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矩阵论习题课答案.docx

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    • 习题课答案一1). 设 A 为 n 阶可逆矩阵, l 是 A 的特征值,则 A *的特征根之一是(b )a) l -1 | A |n (b) l -1 | A | (c) l | A | (d) l | A |n2). 正定二次型 f ( x , x , x , x ) 的矩阵为 A,则( c )必成立.1 2 3 4(a) A 的所有顺序主子式为非负数 (b) A 的所有特征值为非负数(c) A 的所有顺序主子式大于零 (d ) A 的所有特征值互不相同3).设矩阵 A = ç a  1ç 1  bæ 1 açè1 ö     æ 0 0 0 öb ÷ 与 B = ç 0 1 0 ÷ 相似,则 a , b 的值分别为( a )è 0 0 2 ø1 ÷ø ç       ÷(a) 0,0 (b) 0,1 (c) 1,0 (d) 1,15)设 A = ç 6  -4 4 ÷ ,则 A 100=ç 4 -4 5 ÷二 填空题4)若四阶矩阵 A与B 相似, A 的特征值为 1 , 1 , 1 , 1 ,则 B-1 - E =2 3 4 5æ 5 -3 2 öç ÷è ø24     ç 2(2100 + 3100 ) - 4 4 - 2100 - 2 × 31002(3100 - 1)÷ç    2(3100 - 1)      2(1- 3100 )æ 3100 + 2(2100 - 1) 2 - 2100 - 3100çè三 计算题3100 - 1 ö÷2 × 3100 - 1 ÷øç 1ç 06 ö 的725 ÷3.求三阶矩阵 æ -1çè2÷-2 -7 ÷øJordan 标准型精品资料___________________________________________________________________________________________________-6  ö 0æ l + 1 -2 æ 1 0 öç   0l - 7   -25 ÷ ,将其对角化为 ç 0 10÷ .故 A 的若当解l E - A = ç -1è÷             ç                  ÷ø è 0 0 (l + 1)2 (l - 1)ø2 l + 7 ÷ ç                  ÷标准形为 ç 1  -1   0 ÷ .■æ -1 0 0 öç ÷è øç 0 0 1 ÷4.设 A 是 3 阶对称矩阵,且 A 的各行元素之和都是 3,向量a = (0, -1,1)T , b = (-1,2, -1 )T 是AX = 0 的解,求矩阵 A 的特征值,特征向量,求正交阵 Q 和矩阵 B 使得 QT BQ = A依题意有æ 0 -1 1ö æ 0 0 3 öæ 0 0 3 öæ 0  -1 1ö-1æ1 1 1öA ç -1  2  1÷ = ç 0 0   3 ÷ 因而 A = ç 0 0   3 ÷ç -1  2  1÷ = ç1   1   1÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ øø è ø è 0 0   3 øè è1   1   1øèç 1 -1 1÷ ç 0 0 3 ÷ ç ÷ç 1 -1 1÷ ç ÷其特征多项式为 f (l) =| l E - A |= l 2 (l - 3) .故特征值为 l = 0, l = 3 .1 2⑴ l = 0 , 解 特 征 方 程 - AX = 0 得 X = (-1,0,1)T , X = (-1,1,0)T . 特 征 向 量 为1 1 2l X + l X .1 1 2 2⑵ l = 3 ,解特征方程 (3E - A) X = 0 得 X = (1,1,1)T .特征向量为 l X .2 3 3 3以 上l , l , l Î R1 23  . 把 向 量  X1, X2    正 交 并 单 位 化 得,0,    ) ,h   = çç -   ,   , -X  单位化得h   = ç÷ .把向量 3       3÷ .è     2   2   2   2   2 ÷ø2     2è    3   3   3 øh1 = (-æ1    1          3   3    3 ö                   æ 1  1  1 ö,   ,23    作   为   列   向   量   作   成   矩   阵    P ,   则   P 为   正   交   矩   阵   且以 h ,h ,h1 2ç2æ 0 0 0 öç 0 0 3 ÷          ç   2   2ç   1è    33   øæ 1-çç ÷ ç 3PT AP = ç 0 0 0 ÷ = B . Q = PT = ç -è øç5032131  ö2 ÷÷3 ÷-    ÷ ,则 Q 满足 QT BQ = A .■2 2 ÷1  ÷÷精品资料___________________________________________________________________________________________________因而 A 的 Jordan 标准形为 J = ê 1  -2解:A 的行列式因子为 D (l) = (l + 2)3 , D (l ) = D (l ) = 1 .3 2 1所以,不变因子为 d (l ) = (l + 2)3 , d (l) = d (l) = 1,初等因子为 (l + 2)3 ,3 2 1é-2 ùê úúë ûê 1 -2ú8.设 A 是 n 阶特征值为零的若当块。

