余弦定理知识点总结和同步练习.docx

余弦定理教师：郭庆友(1)语言叙述三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍． (2)公式表达1、余弦定理：在DABC中，有 a2 =b 2 +c 2 -2bc cos A， b 2 =a 2 +c 2-2 ac cos B，c2=a2+b2-2 ab cos C．余弦定理证明如上图所示，ABC 在 c 上做高，根据射影定理，可得到：将等式同乘以 c 得到：运用同样的方式可以得到：将两式相加：向量证明1 / 92、余弦定理的推论：cos A =b2 +c 2 -a 2 a 2 +c 2 -b 2 a 2 +b 2 -c 2，cos B= ，cos C =2bc 2 ac 2 ab．3、设 a 、 b 、 c 是DABC的角 A 、 B 、C的对边，则：①若a2 +b 2 =c 2，则 C =90 ；②若a2 +b 2 >c 2 ，则 C <90 ；③若 a 2 +b 2 90 ．注：此法可以进行三角形形状的判定：主要判定最大角的余弦值的正负号，若最大角的余弦 值为负数，也即最大角为钝角，所以此三角形为钝角三角形；若最大角的余弦值为0，也即 最大角为直角，所以此三角形为直角三角形；若最大角的余弦值为正数，也即最大角为锐角， 所以此三角形为锐角三角形；4、余弦定理的适用范围余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决两类问题：①已知三角形两边及夹角求第三边；②是已知三个边求角的问题.若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

注：在两边一对角的三角问题中，也可以运用余弦定理方便快捷的求出第三边；余弦定理的 应用要比正弦定理范围广泛直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值例题：1 在 DABC 中，已知 a =2 3 ，c = 6 + 2， B =600 ，求 b 及 A；解析：（1）∵b2=a2+c2-2ac cos B=(23)2+( 6 + 2)2-2×2 3 ×( 6 + 2) COS 45 0=12 +( 6 + 2) 2 -4 3( 3 +1)=8∴ b =2 2.2 / 9A2bc22´2 2 ´( 6 + 2)2 2 222bc2 2 22cos B＝ ＝ ＝ ，2ac22×2×( 3＋1)求 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：1． ABC 中，已知 a＝2 6，b＝6＋2 3，c＝4 3，b2 +c2 -a 2 (2 2) 2 +( 6 + 2 ) 2 -(2 3) 2 1解法一：∵cos A = = = ,求角 A，B，C.A =60.∴解法二：∵sina 2 3A = sin B = ×sin45 b 2 20,又∵ 6 + 2 ＞2.4 +1.4 =3.8,2 3＜2´1.8 =3.6,∴a＜c，即0 0＜A＜90 0,∴A =60.例 2：已知△ABC 中， a∶b∶c＝2∶ 6 ∶( 3＋1)，求△ ABC 思各路角点的拨：度由数题．目可获取以下主要信息：①已知三边比例；②求三角形的三内角．解答本题可应用余弦定理求出三个角[解题过程] ∵a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，∴令 a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k.由余弦定理，有b ＋c －a 6＋( 3＋1)－4 2cos A＝ ＝ ＝ ，2 6×( 3＋1) 2∴A＝45°.a ＋c －b 4＋( 3＋1)－6 1[题后感悟] 此题为“已知三边，求三角形的三个角”类型问题，基本解法是先利用余弦定 理的推论求一个角的余弦，再判定此角的取值，求得第一个角，再用正弦定理求出另一个角， 最后用∴三角B＝形内60°.角和∴定C理＝，180°求出第－三A个－角(B一＝般180°地，先－求45°最小－角60°，再＝求75°.最大角)3 / 9b2222222ab 2×2 6×(6＋2 3)22c22 2 22 2 22b方法二：由 bcsin 30°知本题有两解．csin B由正弦定理，得 sin C＝ ＝3 3×312 3＝2∴C＝60°或 120°.解析： 在ABC 中，由余弦定理得， 当 C＝60°时 A＝90°由勾股定a理＋a＝b－b2c＋c2＝(23.6)－(6＋23)－(43) cos C＝ ＝当 C＝120°时，A＝30°，△ABC 为等腰三角形．∴a24＝(3.3＋1) ＝24 2( 3＋1)2＝ .2∴C＝45°，sin C＝ .由正弦定理得：sin A＝ 例 3：22 6×asin C 2 1 ＝ ＝ .4 3∵a0，所以 c＝ 3＋3.5 / 922222 222 2 22222 222ab 2ac222 2 2 2 22＝2bc· · ，4 分22 222 2 2222 24a2424a222定三角形形状．2 2 22 2 22方法二：将已知等式变形为b (1－cos C)＋c (1－cos 考点二：判断三角形的形状B)＝2bccos Bcos C，2 分a ＋b －c a ＋c －b即 b ＋c －b ·( ) －c ·( )例 5： 在ABC 中，若 b sin 2C +c sin 2B =2bc cos B cos C ，试判断三角形的形 状 a ＋c －b a ＋b －c思路点拨：由题目2ac可获取以下2ab主要信息：①边角之间的关系：[(ab＋sinb2－Cc+c)＋sin(a2＋B=c2－bcbcos)]BcosC；即 b ＋c ＝②确定三角形的形状．4a解答本题先由正弦＝定2理＝将a，边转化为角，然后由三角恒等式进行化简，得出结论； 也可先由余弦定理及同角三角函数关系转化成边之间的关系，然后由边的关系确即 b ＋c ＝a ，10 分∴△ABC 为直角三角形.12 分a b c[规范作答] 方法一：由 ＝ ＝ ＝2R，sin A sin B sin C则条件转化为 4R ·sin C·sin B ＋ 4R ·sin C·sin B ＝ 8R ·sin B·sin C·cos B·cos C，又 sin B·sin C≠0，∴sin B·sin C＝cos B·cos C，6 分即 cos(B＋C)＝0.8 分又 0°