三角形全等的条件（复习）.ppt

三角形全等的条件（复习）知识梳理：1 1：什么是全等三角形？一个三角形经过：什么是全等三角形？一个三角形经过哪些变化可以得到它的全等形？哪些变化可以得到它的全等形？2 2：全等三角形有哪些性质？：全等三角形有哪些性质？3 3：三角形全等的判定方法有哪些？：三角形全等的判定方法有哪些？能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形它的全等形1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等全等三角形的对应边相等、对应角相等2）：全等三角形的周长相等、面积相等全等三角形的周长相等、面积相等3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等高线分别相等SSS、SAS、ASA、AAS、HL(RT△)方法指引证明两个三角形全等的基本思路：证明两个三角形全等的基本思路：（（1）：已知两边）：已知两边---- 找第三边找第三边 (SSS)找夹角找夹角（SAS)(2):已知一边一角已知一边一角---已知一边和它的邻角已知一边和它的邻角找是否有直角找是否有直角 (HL)已知一边和它的对角已知一边和它的对角找这边的另一个邻角找这边的另一个邻角(ASA)找这个角的另一个边找这个角的另一个边(SAS)找这边的对角找这边的对角 (AAS)找一角找一角(AAS)已知角是直角，找一边已知角是直角，找一边(HL)(3):已知两角已知两角---找两角的夹边找两角的夹边(ASA)找夹边外的任意边找夹边外的任意边(AAS)练习例例1：已知：已知AC=FE,BC=DE,点点A,D,B,F在一条直线上，在一条直线上，AD=BF,求证：求证：∠ ∠E=∠ ∠CABDFEC证明：∵ AD=FB∴∴ AD+DB=BF+DB即AB=FD在在△△ABC和和△△FDE中中AC=FEBC=DEAB=FD△ABC≌△FDE(SSS)∴∠ ∠E=∠ ∠C练习练习1：如图，：如图，AB=AD,CB=CD. 求证求证: AC 平分平分∠ ∠BADADCB证明：在证明：在△△ABC和和△△ADC中中 AC=AC AB=AD CB=CD ∴ ∴ △△ABC≌ ≌△△ADC （（SSS）） ∴ ∴ ∠ ∠BAC= ∠ ∠DAC ∴ ∴ AC平分平分∠ ∠BAD例例2：如图，：如图，AC和和BD相交于点相交于点O,OA=OC,OB=OD 求证：求证：DC∥ ∥AB证明：在证明：在△△ABO和和△△CDO中中 OA=OC ∠ ∠AOB= ∠ ∠COD OB=OD ∴ ∴ △△ABO≌ ≌△△CDO （（SAS））∴ ∴ ∠ ∠A= ∠ ∠C∴ ∴ DC∥ ∥ABAODBC练习练习2：已知，：已知，△△ABC和和△△ECD都是等边三角形，且点都是等边三角形，且点B，，C，，D在在一条直线上求证：一条直线上求证：BE=AD EDCAB变式：变式：以上条件不变，将以上条件不变，将△△ABC绕点绕点C旋转一定角度旋转一定角度（大于零度而小于六十度），（大于零度而小于六十度），以上的结论海成立吗？以上的结论海成立吗？证明证明：∵ △△ABC和和△△ECD都是等边三角形都是等边三角形∴ ∴ AC=BC DC=EC ∠ ∠BCA=∠ ∠DCE=60°∴ ∴ ∠ ∠BCA+∠ ∠ACE=∠ ∠DCE+ ∠ ∠ACE即即∠ ∠BCE=∠ ∠DCA在在△△ACD和和△△BCE中中 AC=BC ∠ ∠BCE=∠ ∠DCA DC=EC∴ ∴ △△ACD≌ ≌△△BCE (SAS)∴ ∴ BE=AD例例3：如图，：如图，OB⊥ ⊥AB,OC⊥ ⊥AC,垂足为垂足为B,C,OB=OCAO平分平分∠ ∠BAC吗？为什么？吗？为什么？OCBA答：答： AO平分平分∠ ∠BAC理由：理由：∵ ∵ OB⊥ ⊥AB,OC⊥ ⊥AC ∴ ∴ ∠ ∠B=∠ ∠C=90° 在在Rt△△ABO和和Rt△△ACO中中 OB=OC AO=AO ∴ ∴ Rt△△ABO≌ ≌Rt△△ACO （（HL）） ∴ ∴ ∠ ∠BAO=∠ ∠CAO ∴ ∴ AO平分平分∠ ∠BAC 练习练习3：：△△ABC中，中，AD是它的角平分线，且是它的角平分线，且BD=CD，，DE、、DF 分别垂直分别垂直AB、、AC，垂足为，垂足为E、、F ，， 求证：求证：EB=FCFEDCBA证明：证明： ∵ ∵ AD是角平分线是角平分线 DE⊥ ⊥AB DF⊥ ⊥AC ∴ ∴ DE=DF ∠ ∠BED=∠ ∠CFD=90° 在在RT△△BED和和RT△△CFD中中 DE=DF BD=CD ∴ ∴ RT△△BED≌ ≌RT△△CFD (HL) ∴ ∴ EB=FC例例4：如图，：如图，D在在AB上，上，E在在AC上，上，AB=AC , ∠ ∠B=∠ ∠C, 试问试问AD=AE吗？