同步电机数学模型.docx

ïïîïïîaê ú êêú êcê ú=êê ú êê ú ê Daë û ëQaaQ-iLccQúê úDQLúê úêL L i同步电机数学模型同步电机的基本方程式及数学模型 派克方程1.1 理想电机假设（1） 电机磁铁部分的磁导率为常数，因此可以忽略掉磁滞、磁饱和的影响，也不计涡流及 集肤效应作用等的影响；（2） 定子的三个绕组的位置在空间互相相差 120°电角度，3 个绕组在结构上完全相同同 时，他们均在气隙中产生正弦分布的磁动势；（3） 定子及转子的槽及通风沟等不影响电机定子及转子的电感，因此认为电机的定子及转 子具有光滑的表面；为了分析计算，还需要设定绕组电流、磁链正方向1.2 abc 坐标下的有名值方程同步电机共有 6 个绕组分别为：定子绕组 a,b,c，转子励磁绕组 f，转子 d 轴阻尼绕组 D 以及转子 q 轴阻尼绕组 Q需要求出每个绕组的电压、电流和磁链未知数，因此一共需要 18 个方程才能求解电压方程：ìu =py -r ia a a aíu =py -r ib b b bu =py -r ic c c cìu =py -r if f f fíu =py -r i º0D D D Du =py -r i º0Q Q Q QD 绕组与 Q 绕组均为无外接电源闭合绕组，因此电压均为 0，从而上式中一共有 8 个方 程。

磁链方程：éyù éL L L Laa ab ac af y L L L Lb ba bb bc bf êyú êL L L Lca cb cc cf y L L L Lf fa fb fc ff êyú êL L L LD Db Dc Df êyú êL L L LQa Qb Qc Qf11(3´3) 12(3 ´3) abcéL L ùé-i ù =ë 21(3´3) 22(3 ´3) ûëfDQ ûLaDLbDLcDLfDLDDLQDL ùé-iù úê úbQ úêb ú L úê-iúúê úL ifQ f L úêi úúêD ú úûêëiQúû在电感矩阵中（针对凸极机），定子绕组自感和互感参数是随转子位置而变化的参数， 而在转子绕组中，转子的自感和互感参数均为常数，而且 D 轴与 Q 轴正交，则 D 轴绕组与 Q 轴绕组互感为 0定子与转子之间的互感参数显然是随转子位置变化的参数1 / 8ep3ëúûïm ep=wï同步电机数学模型功率、力矩及转子运动方程：（1）电机输出电功率的瞬时值P =u i +u i +u i e a a b b c c输出总电功率为三相绕组输出电功率之和（2）电磁力矩瞬时值1T =P y Tabcéêêê0 1 -1ù -1 0 1 iúabc1 -1 0 ú利用磁链方程以及电感参数表达式代入发电机惯例电磁力矩瞬时值表达式即可得到。

（3）转子运动方程（目的方程）ì1 d wJ =T -TïP dtíïdqîdt式中 q,w为电角度，电角速度小结利用电压方程、磁链方程以及转子运动方程，一共有 16 个方程，但是需要求解的未知数有 21 个（u , i,y,w,q,Tm），因此还需要五个方程，分别为：（1）（2）uTfm励磁系统输出电压，设为已知；原动机输出机械力矩，设为已知；（3） 定子三相绕组与网络接口对应的 3 个网络方程因此，利用 21 个方程可以解出 21 个未知数，但是从方程形式上看，该方程组为非线性 变微分方程，处理难度比较大所以，有工程师提出了变换坐标系的方法来将方程组简化为 非线性常微分方程，这个变换成为派克变换（刘取的书提出派克变换是采用的前苏联学者物 理解释的方法，倪以信的书采用的是数学推导的方法）1.3 派克变换为了解决同步电机方程中存在大量变化参数的问题，通常根据同步电机的双反应理论， 把定子 abc 三相绕组经过适当变换而等值成 2 个分别固定在 d、q 轴上，并与转子同步旋转 的等值定子绕组，这种变换就称为派克变换经过派克变换后所得的 dq0 坐标下的同步电机方程中的电感参数均为定常值，有助于 实用计算。

