高中数学向量的综合运算.doc

向 量的表示 符号表示坐 标表示ý -向量的应用ï ï ï í ï î î þ向量的坐标运算与数量积平面向量知识框架ì ì几何表示 ü ï ï ïï í ïï ï ïï î ïíï ì加减法及其几何意义ï 向量的运算 数乘ï ï ï 数量积 ï高考要求向量向量的线性运算向量的应用平面向量的基本定理平面向量的正交分解及 其坐标表示用坐标表示平面向量的 加法、减法与数乘运算 用坐标表示的平面向量 共线的条件数量积数量积的坐标表示 用数量积表示两个向量 的夹角用数量积判断两个平面 向量的垂直关系用向量方法解决简单的 问题要求层次ABCCCCBCB重难点① 了解平面向量的基本定理及其意义． ② 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． ③ 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘 运算．④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件．① 理解平面向量数量积的含义及其物理意义． ② 了解平面向量的数量积与向量投影的关系． ③ 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量 数量积的运算．④ 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数 量积判断两个平面向量的垂直关系．① 会用向量方法解决某些简单的平面几何问 题．② 会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．例题精讲板块一：向量的分解与向量的坐标运算 （一） 知识内容{ }2 x -a2 2 1 1．平面向量基本定理：如果 e1和 e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量 a，存在唯一的一对实数 a ， a ，使 a = a e +a e ．1 2 1 1 2 2基底：我们把不共线向量 e ，e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记作 e , e ．a e +a e1 2 1 2 1 1 2 2叫做向量 a 关于基底 {e,e}的分解式．1 2说明：⑴ 定理中 e 1， e2是两个不共线向量；⑵ a 是平面内的任一向量，且实数对 a ， a 是惟一的；1 2⑶ 平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底． ⑴ 平面向量基本定理的证明：在平面内任取一点 O ，作 OE =e1 1， OE =e2 2， OA =a ．由于 e 与 e 不平行，可以进行如下作图：1 2过点 A 作 OE 的平行（或重合）直线，交直线OE 于点 M ，2 1NA过点 A 作 OE 的平行（或重合）直线，交直线 OE 于点 N ，1 2于是依据平行向量基本定理，存在两个唯一的实数 a 和 a1 2，分别有 OM =a e， ON =a e1 12 2Ee2O e1E1M所以 a =OA =OM +ON =a e +a e1 1 2 2证明表示的唯一性：如果存在另对实数 x，y 使 OA =xe +ye12，则 a e +a e =xe +ye1 1 2 2 12，即 ( x -a )e +( y -a )e =0 1 1 2 2，由于 e1与 e2不平行，如果 x -a1与 y -a2中有一个不等于 0 ，不妨设 y -a ¹0 ，则 e =- 1y -a2e ，1由平行向量基本定理，得 e1与 e2平行，这与假设矛盾，因此 x -a =01， y -a =0 2，即 x =a 1， y =a2．⑵ 证明 A ， B ， P 三点共线或点上的方法：已知 A 、 B 是直线 l 上的任意两点， O 是 l 外一点，则对直线 l 数 t ，使 OP 关于基底 {OA,OB}的分解式为 OP =(1 -t )OA +tOB上任意一点 P ，存在实 ……①，并且满足①上．式的点 P 一定在 l上，则由平行向量定理知，存在实数证明：设点 P 在直线 lt，使 AP =t AB =t (OB -OA) ，∴ OP =OA +AP =OA +tOB -tOA =(1-t )OA +tOBlPB设点 P 满足等式 OP =(1-t )OA +tOB ，则 AP =t AB ，即 P 在 上．lMA其中①式可称为直线 l的向量参数方程式，当 t =12时，O点 M 是 AB 的中点，则 OM = (OA +OB )2，这是向量 AB 的中点的向量表达式．可推广到 DOAB 中，若 M 为边 AB 中点，则有 OM =12(OA +OB ) 存在．1 2{ }2．向量的正交分解与向量的直角坐标运算：⑴ 向量的直角坐标：如果基底的两个基向量 e1基底下分解向量，叫做正交分解．