2024-2025学年四川省成都市养马高级中学高二（下）期中数学试卷（含答案）.docx

2024-2025学年四川省成都市养马高级中学高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.函数f(x)=x2在x=1处的导数f′(1)等于(    )A. 2 B. 1 C. 12 D. −122.等比数列{an}中，a4=4，则a2⋅a6等于(    )A. 4 B. 8 C. 16 D. 323.记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5=7，a10=2，则S14=(    )A. 49 B. 63 C. 70 D. 1264.函数f(x)=2x−4lnx的单调递减区间是(    )A. (−∞,2) B. (0,2) C. (2,+∞) D. (e,+∞)5.数列{an}满足a1=5，an+1=3an+1,an为奇数,an2,an为偶数,则a4=(    )A. 1 B. 2 C. 4 D. 86.已知函数y=f(x)的导函数y=f′(x)图象如图所示，则函数y=f(x)的大致图象是(    )A. B. C. D. 7.在数列{an}中，a1=1，n(n+1)(an+1−an)=1(n∈N^)，则a2022=(    )A. 40432022 B. 40412021 C. 20202021 D. 202120228.若a=12ln12，b=23ln23，c=−1e，则(    )A. c

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9.已知数列1, 3, 5, 7，…，则下列说法正确的是(    )A. 此数列的通项公式是 2n−1 B. 3 5是它的第23项C. 此数列的通项公式是 2n+1 D. 3 5是它的第25项10.已知函数f(x)=x3,x<0lnx,0

15.(本小题13分)已知在等差数列{an}中，a5=3，a9=−5．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{an}的前n项和Sn．16.(本小题15分)在①Sn=n2+2n；②a3=7，a2+a6=18；③a1=3，S5=35这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．问题：已知等差数列{an}，Sn为其前n项和，若_____．(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)设bn=2anan+1(n∈N∗)，求证：数列{bn}的前n项和Tn<13．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．17.(本小题15分)已知函数f(x)=13x3−12ax2，a∈R．(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程；(2)讨论f(x)的单调性．18.(本小题17分)已知函数f(x)=x2+lnx−ax．(1)当a=3时，求f(x)的单调增区间；(2)若f(x)在(0,1)上是增函数，求a得取值范围．19.(本小题17分)已知数列{1an+1−1an}是以公比为3，首项为3的等比数列，且a1=1．(1)求{1an+1−1an}的通项公式；(2)求出{an}的通项公式；(3)设bn=nanan+2，数列{bn}的前n项和为Sn，若不等式2Sn>λ−n+13n对任意的n∈N∗恒成立，求实数λ的取值范围．参考答案1.A 2.C 3.B 4.B 5.C 6.D 7.A 8.C 9.AB 10.BC 11.AB 12.6n−3 13.2 14.an=12n−1 15.(1)在等差数列{an}中，a5=3，a9=−5，设等差数列{an}的公差为d，则4d=a9−a5=−5−3=−8，解得d=−2，∴an=a5+(n−5)d=3−2(n−5)=13−2n；(2)∵a1=11，∴Sn=n(a1+an)2=n(11+13−2n)2=12n−n2．16.(Ⅰ)解：方案一：选择条件① 由题意，当n=1时，a1=S1=12+2×1=3，当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n2+2n−(n−1)2−2(n−1)=2n+1，∵当n=1时，a1=3也满足上式，∴an=2n+1，n∈N∗．方案二：选择条件② 由题意，设等差数列{an}的公差为d，则a3=a1+2d=7，a2+a6=a1+d+a1+5d=2a1+6d=18，联立a1+2d=72a1+6d=18，解得a1=3d=2，∴an=3+2(n−1)=2n+1，n∈N∗．方案三：选择条件③ 由题意，设等差数列{an}的公差为d，则S5=5a1+5×42d=15+10d=35，解得d=2，∴an=3+2(n−1)=2n+1，n∈N∗．(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)，可得bn=2anan+1 =2(2n+1)(2n+3) =12n+1−12n+3，则Tn=b1+b2+⋅⋅⋅+bn =13−15+15−17+⋅⋅⋅+12n+1−12n+3 =13−12n+3<13，故不等式Tn<13对任意n∈N∗恒成立． 17.解：(1)当a=2时，f(x)=13x3−x2，则f′(x)=x2−2x，∴f′(3)=9−6=3，又f(3)=9−9=0，∴f(x)在点(3,f(3))处的切线方程为：y=3(x−3)，即3x−y−9=0．(2)由题意得：f(x)定义域为R，f′(x)=x2−ax=x(x−a)；当a=0时，f′(x)=x2≥0，∴f(x)在R上单调递增；当a<0时，若x∈(−∞,a)∪(0,+∞)，则f′(x)>0；若x∈(a,0)，则f′(x)<0；∴f(x)在(−∞,a)，(0,+∞)上单调递增，在(a,0)上单调递减；当a>0时，若x∈(−∞,0)∪(a,+∞)，则f′(x)>0；若x∈(0,a)，则f′(x)<0；∴f(x)在(−∞,0)，(a,+∞)上单调递增，在(0,a)上单调递减；综上所述：当a=0时，f(x)在R上单调递增；当a<0时，f(x)在(−∞,a)，(0,+∞)上单调递增，在(a,0)上单调递减；当a>0时，f(x)在(−∞,0)，(a,+∞)上单调递增，在(0,a)上单调递减． 18.解：(1)当a=3时，f(x)=x2+lnx−3x；∴f′(x)=2x+1x−3，由f′(x)>0得，01，故所求f(x)的单调增区间为(0,12)，(1,+∞)；(2)f′(x)=2x+1x−a，∵f(x)在(0,1)上是增函数，∴2x+1x−a>0在(0,1)上恒成立，即a<2x+1x恒成立，∵2x+1x≥2 2(当且仅当x= 22时取等号)所以a<2 2，当a=2 2时，易知f(x)在(0,1)上也是增函数，所以a≤2 2．故a的取值范围为[2 2,+∞)． 19.(1)因为数列{1an+1−1an}是首项为3，公比为3的等比数列，所以1an+1−1an=3×3n−1=3n．(2)当n≥2时，(1an−1an−1)+(1an−1−1an−2)+…+(1a2−1a1)=3n−1+3n−2+…31=3(1−3n−1)1−3=3n−32，即1an−1a1=3n−32，所以1an=3n−32+1a1=3n−32+1=3n−12，所以an=23n−1，又a1=1也满足上式，故数列{an}的通项公式为an=23n−1．(3)由(1)，可得bn=nanan+2=n⋅23n−123n−1+2=2n2+2(3n−1)=n3n，所以Sn=13+232+333+⋯+n3n①，13Sn=132+233+334+⋯+n−13n+n3n+1②，由①−②，得23Sn=13+132+133+⋯+13n−n3n+1=13(1−13n)1−13−n3n+1=12(1−13n)−n3n+1=12−2n+32⋅3n+1，所以2Sn=32−2n+32⋅3n，所以不等式2Sn>λ−n+13n可化为32−2n+32⋅3n>λ−n+13n，即λ<32−12×3n对任意的n∈N∗恒成立，令cn=32−12×3n，可得{cn}为递增数列，即转化为λ<(cn)min，又(cn)min=c1=43所以λ<43，故λ的取值范围是(−∞,43)．第7页，共7页。