为什么？吗？为什么？EDCBA解解： AD=AE理由：理由： 在在△△ACD和和△△ABE中中 ∠ ∠B=∠ ∠C AB=AC ∠ ∠A=∠ ∠A ∴ ∴ △△ACD≌ ≌△△ABE （（ASA）） ∴ ∴ AD=AE练习练习4：： 如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为两块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就两块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢？如果可以，带能配一块与原来一样的三角形模具呢？如果可以，带那块去合适？为什么？那块去合适？为什么？BAAB例例5：已知：已知 AC=DB, ∠ ∠1=∠ ∠2. 求证求证: ∠ ∠A=∠ ∠D21DCBA证明：在△ABC和△DCB中 AC=DB ∠ ∠1=∠ ∠2 BC=CB ∴ △ABC≌△DCB （SAS） ∴ ∠ ∠A=∠ ∠D 练习练习5：如图，已知：如图，已知E在在AB上，上，∠ ∠1=∠ ∠2，， ∠ ∠3=∠ ∠4，那么，那么AC等于等于AD吗？为什么？吗？为什么？4321EDCBA解：解：AC=AD理由：在理由：在△△EBC和和△△EBD中中 ∠ ∠1=∠ ∠2 ∠ ∠3=∠ ∠4 EB=EB ∴ ∴ △△EBC≌ ≌△△EBD (AAS) ∴ ∴ BC=BD 在在△△ABC和和△△ABD中中 AB=AB ∠ ∠1=∠ ∠2 BC=BD ∴ ∴ △△ABC≌ ≌△△ABD (SAS) ∴ ∴ AC=AD例例6：如图所示，：如图所示，AB与与CD相交于点相交于点O, ∠ ∠A=∠ ∠B，，OA=OB 添加条件添加条件 所以所以 △△AOC≌ ≌△△BOD 理由是理由是 AODCB∠ ∠C=∠ ∠D∠ ∠AOC=∠ ∠BODAASASAEDCBA例例7：如图所示，：如图所示，AB=AD，，∠ ∠E=∠ ∠C 要想使要想使△△ABC≌ ≌△△ADE可以添加的条可以添加的条件是件是 依据是依据是∠ ∠EDA=∠ ∠B∠ ∠DAE=∠ ∠BAC∠ ∠BAD=∠ ∠EACAAS例例8：如图，已知：如图，已知AB=CD,DE⊥ ⊥AC,BF⊥ ⊥AC,AE=CF 求证：求证：△△ABF≌ ≌△△CDEFEDCBA证明：∵ DE⊥ ⊥AC,BF⊥ ⊥AC ∴ ∴ ∠ ∠AFB=∠ ∠CED=90° ∵ ∵ AE=CF ∴ ∴ AE+EF=CF+EF 即即 AF=CE 在在RT△△ABF和和RT△△CDE中中 AF=CE AB=CD ∴ ∴ RT△△ABF≌ ≌RT△△CDE (HL)FEDCBA例例9：如图，已知：如图，已知AC∥ ∥EF,DE∥ ∥BA,若使若使△△ABC≌ ≌△△EDF,还需要补还需要补充的条件可以是充的条件可以是 或或或或或或AB=EDAC=EFBC=DFDC=BF返回返回练习练习1：：如图，已知，如图，已知，AB∥ ∥DE，，AB=DE，，AF=DC。

请问图中有那几对全等请问图中有那几对全等三角形？请任选一对给予证明三角形？请任选一对给予证明FEDCBA△△ABF≌ ≌△△DEC△△CBF≌ ≌△△FEC△△ABC≌ ≌△△DEF答：答：练2练习练习1：：如图，已知，如图，已知，AB∥ ∥DE，，AB=DE，，AF=DC请问图中有那几对全等请问图中有那几对全等三角形？请任选一对给予证明三角形？请任选一对给予证明FEDCBA△△ABF≌ ≌△△DEC答：证明：证明：∵ AB∥ ∥DE∴ ∴ ∠ ∠A=∠ ∠D在在△△ABF和和△△DEC 中 AB=DE ∠ ∠A=∠ ∠D AF=DC ∴ ∴ △△ABF≌ ≌△△DEC （（SAS））练习练习1：：如图，已知，如图，已知，AB∥ ∥DE，，AB=DE，，AF=DC请问图中有那几对全等请问图中有那几对全等三角形？请任选一对给予证明三角形？请任选一对给予证明FEDCBA△△ABF≌ ≌△△DEC答：练习练习1：：如图，已知，如图，已知，AB∥ ∥DE，，AB=DE，，AF=DC请问图中有那几对全等请问图中有那几对全等三角形？请任选一对给予证明三角形？请任选一对给予证明。

