换元法求函数值域.docx

精品文档换元法求函数值域某些函数可以利用代数或三角代换将其化成值域容易确定的另一函数， 从而求得原函数的值域， 其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型 形如 y ax bcxd (a 、 b、 c、 d 均为常数，且 a≠0) ，可以令 t = cx d (t0), 则有 t 2cxd∴ xt 2d∴ y at2db t ； 从而就把原函数化cc成了关于 t的二次函数，求出这个函数值域就是原函数的值域， 值得一提的是要注意参数 t的取值范围换元法是数学方法中几种最主要方法之一， 在求函数的值域中同样发挥着重要的作用例 1、求函数 y3x13x 的值域分析：函数 y3x13x形如 y axbcxd (a 、b、c、 d 均为常数，且 a≠0) ，因此，可以考虑用换元法解：令 t13x(t0)，则 t213x1t 2∴ x3∴原函数可化为 y3 1t 2t = t 2t1= (t1)25324∴ 其函数图像如图1 所示∴当 t1 时，即 x1 时245y 取得最大值 ymax = , 无最小值∴函数 y 3x 1 3x 的值域为（ -∞， 5] 。

4例 2、求函数 y4x12x3的值域解： [ 换元法 ]令 t2x 3(t 0) ，则t 23x2∴原函数可化为 yt 231 t2t2t51)239422(t841 欢迎下载精品文档∵ t 0∴当 t0时，即 x3 时， y 取得最小值 ymin =5，无最大值2∴函数 y4x12x 3的值域为 [5，+∞）例 3、求函数 yx1x2的值域 [4]分析：函数yx1x2的定义域为 [-1， 1] ，我们注意到 1 sin t 1(t) , 因 此 , 对 于 定 义 域 为 [-1 ， 1] 的 函 数 , 我 们 可 以 考 虑 用22x sin t (2t) 进行三角换元2解：函数yx1x2 的定义域为 [-1 ，1] ，设 xsin t (t) ，22则原函数 yx1x2 可化为 ysin tcost =2 sin(t)4∵t∴t324442看图像（图 2）可知2sin(t)124∴ 12 sin(t)2 ∴1y24即原函数的值域为 [-1 ，2] 2 欢迎下载精品文档欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议， 策划案计划书， 学习资料等等打造全网一站式需求。