2025-2026学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（上）质检数学试卷（9月份）（含答案）.docx

2025-2026学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（上）9月质检数学试卷一、单选题：本题共4小题，1-2每题4分, 3-4每题5分共18分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知a∈R，则“a>1”是“1a<1”的(    )A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件2.下列命题中正确的(    )A. ⌀与{0}表示同一个集合B. 方程{x|(x−2)2(x−3)=0}的所有解的集合可表示为{2,2,3}C. 由3，4，5组成的集合可表示为{3,4,5}或{4,5,3}D. 很小的实数可以构成集合．3.命题“存在x>0，使得mx2+2x−1>0”为真命题的一个充分不必要条件是(    )A. m>−2 B. m>−1 C. m>0 D. m=−14.设A1、A2、A3、…、A7是均含有2个元素的集合，且A1∩A7=⌀，Ai∩Ai+1=⌀(i=1,2,3,…,6)，记B=A1∪A2∪A3∪…∪A7，则B中元素个数的最小值是(    )A. 5 B. 6 C. 7 D. 8二、填空题：本题共12小题，5-10题每题4分, 11-16题每题5分共54分。

5.已知全集为R，集合A={x|x<3}，则A−= ______．6.若集合x∈{1,x2}，则x=______．7.命题“若x≠1，则x2−1≠0”的真假性为______命题.(填真、假)8.设a，b∈R，若集合{1,a+b,a}={0,ba,b}，则a2025+b2025=______．9.已知集合A={1,t,2t}，B={1,t2}，若B⊆A，则实数t= ______．10.已知集合A={x|y= 1−x2,x∈Z}，B={y|y=x2+1,x∈A}，那么A∪B=______．11.若集合A={(x,y)|y=−x2，x∈R}，B={(x,y)|y=2x2−3x，x∈R}，则A∩B=______．12.设集合A满足{−1,2}⊆A⊂{−1,0,1,2,3}，则满足条件的A有______个.13.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，且A−∩B={3,7}，A∩B−={2,8}，A−∩B−={1,5,6}，则集合A=______．14.已知集合M={x|(x−a)(x−ax+a−1}=0}各元素之和等于3，则实数a的值为______．15.已知全集U={(x,y)|x，y∈R}，若集合A⊆U，且对任意(x1,y1)∈A，均存在(x2,y2)∈A，使得：x1y2+x2y1=0，则称集合A为“对称对点集”.给出如下集合：(1)A={(x,y)|x，y∈Z}；(2)A={(x,y)|y=1x,x∈R,x≠0}；(3)A={(x,y)|y=2x+1，x∈R}；(4)A={(x,y)|y=x2，x∈R，x≠0}．其中是“对称对点集”的序号为______.(写出所有正确的序号)16.M是正整数集的子集，满足：1∈M，2022∈M，2023∉M，并有如下性质：若a、b∈M，则[ a2+b22]∈M，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，则M的非空子集数为______．三、解答题：本题共5小题，共78分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.(本小题14分)设集合A={x|ax−1=0}，B={x|x2+2(b+1)x+(b+3)=0}，C={x|x2−3x+2=0}．(1)若A∩C=A，求实数a的取值范围；(2)若B∪C=C，求实数b的取值范围．18.(本小题14分)集合A={x|30}，A∪B={x|x>−2}；命题乙：已知集合C={x|x2+(a+2)x+1=0}，D={x|x>0}，且C∩D=⌀．(1)求A−；(2)若命题乙是真命题，求实数a的取值范围；(3)若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数a的取值范围．21.