造桥选址.doc

图1 图2 图3问题：如图1，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路线AMNB最短？（假设河两岸平行,桥MN 与河岸垂直,A到 河岸m的距离大于河宽.） 方法探究：读懂题意后发现，这个问题要求的“路径AMNB最短”实际是就是“AM+BN”最短，因为本题中附加条件是“桥要与河垂直”，也就是说桥的长度就是河两岸的距离了（题中假定了河的两岸是平行的直线）．怎样保证“AM+BN”最短呢？如果不是中间有条河隔着，直接连接AB就可以了！由于河两岸平行,故桥长MN是一个定值,无论桥架在何处，MN是必经路线,要使从A到B的折线最短,只需AM+BN最短即可为此我们不妨将河岸平移到与河岸重合，由平移性质知MB1= NB由“两点之间，线段最短”的性质知，要使AM+BN最短,只要点B1与A、M共线即可为了更为清楚的表达这种方法，我们构造出如图3的作图后，再加以说明图2的操作步骤是，过点A作AC⊥ 于点C， 段AC上截取 AC=桥长，然后连接C、B交河岸n于点N，最后过点N作MN⊥河岸m于点M。

则MN即为所求的架设桥的地点.很显然，从上面的分析与作图来看，通过平移把桥的固定长度巧妙的化解开去，分析出“AM+BN”最短距离为A`N+BN（也就是点A`到点B之间的线段最短），从而实现了问题的求解．建校选址问题：如图6，要在公路m旁建一所小学，使A村、B村到小学的距离之和最小，请作出小学的位置分析讨论：如图5，若A、B两村分布在公路m两侧，则只需连结A、B，AB与公路m的交点C即为所求. 这时，AC+BC =AB. 依据连结A、B两点的连线中，线段AB最短. 但是此问题中A、B两村分布在公路m的同侧. 因而利用对称变换作出A点关于公路m的对称点 A1，就可转化为前面的情形来解决了.作法：如图6，①作A点关于公路m的对称点A1. ②连结A1B与公路m交于C.③连结AC、BC，则C就为学校的位置.造桥选址问题（选自人教版七年级下册）A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）分析讨论：如图10，因为两平行线间的距离处处相等，所以桥长MN是不变的（与河同宽）.只须AM+BN最短. 把河岸m1连同A向下平移使两岸重合，这时A1B就是除去河宽的A到B的最短路径, 问题转化为B1题的第一种讨论。

作法：如图10，①过A作AP⊥m2 ，在AP上截取AA1=MN. ②连结A1B与m2交于N点.③过N点作MN⊥m2与m1交于M点. ④连结AM.则路径AMNB最短. 其实，此题将B点向上平移河宽也可以；将点A、点B同时向下、向上平移，使它们移动的距离之和为河宽也可以同学们可以在此充分讨论造桥选址问题造桥选址问题（选自人教版七年级下册）：如图1，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，桥造在何处才能使从到的路径最短？（假设河两岸、平行,桥 与河岸垂直）ABCMN 图1 图2方法探究：读懂题意后发现，这个问题要求的“路径最短”实际是就是“”最短，因为本题中附加条件是“桥要与河垂直”，也就是说桥的长度就是河两岸的距离了（题中假定了河的两岸是平行的直线）．怎样保证“”最短呢？如果不是中间有条河隔着，直接连接就可以了！由于河两岸平行,故桥长是一个定值,无论桥架在何处,是必经路线,要使从到的折线最短,只需最短即可.为此我们不妨将桥平移到处,且与重合,则与重合,由平移性质知=.由“两点之间,线段最短”的性质知,要使最短(即最短),只要点段上即可．为了更为清楚的表达这种方法，我们构造出如图2的作图后，再加以说明．图2的操作步骤是，过点作于点， 段上截取=桥长，然后连接交于点，最后过点作于点.则即为所求的架设桥的地点.很显然，从上面的分析与作图来看，通过平移把桥的固定长度巧妙的化解开去，分析出“”最短距离为（也就是点到点之间的线段最短），从而实现了问题的求解．解后反思：这个问题有着非好的实际背景，情境贴近生活实际．从上面的求解方法来看，平移只是问题实现转化中的一个重要策略，怎么联想到平移的？其本质还是对“两点之间，线段最短”公理的深刻理解．从这点上说，同学们是值得认真体会和积累的．造桥选址问题，充分体现了利用平移变换实现问题转化，从而有效求解．3。