2018届中考全程演练（第02期）第19课时：相似三角形（含精品解析）.pdf

第四单元第四单元 三角形三角形 第第 19 课时课时 相似三角形相似三角形 基础达标训练 1. (2017 重庆 B 卷)已知△ABC∽△DEF，且相似比为 1∶2，则 △ABC 与△DEF 的面积为( ) A. 1∶4 B. 4∶1 C. 1∶2 D. 2∶1 2. (2017 河北)若△ABC 的每条边长增加各自的 10% 创新题推荐 得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B 的度数相比( ) A. 增加了 10% B. 减少了 10% C. 增加了(1＋10%) D. 没有改变 3. (2017 杭州)如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，DE∥BC.若 BD＝2AD，则( ) A. ＝ B. ＝ AD AB 1 2 AE EC 1 2 C. ＝ D. ＝ AD EC 1 2 DE BC 1 2 第 3 题图 4. (2017 永州)如图，在△ABC 中，点 D 是 AB 边上的一点，若 ∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝2，△ADC 的面积为 1，则△BCD 的面 积为( ) 第 4 题图 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. (2017 绵阳)为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理 学中平面镜成像的原理．她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子 放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看 到旗杆的顶端 E，标记好脚掌中心位置为 B.测得脚掌中心位置 B 到 镜面中心 C 的距离是 50 cm，镜面中心 C 距旗杆底部 D 的距离为 4 m，如图所示，已知小丽同学的身高是 1.54 m，眼睛位置 A 距离小 丽头顶的距离是 4 cm，则旗杆 DE 的高度等于( ) A. 10 m B. 12 m C. 12.4 m D. 12.32 m 第 5 题图 6. (2017 临沂)已知 AB∥CD，AD 与 BC 相交于点 O.若 ＝ ，AD＝10，则 AO＝________． BO OC 2 3 第 6 题图 7. (2017 甘肃省卷)如图，一张三角形纸片 ABC，∠C＝90°， AC＝8 cm，BC＝6 cm.现将纸片折叠：使点 A 与点 B 重合，那么折 痕长等于________cm. 第 7 题图 8. (2017 潍坊)如图，在△ABC 中，AB≠AC，D、E 注重开放探究 分别为 AB、AC 上的点．AC＝3AD，AB＝3AE，点 F 为 BC 边上一 点，添加一个条件：__________，可以使得△FDB 与△ADE 相 似．(只需写出一个) 第 8 题图 9. (8 分)(2017 江西)如图，正方形 ABCD 中，点 E，F，G 分别 在 AB，BC，CD 上，且∠EFG＝90°. 求证：△EBF∽△FCG. 第 9 题图 10. (10 分)如图，在△ABC 中，AC＝4，D 为 BC 边上的一点， CD＝2，且△ADC 与△ABD 的面积比为 1∶3. (1)求证：△ADC∽△BAC； (2)当 AB＝8 时，求 AD 的长度． 第 10 题图 11. (10 分)(2017 株州)如图，正方形 ABCD 的顶点 A 在等腰直角 三角形 DEF 的斜边 EF 上，EF 与 BC 交于点 G，连接 CF. (1)求证：△DAE≌△DCF； (2)求证：△ABG∽△CFG. 第 11 题图 12. (10 分)如图，已知矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，过 点 A 作 AG⊥BD 分别交 BD、BC 于点 G、E. (1)求证：BE2＝EG·EA; (2)连接 CG，若 BE＝CE，求证：∠ECG＝∠EAC. 