题(书写格式如:如果…那么…),并给出证明图4解:第一种情况:①②③→④⑤证明一:如图5,延长AE、BC交于点F∵AD//BC,∴∠DAE=∠F,又∵∠DAE=∠EAB,∴∠EAB=∠F,AB=BF在△DAE和△CFE中,∠DAE=∠F,DE=EC,∠DEA=∠CEF,∴△DAE≌△CFE(AAS)∴AD=CF,AE=EF,又∵BF=BC+CF,∴AB=BF=BC+CF=BC+AD在△ABF中,AB=BF,AE=EF,∴BE是∠ABC的角平分线 图5 图6 图7证明二:如图6,过点E作EG//BC交AB于点G。

      ∵AD//BC//EG,∴∠DAE=∠AEG,又∵∠DAE=∠EAB,∴∠EAB=∠AEG,AG=GE,又∵AD//BC//EG,∴,又∵DE=EC,∴AG=GB,∴EG是梯形ABCD的中位线∴,同时,∴AB=AD+BC∵GB=GE,∴∠ABE=∠GEB,又∵EG//BC,∴∠GEB=∠EBC,∠ABE=∠EBC,即BE是∠ABC的角平分线 第二种情况:①②④→③⑤证明方法同第一种类似,也有两种方法证明一:如图7,延长BE、AD交于点H∵AD//BC,∴∠EBC=∠H,又∵∠ABE=∠EBC,∴∠ABE=∠H,AB=AH在△DEH和△CEB中,∠H=∠EBC,DE=EC,∠DEH=∠CEB,∴△DEH≌△CEB(AAS)∴DH=CB,HE=EB,又∵AH=AD+DH,∴AB=AH=AD+DH=AD+BC在△ABH中,AB=AH,HE=EB,∴AE是∠DAB的角平分线证明二:如图6,过点E作EG//BC交AB于点G∵AD//BC//EG,∴∠GEB=∠EBC,又∵∠ABE=∠EBC,∴∠GEB=∠ABE,BG=GE,又∵AD//BC//EG,∴,又∵DE=EC,∴AG=GB,∴EG是梯形ABCD的中位线∴,同时,∴AB=AD+BC∵GA=GE,∴∠BAE=∠AEG,又∵EG//AD,∴∠DAE=∠AEG,∠BAE=∠DAE,即AE是∠DAB的角平分线。

      第三种情况:①③④→②⑤证明一:如图5,延长AE、BC交于点F∵AD//BC,∴∠DAE=∠F,又∵∠DAE=∠EAB,∴∠EAB=∠F,AB=BF又∵BE是∠ABC的角平分线,∴AE=EF在△DAE和△CFE中,∠DAE=∠F,AE=EF,∠DEA=∠CEF,∴△DAE≌△CFE(ASA)∴AD=CF,DE=EC,∴BF=BC+CF =BC+AD证明二:如图6,过点E作EG//BC交AB于点G∵AD//BC//EG,∴∠GEB=∠EBC,∠DAE=∠AEG,又∵AE、BE分别是∠DAB和∠ABC的角平分线,∴∠GEB=∠ABE,∠DAE=∠EAG,∴AG=GE,GE=GB,∴,又∵AD//BC//EG,∴,又∵AG=GB,∴DE=EC,∴EG是梯形ABCD的中位线∴,∴AB=AD+BC剩下三种情况证法一样,不再加以详述点评】本题是一道条件与结论同时开放型问题,主要考查梯形的性质与中位线定理等几何知识,还涉及到全等三角形的判定与性质本题难度较高,但是本题题型新颖,需要在梯形中通常作辅助线来构造三角形,转移有关线段来求解例4中首先要确定梯形,①只能做条件,如果②作为条件,可得到以下两种情况:①②③→④⑤和①②④→③⑤;如果③作为条件,可得到以下两种情况:①③④→②⑤和①③⑤→②④;还有两种情况①④⑤→②③和①②⑤→③④。

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