2024-2025学年四川省成都市艺体中学高一（下）期中数学试卷（含解析）.docx

2024-2025学年四川省成都市艺体中学高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.(易向量的概念)下列命题中，正确的是(    )A. 若a//b，则a与b方向相同或相反B. 若a//b，b//c，则a//cC. 若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等D. 若a=b，b=c，则a=c2.下列函数是周期为π的偶函数是(    )A. y=sinx B. y=|sinx| C. y=tanx D. y=cosx3.已知cosα=34,3π2<α<2π，则cosα2=(    )A. − 24 B. − 144 C. 24 D. 1444.若向量a，b，c两两所成的角相等，且|a|=2，|b|=2，|c|=6，则|a+b+c|=(    )A. 4 B. 10 C. 4或10 D. 2或 105.如图所示，△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则BE=(    )A. 23BA+16BCB. 13BA+13BCC. 23BA+13BCD. 13BA+16BC6.已知非零向量a、b满足|a|=|b|=|a−b|，则a+b与a的夹角的余弦值是(    )A. 12 B. 32 C. −12 D. − 327.函数y=1−sin2x−2sinx的值域是(    )A. [−2,2] B. (−2,2) C. (0,2) D. (−2,0)8.我圆古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为α，大正方形的面积为S1，小正方形的面积为S2，若S1S2=25，则3sinα+cosα2sinα−cosα的值为(    )A. 52 B. 72 C. 132 D. 192二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9.已知函数f(x)=sin(2x−π3)，则下列说法正确的是(    )A. 函数f(x)的最小正周期为πB. 函数f(x)在区间(−π6,0)上单调递增C. 函数f(x)的图象的对称轴方程为x=kπ2−π12(k∈Z)D. 函数f(x)的图象可由函数y=sin2x的图象向右平移π3个单位长度得到10.下列结论正确的是(    )A. 若|a|+|b|=|a+b|，则a与b的方向相反B. tan25°+tan35°+ 3tan25°tan35°= 3C. sin37.5°cos7.5°−cos37.5°cos97.5°= 22D. 向量PA=(k,12),PB=(4,5),PC=(10,k)，若A，B，C三点共线，则k=−211.在△ABC中，则下列说法正确的是(    )A. 若(AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0，且AB|AB|⋅AC|AC|=12，则△ABC为等边三角形B. 若点M是边BC上的点，且AM=23AB+13AC，则△AMC的面积是△ABC面积的13C. 若PA⋅PB=PB⋅PC=PC⋅PA，则P是三角形ABC的垂心D. 若tanA+tanB+tanC>0，则△ABC为锐角三角形三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知向量a=(λ,2)，b=(−1,3)，若a//(a+b)，则λ= ______．13.已知cosθ−sinθ=12，则cos4θ= ______．14.已知△ABC是面积为4 3的等边三角形，且AD=xAB+yAC，其中实数x，y满足x+y2=1，则DA⋅DC的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.(本小题13分)已知向量a与b的夹角为π3，且|a|=2,|b|=3，(1)求|a+b|；(2)若(2a+b)⊥(ka−b)，求k；(3)求向量a在向量a+b上的投影向量的模．16.(本小题15分)已知函数f(x)= 32sin2x−12cos2x+1．(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在[0,π]上的单调递减区间；(3)若f(α)=25,α∈(π3,5π6)，求sin2α的值．17.(本小题15分)已知向量a=(−1,3)，b=(1,−2)，c=a+2b，d=a+b．(1)求cos〈c,d〉；(2)若c和a−λb的夹角为锐角，求λ的取值范围；(3)求|a−λb|的最小值．18.(本小题17分)水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，工作示意图如图所示．设水车(即圆周)的直径为3米，其中心(即圆心)O到水面的距离b为1.2米，逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒．水车边缘上一点P距水面的高度为ℎ(单位；米)，水车逆时针旋转时间为t(单位：秒).当点P在水面上时高度记为正值；当点P旋转到水面以下时，点P距水面的高度记为负值．过点P向水面作垂线，交水面于点M，过点O作PM的垂线，交PM于点N.从水车与水面交于点Q时开始计时(t=0)，设∠QON=φ，水车逆时针旋转t秒转动的角的大小记为α．(1)求ℎ与t的函数解析式；(2)当雨季来临时，河流水量增加，点O到水面的距离减少了0.3米，求∠QON的大小(精确到1°)；(3)若水车转速加快到原来的2倍，直接写出ℎ与t的函数解析式．(参考数据：sinπ5≈0.60,sin3π10≈0.80,sin2π5≈0.86)19.