七年级数学专题一数学思想解读华东师大版.docx
8页
初一数学专题一 数学思想解读华东师大版【本讲教育信息 】一、教学内容：专题一 数学思想解读二、内容概要数学思想方法是数学的灵魂， 数学思想指导着数学问题的解决， 并具体地体现在解决问题的不同方法中， 掌握一定的数学思想和方法远比掌握一般的数学知识有用的多 . 通过七年级下册数学的学习， 同学们应进一步理解和感受方程思想、 数形结合思想、 分类讨论思想等几种数学思想方法 .三、知识点分析1. 方程思想 .所谓方程思想就是从分析问题的数量关系入手， 适当设定未知数， 把已知量与未知量之间的数量关系转化为方程（组）模型，从而使问题得到解决的思维方法 .方程知识是初中数学的核心内容，理解方程思想并应用于解题当中十分重要 .课本中第 6 章、第 7 章列一次方程（组）解应用题就是方程思想的具体应用 .2. 数形结合思想数学是研究数量关系和空间形式的一门科学，每个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系常常又可以通过图形的直观性作出形象的描述 .数形结合思想即是把代数、几何知识相互转化、相互利用的一种解题思想 . 在一元一次不等式（组）中，用数轴表示不等式的解集就是数形结合的具体体现 .3. 分类讨论思想分类讨论思想就是要针对数学对象的共性与差异性， 将其区分为不同种类， 从而克服思维的片面性，有效地考查学生思维的全面性与严谨性 .要做到成功分类，需注意两点：一是要有分类意识， 善于从问题的情境中抓住分类对象； 二是找出科学合理的分类标准， 满足不重不漏的原则 .4. 转化思想转化是解数学问题的一种重要的思维方法 . 转化思想是分析问题和解决问题的一个重要的基本思想， 就解题的本质而言， 解题就意味着转化， 即是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”， 把“复杂”转化为“简单”， 把“陌生”转化为“熟悉”， 把“抽象”转化为“具体”， 把“一般”转化为“特殊”， 把“高次”转化为“低次”， 把一个综合问题转化为几个基本问题，把顺向思维转化为逆向思维等等 .5. 整体思想研究某些数学问题时， 往往不是以问题的某个组成部分为着眼点， 而是有意识放大考查问题的视角， 将要解决的问题看作一个整体， 通过研究问题的整体形式、 整体结构或作整体处理后，达到顺利而又简捷地解决问题的目的，这就是整体思想 .6. 由特殊到一般的归纳思想：在研究数学问题时， 常常通过对特殊情况的问题的探究， 推广到一般情况， 从而归纳出一般规律 . 本章中多边形的内角和、多边形的外角结论的得出，都采用了由特殊到一般的归纳思想 .7. 对称思想数学家赫 曼 外 曾 ： 称是一种思想，通 它，人 生追求并 造次序、美 和完善⋯⋯” . 利用 称思想，同学 可 地 行 案 并能解决一些有关 称的数学 .【典型例题】例 1. 一个多 形的外角和是内角和的2 ，求 个多 形的 数 .7分析 : 根据“ n 形的内角和等于( n2) 180 ”与 “多 形的外角和等于 360 ”和已知条件，列方程可求解 .解答 : 多 形的 数 n ， 根据 意得方程：2360解得 n9(n 2) 1807所以， 个多 形的 数 9. 注： 方程思想的考 主要有两个方面：一是列方程（ ）解 用 ； 二是列方程 （ ）解决代数 或几何 .例 2. 如 ，在 △ ABC 中，∠ ABC ＝∠ C＝∠ BDC ， BD 是∠ ABC 的平分 ，求∠ A 的度数 .解析 : 由于 BD 是∠ ABC 的平分 ，所以∠ ABD ＝∠ CBD ，又∠ BDC ＝∠ A+ ∠ ABD ，所以由已知条件可建立∠ A 与∠ C 的关系，列出方程 . ∠ A=x ，由于 BD 是∠ ABC 的平分 ，所以∠ ABD ＝ 1ABC1C1BDC ，222而∠ BDC ＝∠ A+ ∠ ABD ，所以 2∠ BDC ＝ 2∠ A+ ∠ ABC ，所以∠ ABC ＝ 2∠ A ＝ 2x， 有 x＋ 2x+2x =180，所以 x＝ 36，即∠ A ＝ 36 . 注 ：解决几何中的求 ，往往通 建立方程（ ）来求解.2x552 x的自然数解 .例 3. 求不等式 6≥ 7x154x分析 : 欲求不等式 的自然数解，一般思路是先求出不等式 的解集，再在数 上表示出其解集，从而 一步求出 的答案 .解答 : 解不等式 2x 5 5 2 x 得 x解不等式 4x 6 7 x 15 得 x 3525所以，原不等式 的解集是 x ，其解集在数 上表示如 所示2所以，其自然数解 0、1、 2.评注 ：自然数也就是非负整数，在这里易漏掉0.例 4. 等腰三角形的周长为 16，其中一条边的长是6，求另两条边的长 .分析 : 由于已知的“一条边的长是 6”，未告之是腰长，还是底边长，所以应分类讨论求解 .解答 : （ 1）当周长为 16，腰长为 6 时，该等腰三角形的另两边：一条边为腰，长为6，另一条边为底边，长为16－6－ 6=4 ，即另两边分别为6 和 4；（ 2）当周长为 16，底边长为 6 时，该等腰三角形的另两边都是腰， 其长为（ 16－6）2=5，即另两边长为 5、 5.评注： 求解有关等腰三角形的边、角问题时，在题中未附图形且未指名已知的边、 角是该等腰三角形的底或腰（底角或顶角）的情况下，均需用分类讨论思想求解 .例 5. 在△ ABC 中， AB ＝ AC ，AC 上的中线将 △ ABC 的周长分为 12cm 和 15cm 两部分，求三角形各边的长 .解析： 因为中线是 BD ，所以 AD ＝ CD ，分成两部分周长不等的原因是AB≠BC ，所以需要分 AB ＞ BC 或 AB ＜ BC 两种情况进行讨论 .设 AB= xcm，则 AD=CD= 1 x ，若 AB>BC ，则有 AB+AD ＝ 15，即3 x15, x 10,22即 AB ＝ AC ＝ 10cm， CD ＝ 1 x ＝ 5 cm. 则 BC+CD ＝ 12， BC＝ 12－CD＝ 7（ cm） .2AC+AB>BC ，可构成三角形；若 AB
