函数思想在等差数列中的应用.doc

函数思想在等差数列中的应用  教学目标1．对等差数列的概念、通项公式、前n项和公式的认识进一步深化，提高学生解决问题的能力．2．帮助引导学生用函数的观点看待数列，借助函数的研究方法研究数列．教学重点和难点用函数的思想研究等差数列．教学过程设计（一）复习引入师：我们已学习了数列的基本知识，等差数列的定义、通项公式与前n项和的公式，今天，我们一起应用这些知识来解决一些问题．请看题目．练习：已知｛an｝是等差数列，其中a1=31，公差d=-8．求数列前n项和的最大值，并求出对应n的取值．师：拿到这个题目，大家有什么想法？生：我一下子得不出Sn的最大值．不过……师：那你能得出些什么？生：我可以得出a2=a1+d=31-8=23，a3=a1+2d=31-8×2=15，a4=a1+3d=31-8×3=7，a5=a1+4d=31-8×4=-1，a6=a1+5d=31-8×5=-9，……（学生口述，老师板书）师：既然得出了这些，不就可以得到对应的Sn的值了吗？生：可以．S1=31，S2=S1+a2=54，S3=S2+a3=69，S4=S3+S4=76，S5=S4+a5=75，S6=S5+a6=66，……（老师板书）师：从这之中，你又能发现什么呢？生：可以看出当n=4时，Sn取得取大值，最大值为S4=76．在前4项中，Sn越来越大，从第4项开始，Sn又越来越小．师：从前几项中，确实可以看出S4最大，可是，当n再大一些的时候，Sn会不会又变大呢？生：不会的．由于a5＜0，d＜0，则ak＜0（k≥5，k∈N+），进而Sk＜S4（k≥5，k∈N+）．因此当n=4时，Sn有最大值，S4=31+23+15+7=76．（学生口述，老师板书）师：他根据数列前n项和的定义，解决了这道题．但是把数列各项分别求出来，未免有些麻烦．请同学们思考他的解题过程是否存在规律？我们能否寻求到更好的解题方法？（二）新课师：在刚才的练习中，我们求出了一个数列前n项和的最大值．现在大家想这样一个问题，是不是所有的等差数列都有前n项和的最大值呢？生：不是的，比如自然数组成的等差数列1，2，3，4，…，n，…，就没有最大值．师：那到底什么样的等差数列前n项和有最大值呢？生：首项大于0，公差小于0的等差数列就有前n项和的最大值，即an=a1+（n-1）d中，a1＞0，d＜0的时候？师：这时的数列有什么特点？生：数列中的各项分布在一条横截距为正，斜率为负的直线上，也就是说可以把等差数列当作一个一次函数来看待．师：同学们已经知道，数列是一种特殊的函数，它是定义在自然数集（或它的子集｛1，2，3，… ，n｝）上的函数．当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值就是数列．那么等差数列会是什么样的函数？这个问题我们又该如何下手研究呢？生甲：首先研究等差数列的通项公式．因为它体现了数列的项与项数的对应关系．在等差数列｛an｝中，公差为d（d是常数）．当d≠0时，其通项公式an=a1+（n-1）d=dn+（a1-d）．f（n）=dn+（a1-d），是关于自变量n的一次函数．反之，若an可写成an=an+b的形式，则an+1-an=[a（n+1）+b]-（an+b）=a，即｛an｝是以a为公差的等差数列．所以，通项an可以写在关于n的一次函数形式是｛an｝成等差数列的充要条件．师：想得好，推得也好．那么，等差数列的通项an一定是项数n（n∈N+）的一次函数吗？生乙：不一定．当d=0时，an=a1，而一次函数要求一次项的系数一定不为0，所以当d=0时，an不是关于n的一次函数．只有在d≠0时，才可以进行刚才的研究．但不管公差d是否等于0，我们都可以认为｛an｝分布在一条直线上，d相当于该直线的斜率．