三角函数公式汇总经典好用.docx

学习必备 欢迎下载三角函数三角函数目录同角三角函数间的基本关系式：三角函数的角度换算正余弦定理部分高等内容特殊三角函数值三角函数的计算三角函数定义域和值域初等三角函数导数三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数 它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射 通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域另一种定义是在直角三角形中，但并不完全现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数三角函数在复数中有较为重要的应用在物理学中，三角函数也是常用的工具基本初等内容它有六种基本函数 (初等基本表示 )：函数名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割在平面直角坐标系 xOy 中，从点 O 引出一条射线 OP ，设旋转角为 θ，设 OP=r ，P 点的坐标为（ x， y）有正弦函数 sin θ=y/r余弦函数 cos θ=x/r正切函数 tan θ=y/x余切函数 cot θ=x/y正割函数 sec θ=r/x余割函数 csc θ=r/y（斜边为 r，对边为 y，邻边为 x学习必备 欢迎下载以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：正矢 函数 versin θ =1 -cosθ余矢 函数 covers θ =1 -sinθ编辑本段 同角三角函数间的基本关系式：· 平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1 cos^2a=(1+cos2a)/2tan^2(α)+1=sec^2(α) s in^2a=(1-cos2a)/2cot^2(α)+1=csc^2(α)· 积的关系：sinα=tanα*cosαcosα=cotα*sinαtanα=sinα*secαcotα=cosα*cscαsecα=tanα*cscαcscα=secα*cotα· 倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1直角三角形 ABC 中 ,角 A 的正弦值就等于角 A 的对边比斜边 ,余弦等于角 A 的邻边比斜边正切等于对边比邻边 ,· 三角函数恒等变形公式· 两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ -sinα·sinβcos(α -β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1 -tanα·tanβ)tan(α -β)=(tanα -tanβ)/(1+tanα·tanβ)· 三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ -sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ -cosα·sinβ·sinγ -sinα·cosβ·sinγ -sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ -tanα·tanβ·tanγ)/(1 -tanα·tanβ -tanβ·tanγ -tanγ·tanα)· 辅助角公式：Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t) ，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)学习必备 欢迎下载cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α -t) ， tant=A/B· 倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos^2(α) -sin^2(α)=2cos^2(α) -1=1- 2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1 -tan^2(α)]· 三倍角公式：sin(3α)=3sinα -4sin^3(α)cos(3α)=4cos^3(α) -3cosα· 半角公式：sin(α/2)=±√((1 -cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1 -cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1 -cosα)/sinα· 降幂公式sin^2(α)=(1 -cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1 -cos(2α))/(1+cos(2α))· 万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1 -tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1 -tan^2(α/2)]· 积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α -β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β) -sin(α -β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α -β)]sinα·sinβ= -(1/2)[cos(α+β) -cos(α -β)]· 和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α -β)/2]sinα -sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α -β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α -β)/2]cosα -cosβ= -2sin[(α+β)/2]sin[(α -β)/2]· 推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα -cotα= -2cot2α1+cos2α=2cos^2α1- cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2学习必备 欢迎下载· 其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n -1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n -1)/n]=0以及sin^2(α)+sin^2(α -2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0cosx+cos2x+...+cosnx= [sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx证明：左边 =2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)/2sinx=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]/2sinx （积化和差）=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx= 右边等式得证sinx+sin2x+...+sinnx= - [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx证明 :左边 =-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(-2sinx)=[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx)=- [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx= 右边等式得证编辑本段 三角函数的角度换算公式一：设 α 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （ 2kπ ＋ α）＝ sinαcos （ 2kπ ＋ α）＝ cosαtan （ 2kπ ＋ α）＝ tanαcot （ 2kπ ＋ α）＝ cotα公式二：设 α 为任意角， π+α 的三角函数值与 α 的三角函数值之间的关系：sin （ π＋ α）＝－ sinαcos （ π＋ α）＝－ cosαtan （ π＋ α）＝ tanαcot （ π＋ α）＝ cotα公式三：任意角 α 与 -α 的三角函数值之间的关系：sin （－ α）＝－ sinαcos （－ α）＝ cosαtan （－ α）＝－ tanαcot （－ α）＝－ cotα学习必备 欢迎下载公式四：利用公式二和公式三可以得到 π-α 与 α 的三角函数值之间的关系：sin （ π－ α）＝ sinαcos （ π－ α）＝－ cosαtan （ π－ α）＝－ tanαcot （ π－ α）＝－ cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到 2π -α 与 α 的三角函数值之间的关系：sin （ 2π － α）＝－ sinαcos （ 2π － α）＝ cosαtan （ 2π － α）＝－ tanαcot （ 2π － α）＝－ cotα公式六：π/2±α 及 3π/2±α 与 α 的三角函数值之间的关系：sin （ π/2 ＋ α）＝ cosαcos （ π/2 ＋ α）＝－ sinαtan （ π/2 ＋ α）＝－ cotαcot （ π/2 ＋ α）＝－ tanαsin （ π/2 － α）＝ cosαcos （ π/2 － α）＝ sinαtan （ π/2 － α）＝ cot αcot （ π/2 － α）＝ tanαsin （ 3π/2 ＋ α）＝－ cosαcos （ 3π/2 ＋ α）＝ sinαtan （ 3π/2 ＋ α）＝－ cotαcot （ 3π/2 ＋ α）＝－ tanαsin （ 3π/2 － α）＝－ cosαcos （ 3π/2 － α）＝－ sinαtan （ 3π/2 － α）＝ cotαcot （ 3π/2 － α）＝ tanα(以上 k∈ Z)编辑本段 正余弦定理正弦定理是指在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R ．余弦定理是指三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的 2 倍，即 a^2=b^2+c^2-2bc cosA编辑本段 部分高等内容· 高等代数中三角函数的指数表示 (由泰勒级数易得 )：学习必备 欢迎下载sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]。