FEDCBA答：答：△△ABC≌ ≌△△DEF证明：∵ AB∥ ∥DE∴ ∴ ∠ ∠A=∠ ∠D∵ ∵ AF=DC∴ ∴ AF+FC=DC+FC∴ ∴ AC=DF在在△△ABC和和△△DEF中中 AC=DF ∠ ∠A=∠ ∠D AB=DE∴ ∴ △△ABC≌ ≌△△DEF （（SAS））练习练习1：：如图，已知，如图，已知，AB∥ ∥DE，，AB=DE，，AF=DC请问图中有那几对全等请问图中有那几对全等三角形？请任选一对给予证明三角形？请任选一对给予证明FEDCBA答：答：△△CBF≌ ≌△△FEC证明：证明：∵ ∵ △△ABC≌ ≌△△DEF∴ ∴ BC=EF∵ ∵ △△ABF≌ ≌△△DEC∴ ∴ BF=EC在在△△CBF和和△△FEC中中 BF=EC BC=EF CF=FC ∴ ∴ △△CBF≌ ≌△△FEC （（SSS）） 练习练习2：如图，已知，：如图，已知，EG∥ ∥AF，请你从下面三个条件中，再选出两个，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。

只写作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题只写出一种情况）出一种情况）①AB=AC ②DE=DF ③BE=CF 已知：已知： EG∥ ∥AF 求证：求证：GFEDCBA高高3：如图，：如图，AB∥ ∥A′B′，，AC∥ ∥A′C′，且，且BB′=CC′你能说你能说明明AC=A′C′的理由吗？的理由吗？C′CB′A′BA练习练习高高例例6：求证：有一条直角边和斜边上的高对应相等的：求证：有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等两个直角三角形全等分析：分析：首先要分清题设和结论，然后按要求画出图形，首先要分清题设和结论，然后按要求画出图形，根据题意写出、已知求证后，再写出证明过程根据题意写出、已知求证后，再写出证明过程　　已知：　　已知： 如图，在如图，在Rt△ △ABC、、Rt△ △            中，中，∠∠ACB=∠ ∠           =Rt∠ ∠，，BC=         ，，　　　　CD⊥ ⊥AB于于D，，       ⊥⊥       于于       ，，CD=       　　求证：　　求证：Rt△ △ABC≌ ≌Rt△ △证明：在证明：在Rt△ △CDB和和Rt△ △                中中　　　　                  　　　　∴∴Rt△ △CDB≌ ≌Rt△ △          （（HL））　　由此得　　由此得∠∠B=∠ ∠     　　在　　在△△ABC与与△△           中中　　　　                       　　　　∴△∴△ABC≌△≌△           （（ASA））说明：说明：文字证明题文字证明题的的书写格式要标准书写格式要标准。

1.如图如图1：：△△ABF≌ ≌ △ △CDE，，∠∠B=30°，， ∠∠BAE= ∠ ∠DCF=20 °.求求∠∠EFC的的度数度数.   练习题：练习题：2 、如图、如图2，已知：，已知：AD平分平分∠∠BAC，，AB=AC，连接，连接BD，，CD，并延长相，并延长相交交AC、、AB于于F、、E点．则图形中有点．则图形中有（（ 　　　　 ）对全等三角形）对全等三角形.A、、2　　　　B、、3　　　　C4　　　　D、、5C图图1图图2（800）3、如图、如图3，已知：，已知：△△ABC中，中，DF=FE，，BD=CE，，AF⊥ ⊥BC于于F，则此图中全等三角形共有（，则此图中全等三角形共有（ 　　　　 ））　　　　A、、5对　　对　　B、、4对　　对　　C、、3对　　对　　D2对对                                                                                                          4、如图、如图4，已知：在，已知：在△△ABC中，中，AD是是BC边上的高，边上的高，AD=BD，，DE=DC，延长，延长BE交交AC于于F，，　　求证：　　求证：BF是是△△ABC中边上的高中边上的高.　　　　