专题4.10 规律问题六大类型-重难点题型（教师版含解析）2022年七年级数学上册举一反三系列（浙教版）.docx

专题4.10 规律问题六大类型-重难点题型【浙教版】【知识点 找规律】解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论.有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件.一般有下列几个类型：⑴一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号之间的关系.⑵一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号之间的关系.⑶图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号之间的关系.⑷图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数.⑸数形结合的规律：观察前项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论. 常见的数列规律： ⑴ 1，3，5，7，9，… ，（为正整数）． ⑵ 2，4，6，8，10，…，（为正整数）． ⑶ 2，4，8，16，32，…，（为正整数）． ⑷ 2，5，10，17，26，…，（为正整数）． ⑸0, 3, 8, 15， 24，…， （为正整数）． ⑹ 2， 6， 12， 20，…， （为正整数）． ⑺，，，，，，…，（为正整数）． ⑻，，，，，，…，（为正整数）． ⑼特殊数列： ①斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和. ②三角形数：1,3,6,10,15,21，…，.【题型1 数列的规律】【例1】（2021•韶关一模）按规律排列的一列数：-12，25，-38，411，-514，…，则第2021个数是 　-20216062　．【分析】由所给的数可得，奇数项为负，偶数项为正，其分母为3n﹣1，据此即可作答．【解答】解：∵-12=(-1)1×13×1-1，25=(-1)2×23×2-1，-38=(-1)3×33×3-1，411=(-1)4×43×4-1，-514=(-1)5×53×5-1，…，∴第n个数为：(-1)n×n3n-1，∴第2021个数为：(-1)2021×20213×2021-1=-20216062．故答案为：-20216062．【变式1-1】（2021•沂南县模拟）观察下列两行数：0，2，4，6，8，10，12，14，16，…0，3，6，9，12，15，18，21，24，…探究发现：第1个相同的数是0，第2个相同的数是6，…，若第n个相同的数是102，则n等于（　　）A．20 B．19 C．18 D．17【分析】由所给的数字可发现：第1个相同的数是0＝6×（1﹣1），第2个相同的数是6＝6×（2﹣1），第3个相同的数为12＝6×（3﹣1），…，从而可得其规律：第n个相同的数为：6（n﹣1），则可求解．【解答】解：∵第1个相同的数是0＝6×（1﹣1），第2个相同的数是6＝6×（2﹣1），第3个相同的数为12＝6×（3﹣1），…，∴第n个相同的数为：6（n﹣1），∴6（n﹣1）＝102，解得：n＝18．故选：C．【变式1-2】（2021•诸城市三模）按一定规律排列的一列数依次为2，﹣5，10，﹣17，26，﹣37，…，按此规律排列下去，这列数中的第20个数是 　﹣401　．【分析】根据题目中的数字，可以发现这列数的符号一正一负的出现，数字是12+1、22+1、32+1、42+1，…，从而可以写出第n个数的表达式．【解答】解：∵一列数依次为：2，﹣5，10，﹣17，26，…，∴这列数的第n个数为：（﹣1）n+1•（n2+1），则第20个数为：（﹣1）20+1•（202+1）＝﹣401．故答案为：﹣401．【变式1-3】（2021•盘龙区一模）观察下列一组数：13，-45，97，-169，2511，…，它们是按照一定规律排列的，那么这组数的第n个数是（　　）A．n22n+1 B．（﹣1）n2n2n+1 C．（﹣1）nn22n-1 D．（﹣1）n﹣1n22n+1【分析】通过观察数列形式，可知分数的分子是1，4，9，16，25....可变式为12，22，32，42，52，....可归纳为n2，分母是3，5，7，9，11.....可归纳为2n+1，再看序列正负变化，可归纳为（﹣1）n+1或者（﹣1）n﹣1.即可求出答案．【解答】解：首先观察序列是个分数，分子是1，4，9，16，25....可变式为12，22，32，42，52，...可归纳为n2，分母是3，5，7，9，11.....可归纳为2n+1，整个序列是一正一负交替变化，可归纳为（﹣1）n+1或者（﹣1）n﹣1．可得答案为（﹣1）n+1n22n+1或（﹣1）n﹣1n22n+1．故选：D．【题型2 数表的规律】【例2】（2021春•柳南区校级月考）将正奇数按下表排成5列：第1列第2列第3列第4列第5列第1行1357第2行1513119第3行17192123………2725若2021在第m行第n列，则m+n＝（　　）A．256 B．257 C．510 D．511【分析】观察图表，每一行都有四个数，且奇数行排在第2﹣5列，偶数行排在第1﹣4列，根据2021在正奇数中的位置来推算m，n．【解答】解：首先，从图表观察，每一行都有四个数，且奇数行排在第2﹣5列，偶数行排在第1﹣4列，其次，奇数可以用2x﹣1表示，当x＝1011时，2x﹣1＝2021，即2021是排在第1011个位置．