第 12 题图 能力提升拓展 1. (2017 合肥瑶海区三模)如图，将一张直角三角形纸片 BEC 的 斜边放在矩形 ABCD 的 BC 边上，恰好完全重合，BE、CE 分别交 AD 于点 F、G，BC＝6，AF∶FG∶GD＝3∶2∶1，则 AB 的长为( ) A. 1 B. C. D. 2 23 第 1 题图 2. (2017 合肥长丰县三模)如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 的 外侧作等边△ADE，连接 BE 交 AC 于点 F，连接 DF 并延长交 AB 于 点 G，则 AG 的长为( ) 第 2 题图 A. B. 23 C. 6－6 D. 12－6 23 3. (10 分)(2017 合肥肥城模拟)△ABC 中，AB＝AC，点 D、E、F 分别在 BC、AB、AC 上，∠EDF＝∠B. (1)如图①，求证：DE·CD＝DF·BE ； (2)D 为 BC 中点，如图②，连接 EF. ①求证：ED 平分∠BEF； ②若四边形 AEDF 为菱形，求∠BAC 的度数及的值． AE AB 第 3 题图 教材改编题 1. (北师九上 P121 第 13 题改编)如图，在▱ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，在 BA 的延长线上取一点 E，连接 OE 交 AD 于点 F，若 CD＝5，BC＝8，AE＝2，则 AF＝________． 第 1 题图 2. (10 分)(沪科九上 P83 例 4 改编)如图，Rt△BCD 中， BD＝1，CD＝2，∠BDC＝90°，过 B 点作 BA⊥BC，过点 C 作 CA∥BD. (1)求证：△ABC∽△CDB； (2)求 AC 的长． 第 2 题图 3.(沪科九上 P106 A 组复习题第 5 题)已知：如图，在 教材母题 △ABC 中，D 为 AB 的中点， 第 3 题图 E 为 AC 上的一点，DE 延长线交 BC 延长线于点 F.求证：＝ BF CF . AE EC 变式 1：(8 分)已知，如图，D 是 BC 边延长线上的一点， BC＝3CD，DF 交 AC 边于 E 点，且 AE＝2EC.求的值． AF FB 变式 1 题图 变式 2：(8 分)已知，如图，△ABC 中， AE∶EB＝1∶3，BD∶DC＝2∶1，AD 与 CE 相交于 F，求的值． EF FC 变式 2 题图 变式 3：(10 分)已知，如图，AD 是△ABC 的中线，E 是 AC 上 任一点，BE 交 AD 于点 O，数学兴趣小组的同学在研究这一图形时， 得到如下结论： 当 AO∶AD＝1∶2 时，AE∶AC＝1∶3； 当 AO∶AD＝1∶3 时，AE∶AC＝1∶5； 当 AO∶AD＝1∶4 时，AE∶AC＝1∶7. 请根据以上结论，猜想：当 AO∶AD＝1∶(n＋1)时(n 是正整数)， AE∶AC 的一般性结论，并说明理由． 变式 3 题图 答案 基础达标训练 1. A 【解析】∵△ABC∽△DEF，且相似比为 1∶2, ∴△ABC 与△ DEF 的面积比为 1∶4. 2. D 【解析】∵△ABC 的每条边长增加各自的 10%得△A′B′C′， ∴△ABC 与△A′B′C′的三边对应成比例， ∴△ABC∽△A′B′C′， ∴∠B′＝∠B. 3. B 【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC， ∵BD＝2AD，∴＝＝ ，∴＝ ，故选 B. AD AB AE AC 1 3 AE EC 1 2 4. C 【解析】∵在△ACD 和△ABC 中， ∠DAC＝∠CAB，∠ACD＝∠ABC，∴△ACD∽△ABC，∴＝() S △ ABC S △ ADC AC AD 2＝4，∵S△ADC＝1，∴S△ABC＝4，∴S△BCD＝S△ABC－S△ACD＝3. 5. B 【解析】由平面镜成像原理得∠ACB＝∠ECD，又 ∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∴△ABC∽△EDC，∴＝，即＝ AB ED BC DC 1.54－0.04 DE ，解得 DE＝12. 0.5 4 6. 