山东省某校2025届高三上学期期末数学试卷（含答案）.docx

山东省某校2025届高三上学期期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.若复数z1=1−i−1+7i，z2= 3−i，则z1−z2=(    )A. 4 B. 6 C. 8 D. 962.已知集合A={(x,y)|x2+y2=1}，B={(x,y)|y=x+ 2}，则集合A∩B中元素的个数为(    )A. 0 B. 1 C. 2 D. 33.若sin(α+β)=45,cos(α−β)=1213，且π2<α+β<π,0<α−β<π2，则sin2α=(    )．A. −3365 B. 3365 C. −6365 D. 63654.已知a∈R，若集合M=1,a,N=−1,0,1，则“M⊆N”是“a=0”的(    )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件5.已知函数f(x)=cosωx+π3+1(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)在区间0,π2上的最大值为(    )A. 12 B. 1 C. 32 D. 26.已知a，b为实数，则使得“a>b>0”成立的一个必要不充分条件为(    )A. 1a>1b B. ln(a+1)>ln(b+1)C. a3>b3>0 D. a−1> b−17.若∀x∈R,3sinx−acosx+2a≥6，则a的取值范围为(    )A. −∞,4− 7 B. −∞,4+ 7 C. 4− 7,+∞ D. 4+ 7,+∞8.如图，矩形ABCD中，已知AB=2,BC=4,E为BC的中点．将▵ABE沿着AE向上翻折至▵MAE得到四棱锥M−AECD.平面AEM与平面AECD所成锐二面角为α，直线ME与平面AECD所成角为β，则下列说法错误的是(    )A. 若F为AD中点，则▵ABE无论翻折到哪个位置都有平面AEM⊥平面MBFB. 若Q为MD中点，则▵ABE无论翻折到哪个位置都有CQ//平面AEMC. 2sinα=sinβD. 存在某一翻折位置，使 2cosα=cosβ二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9.下列统计量中，能度量样本x1，x2，…，xn的离散程度的是(    )A. 样本x1，x2，…，xn的极差B. 样本x1，x2，…，xn的中位数C. 样本x1，x2，…，xn的标准差D. 样本x1+1，x2+1，x3+1，…，xn+1的方差10.已知向量a=(1,2)，b=(2,−4)，且a与b的夹角为α，则(    )A. a−b=(1,−2) B. b=2a C. a//b D. cosα=−3511.在某市高三年级举行的一次调研考试中，共有30000人参加考试.为了解考生的某科成绩情况，抽取了样本容量为n的部分考生成绩，已知所有考生成绩均在[50,100]，按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出如图所示的频率分布直方图.若在样本中，成绩落在区间[50,60)的人数为16，则由样本估计总体可知下列结论正确的为(    )A. x=0.016 B. n=1000C. 考生成绩的第70百分位数为76 D. 估计该市全体考生成绩的平均分为71三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.函数y=sin2x−π4的最小正周期是          13.已知实数a∈(1,3),b∈18,14，则ab的取值范围是          ．14.已知数列{an}的通项公式an=n2sin(n2π),n∈N∗,则{an}的前22项和S22=          ．四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.(本小题13分)为落实国家“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2018年在其扶贫基地投入200万元研发资金，用于蔬菜的种植及开发，并计划今后十年内在此基础上，每年投入的资金比上一年增长10%．(1)写出第x年(2019年为第一年)该企业投入的资金数y(万元)与x的函数关系式，并指出函数的定义域；(2)该企业从第几年开始(2019年为第一年)，每年投入的资金数将超过400万元?(参考数据lg0.11≈−0.959,lg1.1≈0.041,lg11≈1.041,lg2≈0.301)16.(本小题15分)已知函数f(x)=−2 3sin2x+sin2x+ 3．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和最小值；(Ⅱ)在给出的直角坐标系中，画出函数y=f(x)在区间0,π上的图象．17.(本小题15分)已知数列an是公差不为零的等差数列，满足a1=1，a4+a5=a9，正项数列bn的前n项和为Sn，且Sn=3n−1．