      证明,不存在矩阵 A,使得 A² = J假设 A² = J.若 λ 是 A 的一个特征值, 则 λ ²是 A² = J 的特征值.而 J 的特征值只有 0, 于是 A 的特征值也只能为 0.考虑 A 的 Jordan 标准型, 其各 Jordan 块的特征值都是 0, 易见 r(A) = n-Jordan 块的个数.由 r(A) ≥ r(A²) = r(J) = n-1, A 只有一个 n 阶 Jordan 块.因此 A 与 J 相似, 进而有 J = A²与 J²相似.但 r(J) = n-1 > n-2 = r(J²), 矛盾.即不存在矩阵 A 使得 A² = J.9.设 A,B 是 n 阶矩阵,证明:AB 与 BA 具有相同的特征值精品资料___________________________________________________________________________________________________只需证明:若 λ 是 AB 的特征值,则 λ 也是 BA 的特征值分两种情况:(1)λ ≠0由 λ 是 AB 的特征值,存在非零向量 x 使得 ABx=λ x。

      所以BA(Bx)=B(ABx)=B(λ x)=λ Bx,且 Bx≠0(否则 λ x=ABx=0,得 λ =0,矛盾)这说明Bx 是 BA 的对应于特征值 λ 的特征向量,特别地 λ 也是 BA 的特征值2)λ =0此时存在非零向量 x 使得 ABx=λ x=0,所以 AB 不满秩,知 det(AB)=0从而det(BA)=det(AB)=0,BA 不满秩,所以存在非零向量 x 使得 BAx=0=λ x这说明 λ =0 也是BA 的特征值10. 设 A 是数域 F 上的 n 维线性空间 V 的一个线性变换 , 设 a ÎV , 使An-1 ¹ 0,但是Ana =0,(其中n>1).证明: {a , Aa , A2a ,此基下的矩阵,以及A的核的维数., An-1a} 是V的一组基.并且求线性变换A在证明:An-1 ¹ 0,Ana =0.令 l a + l (Aa )+0 1+ ln-1(An-1a )= 0 .(1)用 An-1 左乘(1)式两边,得到 l ( An-1a ) = 0 .0由于 An-1 ¹ 0 ,\ l = 0 ,带入(1)得 l (Aa )+0 1+ ln-1(An-1a )= 0 .(2)再用 An-2 左乘(2)式两端,可得 l  = 0 .1这样继续下去,可得到 l = l = = l0 1\a , Aa , A2a ,, An-1a 线性无关.n-1= 0 .A(a , Aa , A2a ,, An-1a ) =(a , Aa , A2a ,, An-1a ) æ 000 0 ö .ç  1   00   0 ÷çç 0 1ççèç 0 0÷0 0 ÷÷÷1 0 ÷ø\ A在此基下的矩阵为æçç 1÷ ,0 00ç 0 1ççèç 0 00 0 ö0 0 ÷0 0 ÷÷÷1 0 ÷ø可见, R( A) = n - 1 ,\ dimker A = n - (n - 1) = 1精品资料___________________________________________________________________________________________________即 A 的核的维数为 1.。

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