(本小题17分)定义：若非零向量OM=(a,b)，函数f(x)的解析式满足f(x)=asinx+bcosx，则称f(x)为OM的伴随函数，OM为f(x)的伴随向量，(1)若向量OM为函数f(x)=2sin(x+π6)+4sin(x−π2)的伴随向量，求|OM|；(2)若函数f(x)为向量OM=( 3,−1)的伴随函数，在中，f(A)=1，且sin(B−C)= 34，求证：tanB=3tanC．(3)若函数f(x)为向量OM=(2,1)的伴随函数，关于x的方程f(x)=m+2cos2x2−2 3|cosx|在[0,2π]上有且仅有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围．答案解析1.【答案】D 【解析】解：由于零向量的方向是任意的，取a=0，则对于任意向量b，都有a//b，知A错；取b=0，则对于任意向量a，c都有a//b，b//c，但得不到a//c，知B错；两个单位向量互相平行，方向可能相反，知C错；由两向量相等的概念知D正确．故选：D．本题考查的主要知识点是向量平行(共线)的定义及性质，根据平面向量平行(共线)的定义和性质，对四个答案逐一进行分析，不难得到答案．在判断两个向量的关系时，特别是在判断两个向量的平行(共线)关系，一定要注意两个向量的平行(共线)的定义分为两部分：①0与任何向量都平行(共线)②如果两个非零向量的方向相同(或相反)，则两个向量平行(共线).故一定要考虑条件中的向量是否为零向量．2.【答案】B 【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，函数y=sinx，是正弦函数，是奇函数不是偶函数，不符合题意；对于B，对于函数y=|sinx|，因为|sin(−x)|=|−sinx|=|sinx|，所以y=|sinx|是偶函数．又因为|sin(x+π)|=|−sinx|=|sinx|，所以y=|sinx|的周期是π，满足题目要求，所以B选项正确．对于C，函数y=tanx，是正切函数，是奇函数不是偶函数，不符合题意；对于D，函数y=cosx，是余弦函数，其周期为2π，不符合题意．故选：B．根据函数的奇偶性和周期性的定义来逐一分析选项．本题考查函数奇偶性、周期性的判断，涉及三角函数的恒等变形，属于基础题．3.【答案】B 【解析】解：∵3π2<α<2π，∴3π4<α2<π，cosα=34，则cosα2=− 1+cosα2=− 78=− 144．故选：B．根据半角公式即可得．本题考查半角公式，属于基础题．4.【答案】C 【解析】解：由于向量a,b,c两两所成的角相等，故任意两个向量的夹角为0或2π3．再由|a|=2,|b|=2,|c|=6，可得①若任意两个向量的夹角为0，则|a+b+c|=2+2+6=10．②若任意两个向量的夹角为2π3，则a⋅b=2×2×cos2π3=−2，a⋅c=b⋅c=2×6×cos2π3=−6，故|a+b+c|= a2+b2+c2+2a⋅b+2b⋅c+2a⋅c= 4+4+36−4−12−12=4，故选：C．由题意可得任意两个向量的夹角为0或2π3.分别求出|a+b+c|的值，从而得出结论．考查学生会计算平面向量的数量积，灵活运用a⋅b=|a|⋅|b|⋅cosα的公式，属于基础题．5.【答案】A 【解析】解：由题意可得：BE=BA+AE，AE=13AD，AD=AB+BD，BD=12BC，∴BE=23BA+16BC，故选：A．利用向量共线定理、三角形法则即可得出结论．本题考查了向量三角形法则、向量共线定理、平面向量基本定理，考查了推理能力，属于基础题．6.【答案】B 【解析】【分析】本题考查利用平面向量的数量积求向量的夹角，属于基础题．先求得2a⋅b=a2，即可求得(a+b)⋅a=32a2，再利用向量夹角公式计算即可．【解答】解：因为|a|=|b|=|a−b|，所以|a−b|= (a−b)2= a2−2a⋅b+b2=|a|，所以2a⋅b=a2，因为|a+b|= (a+b)2= a2+2a⋅b+b2= 3|a|，(a+b)⋅a=a2+a⋅b=32a2，设a+b与a的夹角为θ，则cosθ=(a+b)⋅a|a+b||a|=32a2 3|a|×|a|= 32．故选：B．7.【答案】A 【解析】解：由于函数y=1−sin2x−2sinx=1−sin2x−2cosx=−(sinx+1)2+2，在sinx=−1处，函数最大值2，在sinx=1处，取得最小值为−2，故可知函数的值域为：[−2,2]．故选：A．根据题意，化简函数的解析式，通过二次函数以及三角函数的有界性，求解函数的最值即可．主要是考查了二次函数的值域的求解，属于基础题．8.【答案】C 【解析】解：设大正方形的边长为a，则直角三角形的直角边分别为asinα，acosα，∵α为直角三角形较小的锐角，∴0<α<π4，S1=a2，S2=S1−4×12asinα⋅acosα=a2−2a2sinαcosα，则S1S2=a2a2−2a2sinαcosα=11−2sinαcosα=25，即sin2α+cos2αsin2α+cos2α−2sinαcosα=25，∴tan2α+1tan2α+1−2tanα=25，解得tanα=34或43(不合题意，舍去)，∴3sinα+cosα2sinα−cosα=3tanα+12tanα−1=3×34+12×34−1=132．故选：C．设大正方形的边长为a，从而可得直角三角形的直角边，分别求出S1，S2，再根据S1S2=25求得tanα，再化弦为切即可得出答案．本题考查解三角形和同角三角函数的基本关系，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．9.【答案】AC 【解析】解：函数f(x)的周期为2π2=π，故A正确；令2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2，即kπ−π12≤x≤kπ+5π12(k∈Z)，所以f(x)的单调递增区间为[kπ−π12,kπ+5π12](k∈Z)，当k=0时，递增区间为[−π12,5π12]，故B错。