高中数学复习 函数奇偶性、单调性、周期性、对称性归类（解析版）.docx

函数奇偶性、单调性、周期性、对称性归类目录题型一：奇偶性基础 1题型二：单调性基础 5题型三：周期性基础 7题型四：中心与轴对称应用：左右平移 9题型五：中心与轴对称应用：伸缩变换型 11题型六：中心与轴对称应用：轴对称型 14题型七：中心与轴对称应用：斜直线对称 17题型八：中心与轴对称应用：中心对称 19题型九：中心与轴应用：类比“正余弦”求和 22题型十：中心与轴应用：“隐对称点” 24题型十一：双函数型中心、轴互相“传递” 26题型十二：函数型不等式：“优函数”型 30题型十三：类周期型函数 32题型十四：“放大镜”函数类周期性质 36题型一：奇偶性基础判定函数的奇偶性的常见方法：（1）定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称，再化简解析式验证货等价形式是否成立；（2）图象法：若函数的图象关于原点对称，可得函数为奇函数；若函数的图象关于轴对称，可得函数为偶函数；（3）性质法：设的定义域分别为，那么它们的公共定义域上.常见的函数奇偶性经验结论（在定义域内）：1.加减型：奇+奇→ 奇 偶+偶→ 偶 奇-奇→ 奇 偶-偶→ 偶 奇+偶→ 非 奇-偶→ 非2.乘除型（乘除经验结论一致）奇X奇→ 偶 偶X偶→ 偶 奇X偶→ 奇 奇X偶X奇→ =偶 简单记为：乘除偶函数不改变奇偶性，奇函数改变3.上下平移型：奇+c→ 非 偶+c→ 偶4.复合函数：若 f (x) 为奇函数， g(x) 为奇函数，则 f [g(x)]为 奇 函数 若 f (x) 为奇函数， g(x) 为偶函数，则 f [g(x)]为 偶 函数 1.（2023·全国·高三专题练习）若，，分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，则下列函数不是偶函数的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据，，分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，再由奇偶函数的定义逐项判断即可.【详解】若，则，则是偶函数，故A错误；若，则,则是偶函数，故B错误；若，则，则是奇函数，故C正确；若，则，则是偶函数，故D错误.故选：C2.（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据奇偶函数的定义可得，再利用基本不等式求最小值.【详解】由题意可得，解得，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：B.3.（2023春·湖北武汉·高三武汉市开发区一中校考阶段练习）已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据奇偶函数构造方程组求出的解析式，再根据题意得到在单调递增，分类讨论即可求解.【详解】由题可得，因为是奇函数，是偶函数，所以，联立解得，又因为对任意的，都有成立，所以，所以成立，构造，所以由上述过程可得在单调递增，(i)若，则对称轴，解得；(ii) 若，在单调递增，满足题意；(iii) 若，则对称轴恒成立；综上，，故选：B.4.（2023·吉林延边·高三延边二中校考开学考试）函数是的奇函数， 是常数．不等式对任意恒成立，求实数的取值范围为A． B．C． D．【答案】A【分析】先根据奇偶性求出，然后判断函数的单调性，结合性质把转化为，求解的最小值可得.【详解】因为是的奇函数，所以，所以；因为，所以可得，此时，易知为增函数.因为所以，即，因为，所以.故选A.5.（2023秋·山西·高三校联考期中）已知函数为奇函数，则的值是（    ）A．0 B． C．12 D．10【答案】D【分析】由奇函数的性质可知，由此可以求出的值，进而可以求出.【详解】因为函数为奇函数，所以，即，即或，显然函数的定义域为关于原点对称，且当时，有，从而有，当时，有，但，所以，即，所以.故选：D.6.（2024年高考天津卷）下列函数是偶函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误；对B，设，函数定义域为，且，则为偶函数，故B正确；对C，设，函数定义域为，不关于原点对称， 则不是偶函数，故C错误；对D，设，函数定义域为，因为，，则，则不是偶函数，故D错误.故选：B.题型二：单调性基础单调性的运算关系：①一般认为，－f(x)和均与函数f(x)的单调性 相反 ； ②同区间，↑+↑= ↑ ，↓+↓= ↓ ，↑－↓= ↑ ，↓－↑= ↓ ；单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么有：①>0⇔f(x)是[a,b]上的 增函数 ； ②<0⇔f(x)是[a,b]上的__减函数__；(3)复合函数单调性结论： 同增异减 ．1.（21-22高三·全国·课后作业）如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中不正确的是（    ）A．>0B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0C．若x10【答案】C【解析】根据函数单调性的定义，对每个选项进行逐一分析即可.【详解】因为f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同，故A，B，D都正确，而C中应为若x1

是一个偶函数．故选：A.3.（23-24高三 ·湖南衡阳·阶段练习）已知函数满足，对任意实数x，y都有成立，则（    ）A． B． C．2 D．1【答案】D【分析】令，得，然后做恒等变形，得出函数的周期，然后求出一个周期内的各个值即可.【详解】因为且，令，得，则，所以，即，所以，所以，故函数是周期为6的周期函数.令，，得，则，令，，得，则，由，得，，，，所以，又，故由函数的周期性知，，故选：D.4.（22-23高三 安徽·阶段练习）已知是定义在上的函数，，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知关系式可推导得到，可知周期为，结合的值可求得，由可得结果.【详解】，，是周期为的周期函数，，，.故选：B.5.（21-22高三·贵州六盘水·）函数的定义域为，若且，则（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题首先可根据题意计算出、、、的值，然后根据计算出的值得出规律，并根据得出的规律求出的值.【详解】因为，，所以，则，，，由上述函数值可知：当、、、、、时，函数的值按照、、、循环，故，故选：D.题型四：中心与轴对称应用：左右平移图形变换时，对称轴和堆成中心也跟着平移(1)平移变换：上加下减，左加右减(2)对称变换①y＝f(x) y＝－f(x)； ②y＝f(x) y＝f(－x)；③y＝f(x) y＝－f(－x)； ④y＝ax (a>0且a≠1) y＝logax(a>0且a≠1)．⑤y＝f(x) y＝|f(x)|. ⑥y＝f(x) y＝f(|x|)．1.（2023·四川南充·阆中中学校考模拟预测）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据为奇函数，为偶函数，可得函数的周期，且为偶函数，根据时，，求的值得此时解析式，即可求得的值.【详解】为奇函数，，所以关于对称，所以①，且，。