中考必会几何模型：手拉手模型.doc

Wang图①图②图③手拉手模型模型　手拉手如图，△ABC是等腰三角形、△ADE是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝．结论：连接BD、CE，则有△BAD≌△CAE．模型分析如图①，∠BAD＝∠BAC－∠DAC，∠CAE＝∠DAE－∠DAC．∵∠BAC＝∠DAE＝，∴∠BAD＝∠CAE．在△BAD和△CAE中，图②、图③同理可证．（1）这个图形是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．（2）如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，所以把这个模型称为手拉手模型．（3）手拉手模型常和旋转结合，在考试中作为几何综合题目出现．模型实例例1　如图，△ADC与△EDG都为等腰直角三角形，连接AG、CE，相交于点H，问：（1）AG与CE是否相等？（2）AG与CE之间的夹角为多少度？解答：（1）AG＝CE．理由如下：∵∠ADG＝∠ADC＋∠CDG，∠CDE＝∠GDE＋∠CDG，∠ADC＝∠EDG＝90，∴∠ADG＝∠CDE．在△ADG和△CDE中，∴△ADE≌△CDE．∴AG＝CE．（2）∵△ADG≌△CDE，∴∠DAG＝∠DCE．∵∠COH＝∠AOD，∴∠CHA＝∠ADC＝90．∴AG与CE之间的夹角是90．例2　如图，在直线AB的同一侧作△ABD和△BCE，△ABD和△BCE都是等边三角形，连接AE、CD，二者交点为H．求证：（1）△ABE≌△DBC；（2）AE＝DQ；（3）∠DHA＝60；（4）△AGB≌△DFB；（5）△EGB≌△CFB；（6）连接GF，GF∥AC；（7）连接HB，HB平分∠AHC．证明：（1）∠ABE＝120，∠CBD＝120，在△ABE和△DBC中，∴△ABE≌△DBC．（2）∵△ABE≌△DBC，∴AE＝DC．（3）△ABE≌△DBC，∴∠1＝∠2．∴∠DGH＝∠AGB．∴∠DHA＝∠4＝60．（4）∵∠5＝180－∠4－∠CBE＝60，∴∠4＝∠5．∵△ABE≌△DBC，∴∠1＝∠2．又∵AB＝DB，∴△AGB≌△DFB（ASA）．（5）同（4）可证△EGB≌△CFB（ASA）．图①（6）如图①所示，连接GF．由（4）得，△AGB≌△DFB．∴BG＝BF．又∵∠5＝60，∴△BGF是等边三角形．∴∠3＝60．∴∠3＝∠4．∴GF∥AC．（7）如图②所示，过点B作BM⊥DC于M，过点B作BN⊥AE于点N．图②∵△ABE≌△DBC，∴S△ABE＝S△DBC．∴AEBN＝CDBM．∵AE＝CD，∴BM＝BN．∵点B在∠AHC的平分线上．∴HB平分∠AHC．跟踪练习：1． 在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．（1）求证：BE＝BF；（2）若∠CAE＝30，求∠ACF度数．答案：（1）证明：∠ABC＝90．在Rt△ABE和Rt△CBF中，∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）．∴BE＝BF．（2）∵AB＝CB，∠ABC＝90，∴∠BAC＝∠BCA＝45．∴∠CAE＝30．∴∠BAE＝45－30＝15．∵Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF＝∠BAE＝15．∴∠ACF＝∠BCF＋∠BCA＝15＋45＝60．2．如图，△ABD与△BCE都为等边三角形，连接AE与CD，延长AE交CD于点H．求证：（1）AE＝DC；（2）∠AHD＝60；（3）连接HB，HB平分∠AHC．答案：（1）∵∠ABE＝∠ABD－∠EBD，∠DBC＝∠EBC－∠EBD，∠ABD＝∠EBC＝60，∴∠ABE＝∠DBC．在△ABE和△DBC中，∴△ABE≌△DBC．∴AE＝DC．（2）∵△ABE≌△DBC ，∴∠EAB＝∠CDB．又∵∠OAB＋∠OBA＝∠ODH＋∠OHD，∴∠AHD＝∠ABD＝60．（3）过B作AH、DC的垂线，垂足分别为点M、N．∵△ABE≌△DBC，∴S△ABE＝S△DBC．即AEBM＝CDBN．又∵AE＝CD，∴BM＝BN．∴HB平分∠AHC．3．段AE同侧作等边△ABC和等边△CDE（∠ACE＜120），点P与点M分别是线段BE和AD的中点．求证：△CPM是等边三角形．答案：证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE．∴∠ACB＝∠ECD＝60．∴∠BCE＝∠ACD．∴△BCE≌△ACD．∴∠CBE＝∠CAD，BE＝AD．又∵点P与点M分别是线段BE和AD的中点，∴BP＝AM．在△BCP和△ACM中，∴△BCP≌△ACM．∴PC＝MC，∠BCP＝∠ACM．∴∠PCM＝∠ACB＝60．∴△CPM是等边三角形．4． 将等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按图①方式放置，∠A＝90，AD边与AB边重合，AB＝2AD＝4．将△ADE绕A点逆时针方向旋转一个角度（0＜＜180），BD的延长线交CE于P．（1）如图②，求明：BD＝CE，BD⊥CE；（2）如图③，在旋转的过程中，当AD⊥BD时，求CP长．图①图②图③答案：（1）∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90．∵∠DAB＝90－∠CAD，∠CAE＝90－∠CAD，∴∠DAB＝∠CAE．∴△ABD≌△ACE．∴BD＝CE．∴∠DBA＝∠ECA．∴∠CPB＝∠CAB．（8字模型）∴BD⊥CE．（2）由（1）得BP⊥CE．又∵AD⊥BD，∠DAE＝90，AD＝AE，∴四边形ADPE为正方形．∴AD＝PE＝2．∴∠ADB＝90，AD＝2，AB＝4，∴BD＝CE＝． ∴CP＝CE－PE＝． 6。