第第46课 函数型综合问题课 函数型综合问题 基础知识基础知识 自主学习自主学习考题分析考题分析1．函数型综合题，主要以函数为主线，利用函数的图象与．函数型综合题，主要以函数为主线，利用函数的图象与性质，解题时要注意函数的图象信息，点在函数图象上即性质，解题时要注意函数的图象信息，点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．点的坐标满足函数的解析式等．2．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力和较好的区分度，因此是各地中考的热映学生的综合能力和较好的区分度，因此是各地中考的热点题型、压轴题的主要来源，并且长盛不衰，年年有新花点题型、压轴题的主要来源，并且长盛不衰，年年有新花样．样． [ [难点正本 疑点清源难点正本 疑点清源] ] 1 1．函数型综合问题对解题的要求．函数型综合问题对解题的要求 运用运动、变化的观点，研究具体问题中的数量关系，运用运动、变化的观点，研究具体问题中的数量关系，再用函数的形式把相应关系表示出来，这种方法我们常称为再用函数的形式把相应关系表示出来，这种方法我们常称为函数的思想，初中阶段的函数有一次函数、反比例函数、二函数的思想，初中阶段的函数有一次函数、反比例函数、二次函数等，其中二次函数的学习较为复杂，高中阶段我们将次函数等，其中二次函数的学习较为复杂，高中阶段我们将学习更多的函数．学习更多的函数． 2 2．函数型综合问题的解题策略．函数型综合问题的解题策略 应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系式是一关应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系式是一关键步骤，大致可分为下面两种情况：键步骤，大致可分为下面两种情况：(1)(1)根据题意建立变量根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题；之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题；(2)(2)根根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题．据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题． 基础自测基础自测答案 答案 B解析 因为解析 因为x10，所以，所以y3>0，，因此因此y3>y1>y2. 2．．(2010·攀枝花攀枝花)如图，二次函数如图，二次函数y＝＝ax2－－bx＋＋2的大致图象如图所的大致图象如图所示，则函数示，则函数y＝－＝－ax＋＋b的图象不经过的图象不经过( ) A．第一象限．第一象限 B．第二象限．第二象限 C．第三象限．第三象限 D．第四象限．第四象限 答案 答案 A 解析 由抛物线的大致位置，得解析 由抛物线的大致位置，得a>0，，b<0，所以直线，所以直线y＝－＝－ax＋＋b经过第二、三、四象限．经过第二、三、四象限． 3．．(2010·无锡无锡)若一次函数若一次函数y＝＝kx＋＋b，当，当x的值减小的值减小1，，y的值的值就减小就减小2，则当，则当x的值增加的值增加2时，时，y的值的值( ) A．增加．增加4 B．减小．减小4 C．增加．增加2 D．减小．减小2 答案 答案 A 解析 当解析 当x＝＝a时，时，y1＝＝ak＋＋b；当；当x＝＝a－－1时，时，y2＝＝(a－－1)k＋＋b；又；又y1－－y2＝＝2，所以，所以(ak＋＋b)－＝－＝2，，k＝＝2；；y＝＝2k＋＋b，，当当x＝＝a＋＋2时，时，y3＝＝(a＋＋2)k＋＋b，所以，所以y3－－y1＝－＝－(ak＋＋b)＝＝2×2＝＝4. 4．．(2011·台湾台湾)坐标平面上，二次函数坐标平面上，二次函数y＝＝x2－－6x＋＋3的图形与的图形与下列哪一个方程式的图形没有交点？下列哪一个方程式的图形没有交点？( ) A．．x＝＝50 B．．x＝－＝－50 C．．y＝＝50 D．．y＝－＝－50 答案 答案 D 解析 抛物线解析 抛物线y＝＝x2－－6x＋＋3的最低点为的最低点为(3，－，－6)，与直线，与直线y＝－＝－50没有交点．没有交点． 5．．