2022年最新高中数学函数知识点总结-知识点-题.pdf

精品文档精品文档函数一、函数的定义：1函数的概念： 设 A、B 是非空的数集， 如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合 B 中都有唯一确定的数f(x) 和它对应， 那么就称f： AB 为从集合A 到集合 B 的一个函数 记作：y=f(x) ，xA（1）其中， x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；（ 2）与 x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| x A 叫做函数的值域函数的三要素：定义域、值域、对应法则函数的表示方法：（1）解析法：明确函数的定义域（2）图想像：确定函数图像是否连线，函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等3）列表法：选取的自变量要有代表性，可以反应定义域的特征4、函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x A) 中的 x 为横坐标， 函数值 y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x A) 的图象 C 上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x) ，反过来，以满足 y=f(x) 的每一组有序实数对x、y为坐标的点 (x，y)，均在 C 上 . (2) 画法A、描点法：【例题】作出函数6, 3,762xxxy的图象。

B、图象变换法：平移变换；伸缩变换；对称变换，即平移 3）函数图像平移变换的特点：1）加左减右只对x 2）上减下加只对y 3）函数 y=f(x) 关于 X 轴对称得函数y=-f(x) 4）函数 y=f(x) 关于 Y 轴对称得函数y=f(-x) 5）函数 y=f(x) 关于原点对称得函数y=-f(-x) 6）函数 y=f(x) 将 x 轴下面图像翻到x 轴上面去， x 轴上面图像不动得函数 y=| f(x)| 7）函数 y=f(x) 先作 x0 的图像，然后作关于y 轴对称的图像得函数f(|x|) 精品文档精品文档二、函数的基本性质1、函数解析式子的求法（1）、函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. （ 2）、求函数的解析式的主要方法有：1）方程组法（求抽象函数）：例 1已知函数满足，求例 2、已知：1)(3)(2xxfxf，求fx表达式 . 2）待定系数法：例 1.已知函数fx是一次函数 ,且49)(xxff,求fx表达式例 2.二次函数f(x) 满足 f(x 1)f(x) 2x，且 f(0)1. (1)求 f(x)的解析式；(2)解不等式 f (x) 2x5. 3）换元法：例 3.已知11,fxxfx则_。

4)拼凑法：例 4已知二次函数满足，求2定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. )(xfxxfxf3)1(2)()(xf)(xf564)12(2xxxf)(xf精品文档精品文档3、相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）定义域一致(两点必须同时备) （1），；（2），（3），；（4），（5），（nN*）；4、区间的概念：（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示5、值域（先考虑其定义域）（1）观察法：直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域；（2）反表示法：针对分式的类型，把Y 关于 X 的函数关系式化成X 关于 Y 的函数关系式，由X 的范围类似求Y 的范围。

3)配方法：针对二次函数的类型，根据二次函数图像的性质来确定函数的值域，注意定义域的范围例题】34252xxy(4)代换法（换元法）：作变量代换，针对根式的题型，转化成二次函数的类型例题】xxy21（5）分离常数法【例题】xxy432)(xxf33)(xxgxxxf)(;01,01)(xxxgxxf)(1xxxxg2)(12)(2xxxf12)(2tttg1212)(nnxxf1212)()(nnxxg精品文档精品文档6.分段函数（1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数2）各部分的自变量的取值情况（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集（4）常用的分段函数有取整函数、符号函数、含绝对值的函数例 7、求53xxy的值域例 8、求函数222(03)( )6 ( 20)xxxf xxxx的值域7.复合函数（抽象函数）例 1已知的定义域是，求函数的定义域例 2已知(21)yfx的定义域是（-2，0），求(21)yfx的定义域例 3、已知函数)1( xfy的定义域为 -2，3，则12 xfy的定义域是 _ 8映射一般地，设A、 B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合 B 中都有唯一确定的元素y 与之对应， 那么就称对应f：AB 为从集合A 到集合 B 的一个映射。

记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”对于映射f：AB 来说，则应满足：(1)集合 A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的；(2)集合 A 中不同的元素，在集合B 中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象注意：映射是针对自然界中的所有事物而言的，而函数仅仅是针对数字来说的所以函数是映射，而映射不一定的函数)2(xfyba，)(xfy精品文档精品文档8、函数的单调性(局部性质 )及最值（ 1）、增减函数（1）设函数y=f(x) 的定义域为I，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x1，x2，当 x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x) 在区间 D 上是增函数 .区间 D 称为 y=f(x) 的单调增区间. （2）如果对于区间D 上的任意两个自变量的值x1，x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x) 的单调减区间. 注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调不减两种2若偶函数)(xf在1,上是增函数，则下列关系式中成立的是（）A)2()1()23(fffB)2()23()1(fffC)23()1()2(fffD)1()23()2(fff2下列函数中,在区间0,1上是增函数的是（）AxyBxy3Cxy1D42xy【例】已知函数2( )22,5,5f xxaxx. 当1a时，求函数的最大值和最小值； 求实数a的取值范围，使( )yf x在区间5 , 5上是单调函数。

2）、图象的特点如果函数y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x) 在这一区间上具有(严格的 )单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. 精品文档精品文档（ 3）、函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法： 1任取 x1，x2D，且 x11，且nN*当 n 是奇数时， 正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n 次方根是一个负数此时， a的 n 次方根用符号表示当 n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数此时正数a 的正的 n 次方根用符号表示，负的 n 的次方根用符号表示正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成（a0）注意：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是0，记作00n当n是奇数时，aann，当n是偶数时，)0()0(|aaaaaann式子na叫做根式，这里n 叫做根指数， a 叫做被开方数3、分数指数幂正数的分数指数幂) 1,0(*nNnmaaanmnm，) 1,0(11*nNnmaaaanmnmnm0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂没有意义4、有理数指数米的运算性质（1）rasrraa), 0(Rsra；（2）rssraa )(),0(Rsra；（3）srraaab)(), 0(Rsra5、无理数指数幂一般的，无理数指数幂aa（a0,a 是无理数）是一个确定的实数。

有理数指数幂的运算性质同样使用于无理数指数幂精品文档精品文档（二）、指数函数的性质及其特点1、指数函数的概念：一般地， 函数)1, 0(aaayx且叫做指数函数， 其中 x 是自变量， 函数的定义域为R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1为什么？2、指数函数的图象和性质a1 0a1 时，若 X1X2 ,则有 f(X1)1 0a1 定义域 x0 定义域 x0 值域为 R 值域为 R 在 R 上递增在 R 上递减函数图象都过定点（1，0）函数图象都过定点（1，0）幂函数32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567801132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-112345678011精品文档精品文档1、幂函数定义：一般地，形如xy)(Ra的函数称为幂函数，其中为常数2、幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义并且图象都过点（1， 1）；（2）0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0上是增函数特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当10时，幂函数的图象上凸；（ 3）0时，幂函数的图象在区间),0(上是减函数在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴精品文档精品文档四、函数的应用方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。

2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标即：方程有实数根，函数的图象与坐标轴有交点，函数有零点3、函数零点的求法：（1）（代数法）求方程的实数根；（2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：（1） 0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点（2） 0，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点（3） 0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点。