奥数 一年级 教案 第11讲 火柴棍问题.pdf

第十一讲火柴棍问题 挑战例题 今天第一个问题的设计者是美国著名科普大师马丁 加德纳 Martin Gardner 他 用10根火柴摆成了一条 金鱼 正在向上游 现在要求你只移动其中的3根火 柴棒 使这条 金鱼 马上 掉头 由向上游变为向下游 这条金鱼基本上是由正三角形作为基本骨架的 所以中间重复性非常 高 于是我们利用重复性来让它掉头 假如将鱼看成上 中 下三行 则需要上和下行调换 同时中间行翻个个儿 其实这样并不麻烦 只要将中间行最右边的一根移到最左边 上下两行也如法炮制 金 鱼就出现了 图中的虚线表示这些火柴是移动之后的样子 我们知道 用4根火柴可以摆成一个正方形 但摆两个正方形可用不了8根火柴 7根就够了 那同样地 用24根火柴摆正方形 可以只摆出1个 也可以摆成2个 3个 还能摆出更多正方形 请用24根火柴摆成6个 14个 20个 42个正方形 再想 想 如果想要摆成110个大小相等的正方形 该如何做 摆成6个正方形是最容易的 每个正方形用4根火柴 想要摆成14个 正方形 需要把这正方形挨在一起 以便共用一些火柴 例 1 分析解答 例 2 分析解答 6 个正方形 如果想要摆成再多 火柴必须要重叠起来了 这样可以分成更多的小格 摆成更多正方 形 下面分别是摆成的20 42 110个正方形 我们可以看出 如果只用4根火柴摆成最外面的框架 其他的20根放置在中间能 得到最多的三角形 一共有11 11 10 109 98 81 1506 个正方形 用9根火柴可以摆成3个三角形 如下图所示 现在请你在原图上每次移动其中的 3根火柴 让三角形的个数不断增加 4个 5个 一直到10个 变成4个或5个三角形并不难 只要将原来的三角形拼到一起即可 而想要摆出6个三角形 则需要把火柴叠到一起了 就像刚才摆正方 形一样 这样也会构成更多的小三角形 如右图 分别是由 摆成4个 5个 6个 三角形的图形 下面我们继续让交叉 的火柴更多 以便摆出更多 三角形 例 3 分析解答 20 个正方形42 个正方形 110 个正方形 4 个三角形5 个三角形6 个三角形 7 个三角形8 个三角形9 个三角形10 个三角形 霍钗同学拿来三根火柴 用它们摆成了两个直角 如下图所示 柴获看到了 他把 火柴拿来 同样是用三根 摆成了4个直角 霍钗觉得不服 又移动了一下 变成 了5个直角 柴获又把它摆成了6个直角 两人开始较劲了 最后 他俩居然分别摆出了8个和12个直角 真是不可思议 你能做到吗 摆成8个直角并不难 只要有两个 十 字即可 如右图所示 但是12个直角摆起来并不容易 我们看到每两根垂直的火柴 至多可以产生4个直角 现在已经是有一根火柴和其他两根互相都垂直了 能做到 让3根火柴之间互相都垂直吗 打破常规 问题还是有可能的 想要让3根火柴在平面上互相 垂直是不可能的 但是在空间中 当3根火柴分别占上下 前后 左右方 向的时候 问题就非常简单了 霍柴用14根火柴可以搭成像右边这样的一间房子 由3个正方形和2个正三角形组 成的房子 不过柴获说 他只用9根火柴 就能搭成同样有3个正方形和2个正三 角形的房子 他是如何做的呢 就像上题一样 因为火柴数量太少了 如果拘泥于常规 肯定想不出 来 如果想要最大限度地共用一些火柴的话 一个 不错的办法是把房子搭成真正立体的房子 如右图所示的房子 就有3个 正方形和侧面2个正三角形 但是只用了9根火柴 你想到了吗 柴获将5根火柴摆成一横排 霍钗说只要加上3根竖排的火 例 4 分析解答 例 5 分析解答 例 6 2 个直角4 个直角 5 个直角 6 个直角 8 个直角 12 个直角 柴 就能拼成一些汉字 试试看吧 你能拼成几个 多多益善啊 尽管汉字大多都横平竖直 