(2010·徐州徐州)平面直角坐标系中，若平移二次函数平面直角坐标系中，若平移二次函数y＝＝(x－－2009)(x－－2010)＋＋4的图象，使其与的图象，使其与x轴交于两点，且此两点的距轴交于两点，且此两点的距离为离为1个单位，则平移方式为个单位，则平移方式为( ) A．向上平移．向上平移4个单位个单位 B．向下平移．向下平移4个单位个单位 C．向左平移．向左平移4个单位个单位 D．向右平移．向右平移4个单位个单位 答案 答案 B 解析 把抛物线解析 把抛物线y＝＝(x－－2009)(x－－2010)＋＋4向下平移向下平移4个单个单位，得位，得y＝＝(x－－2009)(x－－2010)，与，与x轴交于点轴交于点(2009,0)、、(2010,0)，两点的距离为，两点的距离为2010－－2009＝＝1. 题型分类题型分类 深度剖析深度剖析【例【例 1】 二次函数】 二次函数y＝＝2x2＋＋ax＋＋b的图象经过点的图象经过点(2, 3)，并且，并且其顶点在直线其顶点在直线y＝＝3x－－2上，求上，求a、、b. 探究提高探究提高 解答此题最容易犯的错误就是忽略抛物线的顶 解答此题最容易犯的错误就是忽略抛物线的顶点有在点有在x轴上方、下方两种情况，而只考虑顶点在轴上方、下方两种情况，而只考虑顶点在x轴上方轴上方的情况，顾此失彼，所以应当培养思维的严谨性．的情况，顾此失彼，所以应当培养思维的严谨性． 【例【例 3】 】 (2011·泉州泉州)如图，在平面如图，在平面 直角坐标系直角坐标系xOy中，直线中，直线AB与与 x 轴轴 交于点交于点A, 与与y轴交于点轴交于点B, 且且OA ＝＝3，， AB ＝＝5.点点P从点从点O出发沿出发沿OA以每秒以每秒1 个单位长的速度向点个单位长的速度向点A匀速运动，到匀速运动，到 达点达点A后立刻以原来的速度沿后立刻以原来的速度沿AO返回；返回； 点点Q从点从点A出发沿出发沿AB以每秒以每秒1个单位长个单位长 的速度向点的速度向点B匀速运动．伴随着匀速运动．伴随着P、、Q 的运动，的运动，DE保持垂直平分保持垂直平分PQ，且交，且交PQ于点于点D，交折线，交折线QB －－BO－－OP于点于点E.点点P、、Q同时出发，当点同时出发，当点Q到达点到达点B时停止时停止 运动，点运动，点P也随之停止．设点也随之停止．设点P、、Q运动的时间是运动的时间是t秒秒(t＞＞0)．． (1)求直线求直线AB的解析式；的解析式；(2)在点在点P从从O向向A运动的过程中，求运动的过程中，求△△APQ的面积的面积S与与t之间的之间的函数关系式函数关系式(不必写出不必写出t的取值范围的取值范围); (3)在点在点E从从B向向O运动的过程中，完成下面问题：运动的过程中，完成下面问题： ①①四边形四边形QBED能否成为直角梯形？若能，请求出能否成为直角梯形？若能，请求出t的值；的值； 若不能，请说明理由；若不能，请说明理由； ②②当当DE经过点经过点O时，请你直接写出时，请你直接写出t的值．的值． >> 解题示范解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！规范步骤，该得的分，一分不丢！ 探究提高探究提高 要善于用 要善于用“数形结合数形结合”的方法来解题，通过的方法来解题，通过“数数”与与“形形”之间的对应和转化来解决问题，通过之间的对应和转化来解决问题，通过“形形”来研究来研究“数数”，利用，利用“数数”来研究来研究“形形”，利用图形的直观，找到解题的捷，利用图形的直观，找到解题的捷径，简化运算过程．径，简化运算过程． 知能迁移知能迁移3 (2011·南京南京)已知函数已知函数y＝＝mx2－－6x＋＋1(m是常数是常数)．． (1)求证：不论求证：不论 m 为何值，该函数的图象都经过为何值，该函数的图象都经过 y 轴上的一轴上的一 个定点；个定点； (2)若该函数的图象与若该函数的图象与 x 轴只有一个交点，求轴只有一个交点，求 m 的值．的值． 【例【例 4】 如图，一次函数图象与】 如图，一次函数图象与 x 轴、轴、y 轴分别交于轴分别交于A、、B两点，与反比例函数的图象交于两点，与反比例函数的图象交于C、、D两点．如果两点．如果A点的坐点的坐标为标为(2, 0)，点，点C、、D分别在第一、三象限，且分别在第一、三象限，且OA＝＝OB＝＝AC＝＝BD；试求一次函数和反比例函数的解析式．；试求一次函数和反比例函数的解析式． 