经典派克变换推导变换前后的等值条件，即空间磁动势相等：f = f + f + f = f + f å a b c d又 d，q 相互正交，则可以得出下式：2 / 8qda=f-sinqafûë ûabïîdda=f3 -sinqafûë ûféùaêdê úq3 ê1fë20fúafúc1úêf ú2caêê同步电机数学模型éf ù écos q ê ú êë q û ë acos qb-sin qbcos qc-sin qcéf ùùê úúêbúêf úc其中， f , f , f , f , f a b c dq是相应轴上的投影，q ,aq,bqc为 d 轴领先 a，b，c 轴的电角度，且 q 轴领先 d 轴 90°稳态对称运行时，f , f , f a bc在时间上互差 120°相位，即： f =F cos wtìaïf =F cos(wt -120)íbïf =F cos(wt +120)îc其中 F 为空间磁动势当 d 轴与 a 轴重合，且电网角频率与转子电角速同步时，则有：ìq=wtïíq=wt-120q =wt-120c联立以上三式，可得：ìïíïî3f = F2f =0q为了消去系数3 2 ，于是在变换矩阵前再加上一个因子，取为 。

2 3éf ù 2 écos q ê ú êë q û ë acos qb-sin qbcos qc-sin qcéf ùùê úúêbúêf úc计入零轴分量，完整派克变换取为：écos qê ú 2 -sin q f = ê aê úë û ê经典派克变换矩阵为：cos qb-sin qb12cos q ùc é ù -sin q ê úê b úúë ûûD =écos q2 -sin qê a3 ê1ë2cos qb-sin qb12cos qc-sin q12cùúúúúû派克变换小结派克变换的最大特点是通过在 d 和 q 旋转坐标上观察电机电磁量，能更好地与转子旋转3 / 8dq 0dq 0dq 0 dq 0ê úê ú ê ú êë û ë û ë û ëdq 0iq= wy0dq 0ySRdq 0L ie2ïm ep=wï同步电机数学模型和凸极效应问题相适应经典派克变换也存在两个缺点，其一，经典派克变换在功率上不守 恒，其二，利用派克变换将 abc 坐标下的同步电机有名值方程转换为 dq0 坐标下的有名值方 程时，对应的 dq0 坐标下有名值电感矩阵中有些互感不可逆。

1.4 dq0 坐标下的有名值方程基本过程与 abc 坐标下的有名值方程几乎相同，将等式两边同时乘以éêëD(3´3)0(3´3)0(3´3)I(3´3)ùúû，会涉及相对复杂的数学推导，证明略去（见倪以信书） 电压方程：éu ù éy ù éS ù ér =p + +u y 0 0abc abcr0fDQùé-i ù úê ú ûêëfDQúû其中Sdq 0é-wyùê úê d úê úë û，为速度电动势磁链方程：éy ù éê ú=ê êëfDQúûëLSSLRSL ùé-i ù úê úRR ûêëfDQúû其中éêëLSSLRSLSRLRRùúû为常数阵，但并不对称功率、力矩及转子运动方程： 功率方程3P = (u i +u i ) +3u i d d q q 0 0电磁力矩方程T =Pe p32(y i -yi ) d q q d转子运动方程ì1 d wJ =T -TïP dtíïdqîdt小结未知数以及方程数与 abc 坐标有名值方程相同，而不同的是互感矩阵中个元素变为常数， 这就使得解该方程组成为可能同步电机标幺制2.1 标幺值系统的选择原则（1）标幺基值的选取应使各种电路或力学定律相应的有名值方程和标幺值方程形式相同，4 / 8adBïî3同步电机数学模型从而使同步电机标幺值方程和有名值方程有相同的形式。

（2）标幺值方程中互感完全可逆，相应电感矩阵为对称阵 （3）选取适当基值，使传统的标幺电机参数保留在电机方程中 一般采用 X 基值系统2.2 各绕组的基值公用基值f =50 HzBw =2pf »314.16 rad / s B B1t =wB定子绕组基值i = 2 IaBR即额定相电流的峰值u = 2UaBR即额定相电压的峰值R ,yaBaB依照定义计算即可励磁绕组及阻尼绕组基值 任选电压、电流（ u , ifBfB）作为基值，并依靠该基值计算出其他基值阻尼绕组的确定方法类似2.3 原则应用（1）定子绕组与励磁绕组标幺值互感可逆的约束条件SfB=SaB同理，定子绕组与阻尼绕组也满足这样的约束条件 则可以推得：ìïL =ï afBíL =ï faB定子绕组与阻尼绕组类似2）保留传统的标幺电。