提示：提示：关键证明关键证明△△ADC≌△≌△BFCB　5、如图、如图5，已知：，已知：AB=CD，，AD=CB，，O为为AC任一点，过任一点，过O作直线作直线分别交分别交AB、、CD的延长线于的延长线于F、、E，求，求证：证：∠∠E=∠ ∠F.提示：提示：由条件易证由条件易证△△ABC≌△≌△CDA 从而得知从而得知∠∠BAC＝＝∠∠DCA ，即：，即：AB∥ ∥CD.6、如图、如图6，已知：，已知：∠∠A＝＝90°，， AB=BD，，ED⊥ ⊥BC于于 D.　求证：　求证：AE＝＝ED  提示：提示：找两个全等三角形，需连结找两个全等三角形，需连结BE.图图6知识应用：知识应用：1.已知△△ABC和和△△DEF,下列条件中,不能保证△△ABC和和△△DEF全等的是( )A.AB=DE,AC=DF,BC=EF B. ∠A= ∠ D, ∠ B= ∠ E,AC=DFC.AB=DE,AC=DF, ∠A= ∠D D.AB=DE,BC=EF, ∠ C= ∠ FD知识应用：知识应用：2.要说明要说明△△ABC和和△△DEF全等全等,已知条件为已知条件为AB=DE, ∠ ∠A= ∠ ∠ D, 不需要的条件为不需要的条件为(    )A.∠ ∠ B= ∠ ∠ E             B. ∠ ∠ C= ∠ ∠ FC.  AC=DF                 D. BC=EF3.要说明△△ABC和和△△DEF全等全等,已知已知∠∠A= ∠ ∠ D ,∠ ∠ B= ∠ ∠ E ,则不需要的条件是( )A.∠ ∠ C= ∠ ∠ F                 B. AB=DE    C. AC=EF                       D. BC=EFDA4.两个三角形全等,那么下列说法错误的是( )A.对应边上的三条高分别相等B.对应边上的三条中线分别相等C.两个三角形的面积相等D.两个三角形的任何线段相等知识应用：知识应用：D拓展题拓展题1.已知AB=AE,AC=AD,AC⊥AD,AB⊥AE;ECAB21D(2)怎样变换△ABC和△AED中的一个位置,可使它们重合?(3)观察△ABC和△AED中对应边有怎样的位置关系?(4)试证ED⊥BC(1).观察图中有没有全等三角形?拓展题拓展题2.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥EFBCAFED拓展题拓展题3.如图如图,已知已知AC∥ ∥BD，，EA、、EB分别平分分别平分∠ ∠CAB和和∠ ∠DBA，，CD过点过点E，则，则AB与与AC+BD相等吗？请说明理由。

相等吗？请说明理由ACEBD要证明要证明两条线段的和与一条线段两条线段的和与一条线段相等相等时常用的两种方法：时常用的两种方法：1、可在、可在长线段上截取长线段上截取与与两条线段两条线段中一条相等的一段中一条相等的一段，然后证明剩，然后证明剩余的线段与另一条线段相等余的线段与另一条线段相等割）（割）2、把一个三角形、把一个三角形移到移到另一位置，另一位置，使使两线段补成一条线段两线段补成一条线段，再证明，再证明它与它与长线段相等长线段相等补）总结提高总结提高学习全等三角形应注意以下几个问题：（1):1):要正确区分要正确区分“对应边对应边”与与“对边对边”，，“对应对应角角”与与 “对角对角”的不同含义；的不同含义；（（2 2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；母要写在对应的位置上；（（3 3）：要记住）：要记住“有三个角对应相等有三个角对应相等”或或“有两边及有两边及其中一边的对角对应相等其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；的两个三角形不一定全等；（（4 4）：时刻注意图形中的隐含条件，如）：时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角公共角” 、、“公共边公共边”、、“对顶角对顶角”交流平台交流平台本节课你还有理解不透澈的地方吗本节课你还有理解不透澈的地方吗？？祝同学们学习进步再再见见。