(本小题18分)已知A是R的非空真子集，如果对任意x，y∈A，都有x+y∈A，xy∈A，则称A是封闭集．(1)判断集合B={0}，C={−1,0,1}是否为封闭集，并说明理由；(2)判断以下两个命题的真假，并说明理由；命题p：若非空集合A1，A2是封闭集，则A1∪A2也是封闭集；命题q：非空集合A1，A2是封闭集，则A1∩A2≠⌀是A1∩A2是封闭集的充要条件；(3)若非空集合A是封闭集合，设全集为R，求证：A的补集不是封闭集．参考答案1.A 2.C 3.C 4.B 5.{x|x≥3} 6.0 7.假 8.0 9.2 10.{−1,0,1,2} 11.{(0,0)，(1,−1)} 12.7 13.{2,4,8,9} 14.2 15.(1)(4) 16.22022−1 17.(1)根据x2−3x+2=0的解为x=1或2，可得集合C={x|x2−3x+2=0}={1,2}，由A∩C=A，可得A⊆C，集合A可能是⌀或{1}或{2}或{1,2}，根据集合A={x|ax−1=0}，可知有如下几种情况：①a=0时，方程ax−1=0变为−1=0，没有实数根，此时A=⌀，满足A⊆C；②a≠0时，方程ax−1=0等价于x=1a，即A={1a}，若 A={1}，则1a=1，解得a=1；若A={2}，则1a=2，解得a=12；③若A={1,2}，则1a不可能同时等于1，2，此种情况不成立．综上所述，实数a的取值范围是a∈{0,1,12}；(2)根据B∪C=C，可得B⊆C，则集合B可能是⌀或{1}或{2}或{1,2}，集合B={x|x2+2(b+1)x+(b+3)=0}，方程x2+2(b+1)x+(b+3)=0的根据的判别式Δ=4(b+1)2−4(b+3)=4(b+2)(b−1)，①当Δ<0时，B=⌀，符合题意，此时4(b+2)(b−1)<0，解得−20时，2a<3a，要使得A∩C=⌀，则2a≥5，解得a≥52，当a<0时，2a>3a，要使得A∩C=⌀，则2a≤−1，解得a≤−12，综上，a的取值范围为(−∞,−12]∪[52,+∞)．20.(1)由A={x|−20，得(a+2)2−4>0，解得a<−4或a>0，当两个解为负时，则满足−(a+2)<0，解得a>−2，所以a>0，当方程有唯一解时，即Δ=0，得(a+2)2−4=0，解得a=−4或0，当a=−4时，此时方程为x2−2x+1=0，解得x=1，不符合条件；当a=0时，此时方程为x2+2x+1=0，解得x=−1，符合条件；当方程无解时，即Δ<0，得(a+2)2−4<0，解得−43；由(2)可知命题乙是真命题时，a>−4，可知当命题乙是假命题时，a≤−4；当甲为真且乙为假时，−53，综上所述，命题甲和乙中有且只有一个真命题，实数a的取值范围为(−5,−4]∪(3，+∞)．21.解：(1)B={0}是封闭集，C={−1,0,1}不是封闭集，理由如下：对于集合B={0}，因为0+0=0∈B，0×0=0∈B，所以B={0}是封闭集；对于集合C={−1,0,1}，因为−1+(−1)=−2∉C，1+1=2∉C，所以集合C={−1,0,1}不是封闭集．(2)命题p是假命题，命题q是真命题，理由如下：对命题p：令A1={x|x=2k,k∈Z}，A2={x|x=3k,k∈Z}，令x1=2k1，y1=2k2，k1，k2∈Z，则x1+y1=2(k1+k2)∈A1，x1y1=2(2k1k2)∈A1，因此集合A1是封闭集，同理集合A2也是封闭集，取x2=2，y2=3，则x2，y2∈(A1∪A2)，而x2+y2=5∉(A1∪A2)，因此集合A1∪A2不是封闭集，命题p是假命题；对于命题q：若A1∩A2≠⌀，不妨令a，b∈(A1∩A2)，则有a，b∈A1，又集合A1是封闭集，则a+b∈A1，ab∈A1，同理a+b∈A2，ab∈A2，因此a+b∈(A1∩A2)，ab∈(A1∩A2)，所以A1∩A2是封闭集；反之，若A1∩A2是封闭集，则A1∩A2是非空集合，即A1∩A2≠⌀，所以A1∩A2≠⌀是A1∩A2是封闭集的充要条件，命题q是真命题．(3)证明：非空集合A是封闭集合，当A=R时，∁RA=⌀，因此∁RA不是封闭集合；当A≠R时，假设∁RA是封闭集合，设0∈A，在∁RA中任取一个x，x≠0，则−x∈A，否则−x∈∁RA，此时x+(−x)=0∈∁RA，与0∈A矛盾，因此(−x)2∈A，x2∈∁RA，而(−x)2=x2，与A∩(∁RA)=⌀矛盾，则当0∈A时，则∁RA不是封闭集合，同理当0∈∁RA时，∁RA不是封闭集合，所以A的补集不是封闭集． 第7页，共7页。