探究提高探究提高 这是一个一次函数与反比例函数的综合题，要求 这是一个一次函数与反比例函数的综合题，要求经过经过A、、B两点的直线的解析式，需求出两点的直线的解析式，需求出A、、B两点的坐标，两点的坐标，同样，要求过点同样，要求过点C的反比例函数的图象的解析式，需求出的反比例函数的图象的解析式，需求出C点的坐标，过点的坐标，过C画画CE⊥⊥x轴就很自然了．轴就很自然了． 易错警示易错警示试题试题 茶厂种植某品牌绿茶，由历年来市场销售知道，从每年 茶厂种植某品牌绿茶，由历年来市场销售知道，从每年3月月25日起的日起的180天内，绿茶市场销售单价为天内，绿茶市场销售单价为y(元元)与上市时间与上市时间t(天天)的关系可以近似地用图的关系可以近似地用图①①中的一条折线表示，绿茶的种中的一条折线表示，绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z(元元)与与上市时间上市时间t(天天)的关系可以近似地用如图的关系可以近似地用如图②②的抛物线表示．的抛物线表示． (1)直接写出图直接写出图①①中表示的市场销售单价中表示的市场销售单价y(元元)与上市时间与上市时间t(天天) 的函数关系式；的函数关系式； (2)求出图求出图②②中表示的种植成本单价中表示的种植成本单价z(元元)与上市时间与上市时间t(天天)的函的函 数关系式；数关系式； (3)若认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问若认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问 何时上市绿茶收益单价最大？何时上市绿茶收益单价最大？ (说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元/500克克)33．函数最值分段讨论，不能以偏概全 剖析剖析 本题第 本题第(1)问与第问与第(2)问根据图象可直接求出，也较容易，问根据图象可直接求出，也较容易，第第(3)问求何时上市绿茶纯收益最大，错误地用市场销售单问求何时上市绿茶纯收益最大，错误地用市场销售单价的最大值减去种植成本单价的最小值，没有考价的最大值减去种植成本单价的最小值，没有考 虑到这两个最值并不是在同一个虑到这两个最值并不是在同一个t值时取得．值时取得． 批阅笔记批阅笔记 因为市场销售单价 因为市场销售单价 y (元元)与种植成本单价与种植成本单价z (元元)都是上市时间都是上市时间t(天天)的函数，所以纯收益单价应的函数，所以纯收益单价应为为 y－－z (元元)，也是上市时间，也是上市时间 t (天天)的函数，再由函的函数，再由函数性质得出数性质得出 t 取何值时，取何值时，y－－z 有最大值．有最大值． 注意注意 y 与与 t 之间是分段函数，则之间是分段函数，则 y－－z 与与 t 之间也是之间也是分段函数．分段函数． 思想方法思想方法 感悟提高感悟提高方法与技巧方法与技巧 函数思想是指在运动变化中，充分利用函数的概念、函数思想是指在运动变化中，充分利用函数的概念、图象及性质去观察问题、分析问题、转化问题、解决问图象及性质去观察问题、分析问题、转化问题、解决问题．用函数思想解题，主要利用两点：题．用函数思想解题，主要利用两点： (1) (1)分析自变量的取值范围，确定有关字母的取值范分析自变量的取值范围，确定有关字母的取值范围；围； (2) (2)根据函数的图象与性质，直观地发现解题思路．根据函数的图象与性质，直观地发现解题思路． 失误与防范失误与防范1．直线．直线 y＝＝kx＋＋b 在在y轴上的截距轴上的截距b表示直线与表示直线与y轴交点的轴交点的 纵向坐标，易与距离混淆，因此纵向坐标，易与距离混淆，因此b为坐标可能为正、为坐标可能为正、 负、零．负、零．2．对函数图象信息要把握准确，分析全面．根据二次函数．对函数图象信息要把握准确，分析全面．根据二次函数 图象的信息，正确判断关系式中常数的符号等问题．图象的信息，正确判断关系式中常数的符号等问题．3．在解决函数有关单调性、最值等问题时，不可以忽略二．在解决函数有关单调性、最值等问题时，不可以忽略二 次函数次函数y＝＝ax2＋＋bx＋＋c的一次项、二次项系数的符号．的一次项、二次项系数的符号．4．在解决与函数有关的实际问题时，要建立正确的函数关．在解决与函数有关的实际问题时，要建立正确的函数关 系及建模思想，准确把握自变量取值范围．系及建模思想，准确把握自变量取值范围． 完成考点跟踪训练完成考点跟踪训练46 46 。