， e2互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交向量的坐标表示：在直角坐标系中，一点 A 的位置被点 A 的位置向量 OA 所唯一确定．设点 A 的坐标为 ( x , y )，由平面向量基本定理，有 OA =xe +ye =( x , y)1 2，即点 A 的位置向量 OA 的坐标 ( x , y )，也就是点 A 的坐标；反之，点 A 的坐标也是点 A 相对于坐标原点的位置向量 OA 的坐标．yyaae2ae2Oe1xOe1x在直角坐标系 xOy 内，分别取与 x 轴和 y 轴方向相同的两个单位向量 e ， e ．这时，我们就在坐标平面内建立了一个正交基底 e , e ，这个基底也叫做直角坐标系 xOy 的基底．对1 2于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数a1， a2，使得a =a e +a e 1 1 2 2，这样，平面内的任一向量 a 都可由 a1，a2唯一确定，我们把有序数对 ( a , a )1 2叫做向量a的坐标，记作 a =( a , a )1 2②．其中 a 叫做 1a在 x 轴上的坐标， a 叫做2a在 y 轴上的坐标，②式叫做向量的坐标表示． ⑵ 向量的直角坐标运算：设 a =( a , a ) 1 2， b =(b , b ) 1 2，则① a +b =( a +b , a +b ) 1 1 2 2；② a -b =( a -b , a -b )1 1 2 2；③ la =l(a , a ) =(1 2la ,1la )2说明：① 两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差； ② 数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．若 A( x , y ) 1 1， B ( x , y ) 2 2，则向量 AB =OB -OA =( x -x , y -y )2 1 2 1；一个向量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标． 3．用平面向量坐标表示向量共线条件：设 a =( a , a ) 1 2， b =(b , b ) 1 2，则 a b -a b =0 1 2 2 1就是两个向量平行的条件．若向量 b 不平行于坐标轴，即 b ¹0 ， b ¹01 2（二）典例分析：1.向量的坐标运算，则两个向量平行的条件是，相应坐标成比例．【例1】 ⑴ 若向量 a =( -1, x)与 b =( -x,2)共线且方向相同，求 x ．⑵ 在直角坐标系 xOy 中，已知 A( -3, -13) ， B (0,2)， C (2,12)，求证： A 、 B 、 C 三点共线．【变式】点 A(2, 3)、 B (5, 4)、 C (7, 10)，若 AP =AB +lAC (lÎR)，试求 l为何值时，点 P 在一、三象限角平分线上．【例2】 已知两个向量 a =(1，2)，b=(x，1)，若 a ∥ b ，则 x的值等于（ ）A． -12B．12C． -2D． 2【例3】 ⑴ 设向量 AB =(2, 3) ，且点 A 的坐标为 (1, 2) ，则点 B 的坐标为．⑵ 已知 a =( x -2, 3), b =(1, y +2)，若 a =b ，则 x =， y =．可根据本题讲解线段中点的坐标公式： 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 点 A( x , y )1 1， B ( x , y ) 2 2， 则 线 段 AB 的 中 点 坐 标 为æçèx +x y +y 1 2 , 1 22 2ö÷ø【变式】 如图，已知 A( -3, -3)yB， B (1,5)，求线段 AB 的其中一个四等分点 P 的坐标．POxA2.向量的分解【例4】 已知向量 a ， b 不共线， c =ka +b (kÎR)，d =a -b ，如果 c ∥ d ，那么（ ） A． k =1 且 c 与 d 同向 B． k =1 且 c 与 d 反向C． k =-1且 c 与 d 同向D． k =-1且 c 与 d 反向【变式】已知四边形 ABCD 是菱形，点 P 在对角线 AC 上（不包括端点 A ， C ），则 AP 等于（ ）AB'D'BPCDæ 2 öç ÷ 2 ç ÷ 2 ç ÷2 1 A． l(AB +AD)B． l(AB +BC )C． l(AB +AD)D． l(AB -BC )， lÎ(0 ，1) ， lÎç0， ÷è øæ 2 ö ， lÎç0， ÷è øæ 2 ö ， lÎç0， ÷è ø【例5】 已知 □ ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 交 E ， O 是任意一点． 求证： OA + OB + OC + OD = 4OE【变式】已知向量 a ，b 不共线， m ，n 为实数，则当 ma +nb =0 时，有 m +n =．【例6】 如图所示， OM ∥ AB ，点 P 在由射线 。