
(完整版)专升本高数公式大全.pdf
16页高等数学公式 求导公式表: ( )0C (C为常数); 1 ()xx (为实数); ()ln(0,1) xx aaaaa ; () xx ee ; 1 (log)(0,1) ln xaa a xa ; 1 (ln )x x ; (sin )cosxx;(cos )sinxx; 1 2 (tan)sec 2 cos xx x ; (sec )sec tanxxx; 1 2 (cot )csc 2 sin xx x ; (csc )csccotxxx; 1 (arcsin ) 2 1 x x ; 1 (arccos ) 2 1 x x ; 1 (arctan ) 2 1 x x ;1 (arccot) 2 1 x x . 基本积分表: dkxkxC (k 为常数) . 特别地,当 0k 时, 0dxC . 1 1 d 1 xxxC (1) 1d ln ||xxC x d ln x xa axC a (0,1)aa . d xx exeC . sin dcosx xxC . cos dsinx xxC . 2 2 d sec dtan cos x x xxC x . 2 2 d cscdcot sin x x xxC x . sec tan dsecxx xxC . csc cot dcscxx xxC . 2 1 darcsin 1 xxC x arccosxC . 2 1 darctan 1 xxC x cotarcxC . tan dln cosx xxC . cot dln sinx xxC . sec dln sectanx xxxC . csc dln csccotx xxxC . 22 11 darctan x xC axaa . 22 11 dln 2 xa xC xaaxa . 22 1 darcsin(0) x xC a a ax . 22 22 1 dlnxxxaC xa . 2 22221 darcsin 22 ax ax xx axC a . 31 sec dsec tanlnsectan 2 x xxxxxC 三角函数的有理式积分: 2 222 212 sincostan 1121 uuxdu xxudx uuu ,,, 一些初等函数: () (0,1) log(0,1) sin ,cos ,tan ,cot ,sec ,csc arcsin,arccos ,arctan ,arccot x a yx yaaa yx aa yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx 幂函数 :为实数 指数函数: 对数函数: 三角函数: 反三角函数: : 2 : 2 : xx xx xx xx ee shx ee chx shxee thx chxee 双曲正弦 双曲余弦 双曲正切 2 2 ln(1 ln(1) 11 ln 21 arshxxx archxxx x arthx x ) 两个重要极限: sin lim1 0 x x x 1 1 lim1lim1 0 x x xe x xx 等价无穷小量替换 当 0 x 时, sin tan arcsin arctanxxxxx ln(1)x 1 x e , 1 2 1 cos 2 xx ,2 sin 2 tan 2 xxx, 1 11 2 xx 三角函数公式: 诱导公式: 函数 角 A sin cos Tan cot --sin cos -tan-cot 90 -cos sin Cottan 90 +cos -sin -cot-tan 180 -sin -cos -tan-cot 180 +-sin -cos Tancot 270 --cos -sin Cottan 270 +-cos sin -cot-tan 360 --sin cos -tan-cot 360 +sin cos Tancot 和差角公式:和差化积公式: 2 sin 2 sin2coscos 2 cos 2 cos2coscos 2 sin 2 cos2sinsin 2 cos 2 sin2sinsinsin()sincoscossin cos()coscossinsin tantan tan() 1tantan cotcot1 cot() cotcot m m m 倍角公式: 半角公式: 1cos1cos sincos 2222 1cos1cossin1cos1cossin tancot 21cossin1cos21cossin1cos 正弦定理:R C c B b A a 2 sinsinsin 余弦定理:Cabbaccos2 222 反三角函数性质:arcsinarccosarctancot 22 xxxarcx 高阶导数公式莱布尼兹(Leibniz)公式: )()()()2()1()( 0 )()()( ! )1()1( !2 ) 1( )( nkknnnn n k kknk n n uvvu k knnn vu nn vnuvu vuCuv 中值定理与导数应用: ( )0 ( )( )( )() ( )( )( ) ( )( )( ) F( ) f f bf afba f bf af F bF aF xx 罗尔中值定理: 拉格朗日中值定理: 柯西中值定理: 当时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