在上表中，因为每行有4个数，且1011÷4＝252•••••••3，因此2021应该在第253行，第4列，即m＝253，n＝4．∴m+n＝257，故选：B．【变式2-1】（2021•武汉模拟）观察下面倒“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（　　）A．2020 B．2021 C．4040 D．4039【分析】首先分析得左上数字1，3，5分别是1、2、3的2倍与1的差，而下面的数21，22，23对应的指数正好也是1，2，3，即可以得出结果．【解答】解：由题意得：1＝2×1﹣1，3＝2×2﹣1，5＝2×3﹣1…∴a＝2×2020﹣1＝4039．故选：D．【变式2-2】（2021•广汉市模拟）右边是一个按某种规律排列的数阵：根据规律，自然数2021应该排在从上向下数的第m行，是该行中的从左向右数的第n个数，那么m+n的值是（　　）A．131 B．130 C．129 D．128【分析】每行的最后一个数是这个行的行数m的平方，第m行的数字的个数是 2m﹣1，所以2021在第45行，45行最后一个数字是2025，从2025往前数4个数据得到2021，进而得出2021是第85个数据，从而得出答案．【解答】解：∵每行的最后一个数是这个行的行数m的平方，第m行的数字的个数是 2m﹣1，∵442＝1936，所以2021在第45行，∵452＝2025，∴45行最后一个数字是2025，第45行有2×45﹣1＝89个数字，从2025往前数4个数据得到2021，从而得出2021是第85个数据，∴m＝45，n＝85，∴m+n＝45+85＝130．故选：B．【变式2-3】（2021•镇江）如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（　　）A．A1 B．B1 C．A2 D．B3【分析】把A1，A2，B1，B3的式子表示出来，再结合值等于789，可求相应的n的值，即可判断．【解答】解：由题意得：A1＝2n+1+2n+3+2n+5＝789，整理得：2n＝260，则n不是整数，故A1的值不可以等于789；A2＝2n+7+2n+9+2n+11＝789，整理得：2n＝254，则n不是整数，故A2的值不可以等于789；B1＝2n+1+2n+7+2n+13＝789，整理得：2n＝256＝28，则n是整数，故B1的值可以等于789；B3＝2n+5+2n+11+2n+17＝789，整理得：2n＝252，则n不是整数，故B3的值不可以等于789；故选：B．【题型3 图形的规律】【例3】（2021•九龙坡区模拟）按如图所示的规律搭正方形：搭1个小正方形需要4根小棒，搭2个小正方形需要7根小棒，搭3个小正方形需要10根小棒，搭2021个这样的小正方形需要小棒（　　）根．A．8084 B．6066 C．6063 D．6064【分析】通过归纳与总结得出规律：正方形每增加1，火柴棒的个数增加3，由此求出第n个图形时需要火柴的根数的代数式，然后代入求值即可．【解答】解：搭2个正方形需要4+3×1＝7根火柴棒；搭3个正方形需要4+3×2＝10根火柴棒；…，搭n个这样的正方形需要4+3（n﹣1）＝3n+1根火柴棒；搭2021个这样的正方形需要3×2021+1＝6064根火柴棒；故选：D．【变式3-1】（2021春•开封期末）如图所示的图案是由相同大小的圆点按照一定的规律摆放而成的，按此规律，第n个图形中圆点的个数为（　　）A．n+3 B．n2+n C．3n+1 D．2n+2【分析】根据图形可知每个图形都比前一个多3个圆点，又第一个图形有3+1个，即第n个图形就有3n+1个．【解答】解：由题知，第1个图形圆点个数为：3×1+1＝4；第2个图形圆点个数为：3×2+1＝7；第3个图形圆点个数为：3×3+1＝10；第4个图形圆点个数为：3×4+1＝13；..．第n个图形圆点个数为：3×n+1＝3n+1；故选：C．【变式3-2】（2021•安徽模拟）观察下列图形与等式：（1）观察图形，写出第（7）个等式：　（1+2+3+4+5+6）×2+7＝72　；根据图中规律，写出第n个图形的规律：　（1+2+3+...+n﹣1）×2+n＝n2　；（用含有n的式子表示）（2）求出10+11+…+80的值．【分析】（1）观察图形的变化可得第（7）个等式，进而可得第n个图形的规律；（2）根据（1）中第n个图形的规律即可进行计算．【解答】解：（1）根据图形的变化可知：第（7）个等式为：（1+2+3+4+5+6）×2+7＝72；所以第n个图形的规律为：（1+2+3+...+n﹣1）×2+n＝n2；故答案为：（1+2+3+4+5+6）×2+7＝72；（1+2+3+...+n﹣1）×2+n＝n2；（2）因为（1+2+3+4+...+80）×2+81＝812，（1+2+3+4+..+9）×2+10＝102，1+2+3+4+...+80=812-812=3240，1+2+3+4+...+9=102-102=45，所以10+11+…+80＝（1+2+3+4+...+80）﹣（1+2+3+4+...+9）＝3195．【变式3-3】（2020秋•滦南县期末）按如下规律摆放五角星：（1）填写表格：图案序号1234…n五角星个数47　10　　13　…　3n+1　（2）直接写出第20个图案的五角星个数，个数为　61　；（3）若按上面的规律继续摆放，是否存在某个图案，其中恰好含有2021个五角星？（4）计算前20个五角星图案中五角星的总个数．【分析】（1）把五角星分成两部分，顶点处的一个不变，其它的分三条线，每一条线上后一个图形比前一个图。