王新磊培优4函数恒成立问题解法试题.doc

函数与不等式中的恒成立问题一、化归二次函数法：根据题目要求，构造二次函数结合二次函数实根分布等相关知识，求出参数取值范围类型1：设，（1）上恒成立；（2）上恒成立例1:若不等式的解集是R，求a的范围例2：若不等式的解集是R，求a的范围类型2：设（在限定范围内恒成立问题1）当时，上恒成立，上恒成立（2）当时，上恒成立上恒成立例3：若不等式x2-2mx+2m+1>0对满足0x1的所有实数x都成立，求m的取值范围例4． 若函数的定义域为R，求实数 的取值范围.二、反客为主法（转换主元法）用一次函数的性质：对于一次函数有：例5：若不等式x2+px>4x+p-3对满足0≤p≤4的所有x都成立，求x的范围例6．对于满足|a|2的所有实数a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范围.三、参数分离法（利用函数的最值（或值域））；在题目中分离出参数，化成a>f(x) （afmax(x) （a

四：数形结合法对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立f(x)的图象在g(x)的图象的上方或f(x)min>g(x)max例10：如果对任意实数x，不等式恒成立，则实数k的取值范围是 例11 设，若不等式恒成立，求a的取值范围例12、当x(1,2)时，不等式(x-1)2

（1）求a、b的值；（2）若x[-3,2]都有f(x)>恒成立，求实数c的取值范围5、 定义在定义域D内的函数，，则称函数为“接近函数”，否则称“非接近函数”.函数,)是否为“接近函数”？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由.函数与不等式中的恒成立问题的探究在高三复习中经常遇到不等式恒成立问题恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解函数与不等式中的恒成立问题，一般综合性强，可考查函数、数列、不等式及导数等诸多方面的知识同时，培养学生分析问题、解决问题、综合驾驭知识的能力不等式恒成立问题有哪几种处理方式？下面结合例题浅谈恒成立问题的常见解法及恒成立问题的基本类型：一、化归二次函数法：根据题目要求，构造二次函数结合二次函数实根分布等相关知识，求出参数取值范围类型1：设，（1）上恒成立；（2）上恒成立例:若不等式的解集是R，求a的范围解析：二次项系数为1>0,所以只要即可例：若不等式的解集是R，求a的范围解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数a，所以要讨论a-1是否是0。

1）当a-1=0时，不等式化为2>0恒成立，满足题意；（2）时，只需，所以，类型2：设（1）当时，上恒成立，上恒成立（2）当时，上恒成立上恒成立例：若不等式x2-2mx+2m+1>0对满足0x1的所有实数x都成立，求m的取值范围解析：设f(x)=x2-2mx+2m+1不等式x2-2mx+2m+1>0对满足0x1的所有实数x都成立函数f(x)在0x1上的最小值大于0而f(x)的对称轴为x=m,原问题又化归为二次函数的动轴定区间的分类讨论问题1)当m<0时，f(x)在[0,1]上是增函数，因此f(0)是最小值，解得 1时，f(x)在[0,1] 上是减函数，因此f(1)是最小值 解得 m>1综合(1)(2)(3) 得 注：此型题目还可以用参数分离法例3． 若函数的定义域为R，求实数 的取值范围.分析：该题就转化为被开方数在R上恒成立问题，并且注意对二次项系数的讨论.解：依题意，当恒成立，所以，①当此时②当有综上所述，f(x)的定义域为R时，二、反客为主法（转换主元法）用一次函数的性质：对于一次函数有：例1：若不等式x2+px>4x+p-3对满足0≤p≤4的所有x都成立，求x的范围。