但是用火柴拼汉字通常还是很不准的 仔 细想想平时见到的字 有哪些是有5条横线的呢 发挥一点想象力 至少应该摆出2个来 事实上这样的汉字有4个 旱 旨 匡 呈 这是老师出题的时候发 现的 还能再想出一些的话 应该好好犒劳一下自己啦 下面是一道非常经典的火柴问题 只移动一根火柴 如何能够产生一个正方形 移动两根产生正方形非常容易 但是只移动一 根呢 要注意一点 虽说是正方形 却不见得 一定非要用四根火柴杆拼在一起 别忘了 火柴杆也是有宽度的 如 图稍稍移动一根火柴 在4根火柴杆末端之间出现了一个小小的正方 形 红色的小正方形 你想到了么 霍钗用火柴摆了两道算式 但都是错误的 柴获说只要每个算式移动1根火柴 就 能让算式成立 你也来试试吧 分析解答 例 7 分析解答 例 8 问题并不麻烦 第一个算式7 721 4 显然左边要比右边大 移 动的办法一定是将左边减小 右边增大 于是将左边其中一个7变成 1 右边想要得到7 变成21 14 即可 第二个算式有点蹊跷 但是怎么看似乎左右 都差不多 不妨干脆把左边移动一根1到右边减 号上 这样两边的算式就完全一样了 通常我们有一套标准的用小棍来表示数字符号的方式 常常出现在各种液晶屏上 例如 电子表 倒计时牌 电梯里 这套表示方法在一年级的 摆火柴棍 一 当中我们就见到过 不妨再来看一下 这套数字中最复杂的是8 它用到了所有的方格 形成了 日 字 其余的数都是8的 一部分 在这里通过移动或者加减一根火柴 5和6 5和9 8和9 8和6 8和0 3 和9 1和7等等都可以互相变化 利用这样的数字表示 我们来看下面一个问题 微调一下算式 下面的算式本来是正确的 要求移动其中的一根火柴 使等式仍然 成立 图中的算式是用标准形式摆出的数字 所以移动起来很容易 经过试 验 可以从6当中取下一根放到减号上 变成下面的算式 当然想要移动一根 微调一下让算式成立 办法绝不仅仅这一种 例如也可以将原式的 62改成52 而将移下的一根放到99上 使之变成89 等式同样成立 或是将原式右端的99变成95 而移掉的一根添加到左端5 上面 变成9 也是可以的 方法多种多样 不妨把每种都画出来看看 课后展示 1 分析解答 例 9 分析解答 霍钗用12根火柴摆出含有6个正三角形的正六边形 不过柴获看了以后说 他只要移动其 中的4根 就能把它变成3个正三角形 你也来试试看吧 柴获用火柴摆成了9个小三角形 他数了数 连上大三角形的话 一共有13个 霍 钗说他只要取走5根火柴 就能让三角形只剩下5个 他是怎么做的呢 用8根火柴能拼出4个三角形 1个大的和1个小的正方形 你来试试看吧 霍钗用8根火柴摆两个正方形非常容易 如下图 柴获说只要移动其中的4根火柴 能让图中不但有两个正方形 还能再多8个三角形 你能做到吗 霍钗为了回报柴获前一次的刁难 他拼了上面的图形 并且说只要拿掉其中的3根火 柴 就能把它变成三个汉字 不过柴获还是毫不费力就做出来了 你行吗 柴获拿着5根火柴又来找霍钗 他将其中的3根火柴横排 然后将剩余的2根交给霍 钗 让他添在上面拼汉字 霍钗拼啊拼啊 最后终于拼出了6个汉字 你也来试试 看能拼出多少个汉字来 柴获用6根火柴组成一个 田 字 移动其中不超过2根火柴 就可以变成另一个汉 字 例如 白 字 但霍钗说他能排出20多个字来 他是不是在夸海口啊 你看看 能排出几个 霍钗反过来要考一下柴获 他用14根火柴组成英语单词 CAP 帽子 让柴获加 1 根 火柴 变成一个新的单词 然后再加1根 再变成一个新单词 都是很简单的单词 看你英文怎么样喽 2 3 4 5 6 7 8 1 题图 3 题图 2 题图 4 题图5 题图 请移动一根火柴 让下面错误的算式成立 这是今天的最后一个问题 仔细思考哦 移动一根火柴 让下面的等式成立 9 10 。