曲率: 3 3 3 2 sin33sin4sin cos34cos3cos 3tantan tan3 1 3tan 2222 2 2 sin22sincos cos22cos112sincossin cot1 cot2 2cot 2tan tan2 1 tan . 1 ;0 . )1( limM sMM:. ,1 320 2 a Ka K y y ds d s K MM s K tgydxyds s 的圆:半径为 直线: 点的曲率: 弧长化量;点,切线斜率的倾角变点到从平均曲率: 其中弧微分公式: 定积分的近似计算: b a nnn b a nn b a n yyyyyyyy n ab xf yyyy n ab xf yyy n ab xf )(4)(2)( 3 )( )( 2 1 )( )()( 1312420 110 110 抛物线法: 梯形法: 矩形法: 定积分应用相关公式: b a b a dttf ab dxxf ab y k r mm kF ApF sFW )( 1 )( 1 , 2 2 21 均方根: 函数的平均值: 为引力系数引力: 水压力: 功: 空间解析几何和向量代数: 222 12212121 1212 22222 ()()() Prcos , Pr()PrPr cos,, cos u u xxyyzz xxyyzz xyzxy dM Mxxyyzz j ABABABu jaajaja a baba ba ba b a ba ba b aaabb uuu ru uu ruuu r vvvv vv vv 空间两点的距离: 向量在轴上的投影:是与 轴的夹角。
是一个数量 两向量之间的夹角: 2 ,sin.. ()cos , z xyz xyz xyz xyz xyz b ijk cabaaacabvwr bbb aaa abcabcbbbabc ccc vv vvvvvvv vvv v vvvvv 例:线速度: 向量的混合积:为锐角时, 代表平行六面体的体积 (马鞍面)双叶双曲面: 单叶双曲面: 、双曲面: 同号)(、抛物面: 、椭球面: 二次曲面: 参数方程:其中空间直线的方程: 面的距离:平面外任意一点到该平 、截距世方程: 、一般方程: ,其中、点法式: 平面的方程: 1 1 3 ,, 22 2 11 ;,,, 13 02 ),,(,,,0)()()(1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 0 0 0 000 222 000 0000000 c z b y a x c z b y a x qpz q y p x c z b y a x ptzz ntyy mtxx pnmst p zz n yy m xx CBA DCzByAx d c z b y a x DCzByAx zyxMCBAnzzCyyBxxA 多元函数微分法及应用 z y z x y x y x y x yx F F y z F F x z zyxF dx dy F F yF F xdx yd F F dx dy yxF dy y v dx x v dvdy y u dx x u du yxvvyxuu x v v z x u u z x z yxvyxufz t v v z t u u z dt dz tvtufz yyxfxyxfdzz dz z u dy y u dx x u dudy y z dx x z dz ,,隐函数 ,,隐函数 隐函数的求导公式: 时,,当 :多元复合函数的求导法 全微分的近似计算: 全微分: 0),,( )()(0),( ),(),( ),(),,( )(),( ),(),( 2 2 ),( ),(1 ),( ),(1 ),( ),(1 ),( ),(1 ),( ),( 0),,,( 0),,,( yu GF Jy v vy GF Jy u xu GF Jx v vx GF Jx u GG FF v G u G v F u F vu GF J vuyxG vuyxF vu vu 隐函数方程组: 微分法在几何上的应用: ),,(),,(),,( 3 0))(,,())(,,())(,,(2 ),,(),,,(),,,(1 ),,(0),,( ,,, 0),,( 0),,( 0))(())(())(( )()()( ),,( )( )( )( 000 0 000 0 000 0 000000000000 000000000 000 000000 0 0 0 0 0 0 000 zyxF zz zyxF yy zyxF xx zzzyxFyyzyxFxxzyxF zyxFzyxFzyxFn zyxMzyxF GG FF GG FF GG FF T zyxG zyxF zztyytxxtM t zz t yy t xx zyxM tz ty tx zyx zyx zyx yx yx xz xz zy zy 、过此点的法线方程: :、过此点的切平面方程 、过此点的法向量: ,则:上一点曲面 则切向量若空间曲线方程为: 处的法平面方程:在点 处的切线方程:在点空间曲线 方向导数与梯度: 上的投影。
在是 单位向量 方向上的,为,其中:它与方向导数的关系是 的梯度:在一点函数 的转角轴到方向为其中 的方向导数为:沿任一方向在一点函数 lyxf l f ljieeyxf l f j y f i x f yxfyxpyxfz lx y f x f l f lyxpyxfz ),(grad sincos),(grad ),(grad),(),( sincos),(),( 多元函数的极值及其求法: 0000000000 002 00 2 2 (,)(,)0(,),(,),(,) 0,(,) 0 0,(,) 0 0, xyxxxyyy fxyfxyfxyAfxyBfxyC Axy BAC Axy BAC BAC 设,令: 为极大值 时, 为极小值 则:时,无极值 时 不确定 重积分及其应用: D z D y D x zyx D y D x D D y D x D DD ayx xdyx faF ayx ydyx fF ayx xdyx fF FFFFaaMzxoy dyxxIydyxyIx dyx dyxy M M y dyx dyxx M M x dxdy y z x z Ayxfz rdrdrrfdxdyyxf 2 3 222 2 3 222 2 3 222 22 D 2 2 )( ),( )( ),( )( ),( ,,)。