师：完全正确．这样就得到d≠0时，an是关于n的一次函数，我们实际是在用函数思想来研究数列．这正是我们今天要研究的课题．（板书课题）比如，我们可以研究数列的单调性、前n项和最大（小）值等问题．首先来考虑，数列的大小变化受谁影响？生：等差数列｛an｝中．当d＞0时，数列｛an｝各项一个比一个大；当 d＜0时，数列｛an）各项一个比一个小；当d=0时，数列｛an｝为常数列．师：请试着分析等差数列｛an｝的前n项和的最值问题．生：对于首项为a1，公差为d的等差数列｛an｝，其各项可表示为a1，a1+d，a1+2d，a1+3d，…，a1+（n-1）d，…．研究前n项和Sn的最值首先应对a1，d的符号进行分类．（1）当a1＞0时，①若d＞0，则数列｛an｝是一个各项均为正数且递增的数列，随项数n的增大，前n项和Sn的值也不断增大，所以此时，Sn没有最大值，当n=1时，Sn有最小值S1=a1；②若d＜0，则数列｛an｝是一个首项为正数的递减数列，且从某一项开始，其后面的各项均为负数，所以数列的所有正项的和最大．因所以Sn没有最小值．师：不错．这正是我们课前练习所涉及的情况，但是，这里有一点值得注意，如果恰有一项为0呢？比如把我们课前练习改为a1=32，其余不变，那么a4=8，a5=0，a6=-8，Sn会受什么影响？请完善你的结论．生：此时S4=S5=80均为最大值．刚才的结论可改进为：当师：这样结论才比较完善．请接着分析首项小于0的情况．生：（2）当a1＜0时，①若d＞0，则数列｛an｝是一个首项为负数的递增数列．数列的小值．由于an随n的不断增大而增大，所以Sn没有最大值；②若d＜0，则数列｛an｝是一个各项均为负数的递减数列，随n的增大，前n项和Sn不断减小．所以Sn没有最小值，S1=a1是它的最大值．师：有了以上的结论，我们课前练习的改进方法也就有了吧．请大家按照a1=32，d=-8将此题重新做一遍．（学生板书）生：解法如下：由于a1=32＞0，d=-8＜0，则｛an｝是一个首项为正数的递减数列．因a1=32，d=-8，则an=（n-1）d+a1=32+（-8）（n-1）=40-8n．时，Sn有最大值．因此当n=4或n=5时，Sn有最大值．S4=S5=80是最大值．师：在刚才的讨论中，我们抓住了等差数列与一次函数之间的关系，运用一次函数的性质解决了等差数列前n项和的最值问题．同学们可以从中体会函数思想在解决数列问题时所起的作用．下面我们来看例1．例1  一个首项为正数的等差数列｛an｝，满足S5=S11，请问：这个数列的前多少项和为最大？生甲：由等差数列的前n项和公式，S5和S11都可以用a1和d表示，从而可以得到a1与d的一个关系式．由刚才得到的结论，就可求出Sn何时最大．解法如下：解法1：设等差数列｛an｝的公差为d．因S5=S11，则S11-S5=a6+a7+a8+a9+a10+a11=0，即（a1+5d）+（a1+6d）又a1＞0，则d＜0，所以｛an｝是一个首项为正数的递减数列．因此的前8项和最大．师：学生甲的解法直接使用了我们刚才的结论，先求出a1与d的关系，再利用两个不等式挤出n的取值．大家还有没有别的解法？生乙：题目给出了S5与S11的关系，我就直接运用等差数列前n项关系，又可从中发现Sn的取值只随着n的不同取值而变化，而与其他因素无关．这样，就可以把Sn看作是关于n的函数，进而可求得其取得最值时n的取值．解法如下：（学生口述，老师板书）解法2：设等差数列｛an｝的公差为d．列的前8项和最大．师：可以看出，学生乙是用二次函数求最值的方法来研究数列的．这种想法很好，但理论依据并不充足．我们有必要用函数的观点对等差数列的前n项和Sn进行再认识．生：等差数列｛an｝中，首项为a1，公差为d，当d≠0时，Sn可以表示成关于n的二次函数的形式，且常数项为0．