解析：观察所给的字母范围，当给定的是参数范围时，我们可以用改变主元的办法，将p视为主变元，即将原不等式化为：(x-1)p+x2-4x+3>0，令，则当0≤p≤4时，有恒成立，所以只需即，所以x的范围是 x<-1或x>3例2．对于满足|a|2的所有实数a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范围.分析：在不等式中出现了两个字母：x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于a的一次函数大于0恒成立的问题.解：原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+1>0在|a|2时恒成立,设f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有：即解得：∴x<-1或x>3. 即x∈(－∞,－1)∪(3,+∞)此类题本质上是利用了一次函数在区间[m,n]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方（或下方）即可.三、参数分离法（利用函数的最值（或值域））；在题目中分离出参数，化成a>f(x) （afmax(x) （a

例：求使不等式恒成立的实数a的范围解析：由于函，函数有最大值，所以例：已知向量=(x2,x+1), =(1-x,t) 若函数f(x)＝·在区间(－1，1)上是增函数，求t的取值范围解析：依题意，f(x)＝x2(1-x)+(x+1)t=-x3+x2+tx+t，则=-3x2+2x+t∵f(x)在(－1，1)上是增函数，则在(－1，1)上有0即-3x2+2x+t≥0在x(-1，1)上恒成立t≥3x2-2x 设g(x)=3x2-2x ∴tg(-1)，即 t5 3、若对于任意角总有成立，求m的范围解：此式是可分离变量型，由原不等式得，又，则原不等式等价变形为恒成立根据边界原理知，必须小于的最小值，这样问题化归为怎样求的最小值因为 即时，有最小值为0，故四：数型结合法对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立f(x)的图象在g(x)的图象的上方或f(x)min>g(x)max例：如果对任意实数x，不等式恒成立，则实数k的取值范围是 解析：画出y1=,y2=kx的图像，由图可看出 0k1K=1 7、当x(1,2)时，不等式(x-1)2

解：设y1=(x-1)2,y2=logax,则y1的图象为右图所示的抛物线要使对一切x (1,2),y11,并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于y1的函数值故loga2>1, 10,注意到若将等号两边看成是二次函数y= x2+4x及一次函数y=2x-6a-4，则只需考虑这两个函数的图象在x轴上方恒有唯一交点即可6、设，若不等式恒成立，求a的取值范围 解：若设，则为上半圆设，为过原点，a为斜率的直线。

在同一坐标系内 作出函数图象依题意，半圆恒在直线上方时，只有时成立，即a的取值范围为 由此可以看出，对于参数不能单独放在一侧的，可以利用函数图象来解利用函数图象解题时，思路是从边界处（从相等处）开始形成的（一）换元引参，显露问题实质 1、对于所有实数x，不等式恒成立，求a的取值范围 解：因为的值随着参数a的变化而变化，若设，则上述问题实质是“当t为何值时，不等式恒成立”这是我们较为熟悉的二次函数问题，它等价于求解关于t的不等式组： 解得，即有，易得2、设点P（x，y）是圆上任意一点，若不等式x+y+c0恒成立，求实数c的取值范围五）合理联想，运用平几性质 9、不论k为何实数，直线与曲线恒有交点，求a的范围解：，C（a，0），当时，联想到直线与圆的位置关系，则有点A（0，1）必在圆上或圆内，即点A（0，1）到圆心距离不大于半径，则有，得分析：因为题设中有两个参数，用解析几何中有交点的理论将二方程联立，用判别式来解题是比较困难的若考虑到直线过定点A（0，1），曲线为圆六）分类讨论，避免重复遗漏 10、当时，不等式恒成立，求x的范围解：使用的条件，必须将m分离出来，此时应对进行讨论。

①当时，要使不等式恒成立，只要， 解得②当时，要使不等式恒成立，只要，解得③当时，要使恒成立，只有 综上①②③得解法2：可设，用一次函数知识来解较为简单11、当时，不等式恒成立，求实数的取值范围七）构造函数，体现函数思想 12、（1990年全国高考题）设，其中a为实数，n为任意给定的自然数，且，如果当时有意义，求a的取值范围解：本题即为对于，有恒成立这里有三种元素交织在一起，结构复杂，难以下手，若考虑到求a的范围，可先将a分离出来，得，对于恒成立。