4 【解析】由 AB∥CD 可得＝＝ ，∴AO＝ AD，又由 OA OD OB OC 2 3 2 5 AD＝10，可得 AO＝ ×10＝4. 2 5 7. 【解析】如解图①，折痕为 MN，在 Rt△ABC 中，AB＝ 15 4 ＝10，由折叠性质得 62＋82 AM＝BM＝5，∵∠A＝∠A，∠AMN＝∠C＝90°，∴△AMN∽△ACB，∴ ＝，∴MN＝＝＝. AM AC MN CB AM·BC AC 5 × 6 8 15 4 第 7 题解图① 第 7 题解图② 【一题多解】在 Rt△ABC 中，AB＝＝10，如解图②， 62＋82 折痕为 MN，连接 BN，由折叠性质得，∠BMN＝∠AMN＝90°， AN＝BN，AM＝BM＝5 cm.设 AN＝BN＝x，则 CN＝8－x，在 Rt△ BMN 和 Rt△BCN 中，由勾股定理得 52＋MN2＝x2，62＋(8－x)2＝x2， 解得 x＝，∴MN＝＝＝. 25 4 22 5­x （25 4 ）2－52 15 4 8. DF∥AC 【解析】∵AC＝3AD，AB＝3AE，∴＝ ，∵∠A AD AC AE AB 为公共角， ∴△ADE 与△ACB 相似，∴∠AED＝∠DBF，要使△FDB 相似△ ACB，可添加∠DFB＝∠C 或 DF∥AC. 9. 证明：∵四边形 ABCD 为正方形， ∴∠B＝∠C＝90°， ∴∠BEF＋∠BFE＝90°， ∵∠EFG＝90°， ∴∠BFE＋∠CFG＝90°， ∴∠BEF＝∠CFG， ∴△EBF∽△FCG. 10. (1)证明：∵CD＝2，且△ADC与△ABD 的面积比为 1∶3. ∴BD＝3DC＝6, ∴BC＝BD＋CD＝8， ∴在△ABC 与△ACD 中，BC∶AC＝AC∶CD＝2，∠BCA＝∠ACD. ∴△ADC∽△BAC. (2)解：∵△ADC∽△BAC, ∴＝， AD BA DC AC 又∵AB＝8，AC＝4，CD＝2. ∴AD＝＝4. 2 × 8 4 11. 证明：(1)∵∠EDF＝∠ADC＝90°， 即∠EDF－∠ADF＝∠ADC－∠ADF， ∴∠EDA＝∠FDC， ∵三角形 DEF 为等腰直角三角形， ∴ED＝FD， 在正方形 ABCD 中，AD＝CD， ∴△DAE≌△DCF(SAS)． (2)∵△DAE≌△DCF， ∴∠DEA＝∠DFC， ∵∠DEF＋∠DFE＝90°， ∴∠DFC＋∠DFG＝90°， ∴∠CFG＝∠ABG＝90°， ∵∠AGB＝∠CGF， ∴△ABG∽△CFG. 12. 证明：(1)∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∵AE⊥BD， ∴∠ABC＝∠BGE＝90°， ∵∠BEG＝∠AEB， ∴△ABE∽△BGE, ∴AE∶BE＝BE∶GE, ∴BE2＝EG·EA； (2)由(1)证得 BE2＝EG·EA， ∵BE＝CE, ∴CE2＝EG·EA， ∴CE∶EG＝AE∶CE， ∵∠CEG＝∠AEC, ∴△CEG∽△AEC, ∴∠ECG＝∠EAC. 能力提升拓展 1. C 【解析】∵四边形 ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AD＝BC＝6，∠A＝∠D＝90°， ∵∠E＝90°， ∴∠EFG＋∠EGF＝90°， ∴∠AFB＋∠DGC＝90°， ∵∠AFB＋∠ABF＝90°， ∴∠ABF＝∠DGC, ∴△AFB∽△DCG, ∴AF∶DC＝AB∶DG, ∵AF∶FG∶GD＝3∶2∶1, ∴AF＝3，DG＝1, ∴AB2＝AF·DG＝3, ∴AB＝. 故选 C. 3 2. D 【解析】如解图，连接 BD，交 AC 于点 O，∵四边形 ABCD 是正方形，BC＝6，∴BD＝6，∴OB＝3，∵△ADE 是等边 22 三角形，∴AE＝AD，∠DAE＝60°，∴AB＝AE，∠BAE＝150°， ∴∠AEB＝∠ABE＝15°，∴∠FBO＝30°，∴OF＝OB＝，AF＝3－ 3 362 ，CF＝3＋，∵AB∥CD，∴△AFG∽△CFD，∴＝，即 626 AF CF AG CD ＝，解得 AG＝12－6. 3 2－ 6 3 2＋ 6 AG 63 第 2 题解图 3. (1)证明：∵△ABC 中，AB＝AC， ∴∠B＝∠C. ∵∠B＋∠BDE＋∠DEB＝180°，∠BDE＋∠EDF＋∠FDC＝180°， ∠ED。