反之，若一个数列前n项和Sn=an2+bn，（其中a，b均为常数），则Sn-1=a（n-1）2+b（n-1），可求得an=Sn-Sn-1=2an+b-a，得an-1=2a（n-1）+b-a，从而得出an-an-1=2a（n≥2，n∈N+），又因为a1=S1=a+b，所以｛an｝是以a+b为首项，2a为公差的等差数列．所以，｛an｝成等差数列是其前n项和Sn可以写成关于n的常数项为0的二次函数形式的充要条件．这样就可以把对Sn的讨论转化为对关于n的二次函数的讨论了．当d=0时，Sn=na1，当n=1时，Sn有最值．师：解法2的确可行．这样，我们在解决关于等差数列前n项和的问题时就有了两种不同的解法．比较这两种解法，我们可以发现解法1将Sn的最值问题转化成了an的符号问题，虽然要求对数列的认识要比较深刻，但是实际操作却还是较容易的．因为研究一次函数毕竟要比研究二次函数简单．但是例1中所给的条件是S5=S11，所求的是Sn，应该说，直接用Sn与n的关系解题是有优越性的．但既然Sn可看成是关于n的二次函数，我们能否用二次函数的性质将解法进一步简化呢？生：能，因为Sn是关于n的二次函数，从二次函数的对称性出发就师：这种想法轻松自然．它正是抓住了二次函数的性质：在对称轴上达到最值．可是数列不同于函数，其项数n是定义在自然数集（或其子集｛1，2，…，n｝）上的，所以有两个问题要加以考虑．首先，若对称轴在直线n=1的左侧，应如何处理？生：如果Sn图象的对称轴在直线n=1的左侧，那么Sn的值一定是单调递增或单调递减的，这样，当n=1时，Sn就取得它的最大（小）值，为a1．师：很好．还有第二个问题，若对称轴不是整数呢？生：取离对称轴最近的整数．师：如果题目改为：S5=S10，n该如何取值呢？n=7或8时，Sn最小．师：显然，这种利用函数性质的做法最简单，应体会函数思想在其中的作用．下面我们看例2．例2  数列｛an｝是等差数列，且a3+a9=50，a5a7=616，试求数列｛an｝前n项和Sn的最大值，并指出对应n的取值．请同学们用两种方法求解，边解边比较两种方法的优劣．生：要求出Sn的最大值．应首先求出a1和d，这需要有两个关系式，根据题目所给的两个条件，可以很容易把它们求出．进而，就可得到Sn的最大值．解法如下：（学生甲板书解题过程）解法1：设等差数列公差为d，因a3+a9=50，a5a7=616，则将（1）式两边平方后，再减去（2）式．得d2=9，即d=3或-3．所以当a1=10，d=3时，又a1＞0，d＞0，则｛an｝是一个首项为正数，公差大于0的递增数列，故｛an｝没有Sn最大值．当a1=40，d=-3时，a1＞0，d＜0，则｛an｝是一个首项为正因此当 n=14时，Sn有最大值287．第二种解法用二次函数求最值的方法求出Sn的最大值的．解法如下：（请学生乙和学生甲同时板书）解法2：设等差数列｛an｝公差为d．又n是自然数，距13.8最近的自然数为14，则当 n=14时，Sn有师：总体上看，这两种方法都是运用函数思想来研究数列，具体到某一个问题，还要具体分析，选用恰当的解法．就此题而言，解法1更简捷．（三）课堂练习师：在解题时，请同学们选择最简捷的方法．1．等差数列｛an｝中，a2+a3=-38，a12=0，求Sn最小值，以及相对应n的取值．（巡视学生解题状况，请一位同学板书解题过程）所以｛an｝为首项为负数的递增数列．故当n=11或12时，Sn有最小值，最小值为S11=S12=-132．2．等差数列｛an｝中，a1＜0，前n项和为Sn，且S7＞0，S6＜0，请问：n为何值时，Sn最小？（请同学讨论解法，不写出解题过程）生：此题从图象入手是最简捷的．从题目来看：等差数列｛an｝中，a1。