2024-2025学年四川省成都市鸿鹄高级中学高一（下）期中数学试卷（含答案）.docx

2024-2025学年四川省成都市鸿鹄高级中学高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知角θ的终边经过点( 2,−1)，则sinθ=(    )A. 63 B. − 63 C. 33 D. − 332.下列说法中，正确的个数是(    )①时间、摩擦力、重力都是向量； ②向量的模是一个正实数；③相等向量一定是平行向量； ④向量a与b不共线，则a与b都是非零向量．A. 1 B. 2 C. 3 D. 43.已知α∈(π2,π)，sinα=35，则sin(−3π2−α)=(    )A. −45 B. ±45 C. 45 D. 354.已知e1,e2是两个不共线的向量，a=e1+3e2,b=−2e1+ke2，若a与b是共线向量，则实数k的值为(    )A. −6 B. 6 C. 32 D. −325.已知α为锐角，若sin(α+π2)=13，则cos(α−π4)=(    )A. 2+46 B. 2−46 C. 2−43 D. 4− 236.设x,y∈R，向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,−4)且a⊥c,b//c，则(a+b)·(a−c)=(    )A. −3 B. 5 C. −5 D. 157.已知sinθ+cosθ=15(0<θ<π)，则cos2θ=(    )A. ±2425 B. −2425 C. ±725 D. −7258.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB=mAM，AC=nAN，m>0，n>0，则2m+8n的最小值(    )A. 2 B. 8C. 9 D. 18二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9.设函数f(x)=cos(x+π6)+sinx，则(    )A. f(x)的最大值为1 B. y=f(x)关于点(π3,0)对称C. f(x)在区间(0,π2)上单调递增 D. f(x−5π6)为偶函数10.已知向量a=(2,1),b=(1,−1),c=(m−2,−n)，其中m，n均为正数，且(a−b)//c，下列说法正确的是(    )A. a⋅b=1 B. a与b的夹角为钝角C. 2m+n=4 D. 向量a在b方向上的投影为 2211.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2+c2=b2−ac，S△ABC= 34，且b= 3，则(    )A. sinB=12 B. cosB=−12 C. ac=1 D. a+c=2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知tanα=2，则sinα+cosα2sinα+cosα=______．13.已知向量a=(1,−2)，b满足a⊥(a−2b)，则b在a上的投影向量的坐标为           ．14.若函数f(x)= 3sin2ωx−2cos2ωx+1(ω>0)在(0,π2)上只有一个零点，则ω的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.(本小题13分)已知|a|=4，|b|=8，a与b的夹角为2π3．(1)求|a+b|；(2)当k为何值时，(a+2b)⊥(ka−b)？16.(本小题15分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式．(2)将f(x)图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的12倍，再将所得图象上各点向右平移π6个单位长度，得到g(x)的图象，求g(x)图像的对称中心及单调增区间．17.(本小题15分)如图，在平行四边形ABCD中，AM=13AD，令AB=a,AC=b．(1)用a,b表示AM,BM；(2)若AB=AM=2，且AC⋅BM=10，求cos〈a,b〉．18.(本小题17分)已知向量m=( 3sinx,cosx−1)，n=(cosx,cosx+1)，若f(x)=m⋅n．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)在Rt△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若∠A=90°，f(C)=0，c= 3，CD为∠BCA的角平分线，E为CD中点，求BE的长．19.(本小题17分)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2+b2−c22b−b=c− 3asinC．(1)求A；(2)若a=2 3，△ABC的面积为3 3，求b，c；(3)若c=2，求△ABC周长的取值范围．参考答案1.D 2.B 3.A 4.A 5.A 6.C 7.D 8.C 9.AD 10.ACD 11.BCD 12.35 13.(12,−1) 14.(16,76] 15.解：(1)∵a⋅b=|a|⋅|b|cos=32cos2π3=−16，∴|a+b|2=|a|2+2a⋅b+|b|2=16−32+64=48，∴|a+b|=4 3．(2)(a+2b)⊥(ka−b)，则(a+2b)⋅(ka−b)=k|a|2+(2k−1)a⋅b−2|b|2=16k−16(2k−1)−128=0，解得k=−7． 16.解：(1)由图形可知A=1，2π3−π6=T2=12×2πω，得ω=2，由题意可得sin(2×π6+φ)=1，即π3+φ=π2+2kπ(k∈Z)，所以φ=π6+2kπ(k∈Z)，因为|φ|<π2，所以φ=π6，可得函数f(x)的解析式f(x)=sin(2x+π6)；(2)将f(x)图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的12倍，得到y=sin(4x+π6)的图象，再将所得图象上各点向右平移π6个单位长度，得到g(x)=sin(4(x−π6)+π6)的图象，可得g(x)=sin(4x−π2)=−cos4x，由4x=π2+kπ(k∈Z)，得x=π8+kπ4(k∈Z)，所以g(x)的对称中心为(π8+kπ4,0)(k∈Z)，令2kπ≤4x≤2kπ+π，得kπ2≤x≤π4+kπ2(k∈Z)，所以g(x)的单调递增区间为[kπ2,π4+kπ2](k∈Z)． 17.(1)因为AB=a，AC=b，且ABCD是平行四边形，所以BC=AC−AB=b−a，所以AM=13AD=13BC=13(b−a)，所以BM=AM−AB=13(b−a)−a=13b−43a，(2)由(1)知AM=13(b−a)，BM=13b−43a，又AC=b,AC⋅BM=10,AB=AM=2，所以b⋅(13b−43a)=10，|13(b−a)|=2，|a|=2，即b2−4a⋅b=30，b2+a2−2a⋅b=36，解得a⋅b=1，|b|= 34，所以cos=a⋅b|a||b|=12× 34= 3468．18.解：(1)f(x)=m⋅n= 3sinxcosx+(cosx−1)(cosx+1)= 3sinxcosx+cos2x−1= 32sin2x+12cos2x−12=sin(2x+π6)−12，令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，则−π3+kπ≤x≤π6+kπ，∴函数f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ]，(k∈Z)．(2)由f(C)=0，得sin(2C+π6)−12=0，∴sin(2C+π6)=12，∵C∈(0,π)，∠A=π2，∴2C+π6=5π6，∴C=π3，如图，在Rt△ACB中，AB= 3，C=π3，∴BC=2，AC=1，在Rt△ACD中，AC=1，∠ACD=π6，∴DC=ACcosπ6=2 33，在△BCE中，由余弦定理得，BE2=BC2+CE2−2BC⋅CEcos∠BCE=4+13−2×2× 33× 32=73，∴BE= 213． 19.解：(1)∵a2+b2−c22b−b=c− 3asinC，可得2abcosC2b+ 3asinC=b+c，∴可得acosC+ 3asinC=b+c，又由正弦定理可得sinAcosC+ 3sinAsinC=sinB+sinC，∵sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，∴ 3sinAsinC=cosAsinC+sinC，∵sinC≠0，∴ 3sinA=cosA+1，即 3sinA−cosA=1，∴ 32sinA−12cosA=12，∴sin(A−π6)=12，∵0