(1)求数列an和bn的通项公式；(2)在b1和b2之间插入1个数c11，使b1，c11，b2成等差数列；在b2和b3之间插入2个数c21，c22，使b2，c21，c22，b3成等差数列；…；在bn和bn+1之间插入n个数cn1，cn2，…，cmn，使bn，cn1，cn2，cnn，bn+1成等差数列．(ⅰ)求cnk；(ⅱ)求c11+c21+c22+⋯+cn1+cn2+⋯+cnn的值．18.(本小题17分)如图，四棱锥P−ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，PD⊥底面ABCD，∠ADC=90°,AD=2BC,Q为AD的中点，M为棱PC的中点．(1)证明：PA//平面BMQ；(2)已知PD=DC=AD=2，求点P到平面BMQ的距离．19.(本小题17分)在锐角▵ABC中，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b(a+c)sinA=1cosB+32π．(1)求证：cosB=1−2sin2A；(2)若m<1tanA−1tanB400可得1.1x>2，即x>lg2lg1.1≈0.3010.041≈7.3，即企业从第8年开始(2019年为第一年)，每年投入的资金数将超过400万元． 16.【详解】(Ⅰ)f(x)=−2 3×1−cos2x2+sin2x+ 3=sin2x+ 3cos2x=2sin2x+π3所以f(x)的最小正周期T=2π2=π，最小值为−2．(Ⅱ)列表：x0π12π37π125π6πf(x) 320−20 3故画出函数y=f(x)在区间0,π上的图象为 17.【详解】(1)设数列an的公差为d，由题意知，a1+3d+a1+4d=a1+8d，解得d=1，所以an=n，因为数列bn的前n项和为Sn，且满足Sn=3n−1，当n=1时，b1=31−1=2，当n≥2时，bn=Sn−Sn−1=3n−1−3n−1+1=2×3n−1，经验证当n=1时，也满足上式，综上得，bn=2×3n−1．(2)(ⅰ)在bn和bn+1之间插入n个数cn1，cn2，…cnn，因为bn，cn1，cn2，…cnn，bn+1成等差数列，所以设公差为dn，dn=bn+1−bnn+1=2×3n−2×3n−1n+1=4×3n−1n+1，则cnk=bn+kdn=2×3n−1+k4×3n−1n+1=2k+1+nn+1×2×3n−1．(ⅱ)设Mn=cn1+cn2+⋯+cnn=n2×3n−1+4×3n−1n+1+n(n−1)2×4×3n−1n+1=4n×3n−1，则c11+c21+c22+⋯+cn1+cn2+⋯+cnn=c11+c21+c22+⋯+cn1+cn2+⋯+cnn=M1+M2+⋯+Mn，设Tn=M1+M2+⋯+Mn，即Tn=4×30+8×31+12×32+⋯+(4n−4)3n−2+4n×3n−1，3Tn=4×31+8×32+12×33+⋯+(4n−4)×2×3n−1+4n×3n，−2Tn=4+4×31+4×32+⋯+4×3n−1−4n×3n=430+3+32+32+⋯+3n−1−4n×3n=4×1−3n1−3−4n×3n．所以，Tn=1+(2n−1)×3n． 18.【详解】(1)连接AC交BQ于N，连接MN．因为∠ADC=90°,AD//BC,AD=2BC，Q为AD的中点，所以N为AC的中点，又M为PC的中点，故MN//PA，又MN⊂平面BMQ，PA⊄平面BMQ，所以PA//平面BMQ．(2)解由(1)可知，PA//平面BMQ，所以点P到平面BMQ的距离等于点A到平面BMQ的距离，所以VP−BMQ=VA−BMQ=VM−ABQ．取CD的中点K，连接MK,QK，所以MK//PD，MK=12PD=1．又PD⊥底面ABCD，所以MK⊥底面ABCD．又BC=12AD=1，PD=DC=2，所以AQ=1,BQ=2,DQ=DK=1，KQ= 2,MQ= 3,NQ=1，所以VP−BMQ=VA−BMQ=VM−ABQ=13×12×1×2×1=13．因为MN=12AP=12 22+22= 2，MN⊥BQ所以S▵BMQ=12MN×BQ=12× 2×2= 2，所以点P到平面BMQ的距离d=3VP−BMQS▵BMQ=1 2= 22． 19.【详解】(1)依题意，▵ABC是锐角三角形，b(a+c)sinA=1cosB+32π=1sinB，由正弦定理得ba+c=sinAsinB=ab，所以b2=a(a+c)=a2+ac，由余弦定理得b2=a2+c2−2accosB，则a2+ac=a2+c2−2accosB,c2=ac+2accosB，即c=a+2acosB,cosB=c−a2a>0，所以c>a,ca>1，由正弦定理得sinC=sinA+2sinAcosB，sin(A+B)=sinA+2sinAcosB，sinAcosB+cosAsinB=sinA+2sinAcosB，cosAsinB−sinAcosB=sinA，sin(B−A)=sinA，0A，b>a，则B−A=A或B−A+A=π(舍去)，所以B=2A，所以cosB=cos2A=1−2sin2A．(2)由于A+B+C=3A+C=π，由于A,B,C都是锐角，所以00，所以fx1−fx2>0,fx1>fx2，所以f(x)在区间(0,1)上递减，所以f(x)=x+1x在 33,1上递减，f 3。