角平分线的性质和判定.ppt

 画∠∠AOB,将将∠∠AOB对折对折,折痕OC ,在在OC上任取一点上任取一点P,过过P向角的向角的两边作垂线段两边作垂线段PD、、PE,并度量所画PD、PE是否等长？画一画画一画命题：在角平分线上的点到角的两边的距离相等命题：在角平分线上的点到角的两边的距离相等题设：一个点在一个角的平分线上题设：一个点在一个角的平分线上结论：它到角的两边的距离相等结论：它到角的两边的距离相等已知：已知：OC是是∠∠AOB的平分线，点的平分线，点P在在OC上，上，PD ⊥⊥OA ，，PE ⊥⊥OB，垂足分别是，垂足分别是D、、E.求证：求证：PD=PE.AOBPED角平分线的性质定理：角平分线的性质定理： 定理定理 1 1 角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等BADOPEC定理应用所具备的条件：（（1）角的平分线；）角的平分线；（（2）点在该平分线上；）点在该平分线上；（（3）垂直距离垂直距离定理的作用： 证明线段相等证明线段相等应用定理的书写格式：OP 是是 的平分线的平分线\PD = PE （（在角的平分线上的点在角的平分线上的点 到这个角的两边的距离相等。

到这个角的两边的距离相等∵∵推理的理由有三个，推理的理由有三个，必须写完全，不能少必须写完全，不能少了任何一个了任何一个∵∵ 如图，如图，AD平分平分∠∠BAC（已知）（已知） ∴ = ，( ) 在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等个角的两边的距离相等BD CD（（×））∵∵ 如图，如图， DC⊥⊥AC，，DB⊥⊥AB （已知）（已知） ∴ = ，( ) 在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等个角的两边的距离相等BD CD（（×））∵∵ AD平分平分∠∠BAC, DC⊥⊥AC，，DB⊥⊥AB （已知）（已知）∴ = ，（ ） DBDC在角的平分线上的点到这个在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

角的两边的距离相等√不必再证全等不必再证全等 到一个角的两边的距离相等的点，在到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上这个角平分线上已知：已知：PD ⊥⊥OA ，，PE ⊥⊥OB，垂足分别是，垂足分别是D、、E，，PD=PE. 求证：求证： 点点P在在∠∠AOB的平分线上的平分线上角平分线的判定角平分线的判定AOBPDEC定理：定理：用符号语言表示为：用符号语言表示为：∵∵PD=PE PD ⊥⊥OA ，，PE ⊥⊥OB∴∴ ∠∠1= ∠∠2 .由上面两个定理可知：到角的两边的距离由上面两个定理可知：到角的两边的距离相等的点，都在这个角平分线上；反过来，相等的点，都在这个角平分线上；反过来，角平分线上的点到角的两边的距离相等角平分线上的点到角的两边的距离相等 角的平分线是到角的两边距离相等角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合的所有点的集合.练一练练一练填空：填空：(1). ∵∠∵∠1= ∠∠2,DC⊥⊥AC, DE⊥⊥AB ∴∴___________(___________________________________________)(1). ∵∵DC⊥⊥AC ,DE⊥⊥AB ,DC=DE∴∴__________(_ ______________________________________________)ACDEB12∠∠1= ∠∠2DC=DE到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。

到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上在角平分线上的点到角的两边的距离相等在角平分线上的点到角的两边的距离相等2.已知：如图，已知：如图，∠∠C= ∠∠C′=90° ，，AC=AC ′ .求证求证（（1）） ∠∠ABC= ∠∠ABC ′ ；（；（2））BC=BC ′ .（要（要求不用三角形全等的判定）求不用三角形全等的判定）BCAC′课堂小结课堂小结 1.角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等在角平分线上的点到角的两边的距离相等 2.角平分线的判定角平分线的判定定理定理:到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上 3.角平分线的性质定理和角平分线的判定角平分线的性质定理和角平分线的判定定定理是证明角相等、线段相等的新途径理是证明角相等、线段相等的新途径.例例 已知：如图，已知：如图，△△ABC的角平分线的角平分线BM、、CN相相 交于点交于点P.求证：点求证：点P到三边到三边AB、、BC、、CA的距离相等的距离相等.证明：过点证明：过点P作作PD 、、PE、、PF分别分别垂直垂直于于AB、、BC、、CA，垂足为，垂足为D、、E、、F∵∵BM是是△△ABC的角平分线，点的角平分线，点P在在BM上（已知）上（已知）∴∴PD=PE（（在角平分线上的点到角的两边的距离在角平分线上的点到角的两边的距离相等）相等）同理同理 PE=PF.∴ ∴ PD=PE=PF.即点即点P到边到边AB、、BC、、CA的距离相等的距离相等DEFABCPMN求证：三角形的三条角平分线交于一点。

求证：三角形的三条角平分线交于一点利用结论，解决问题练一练 1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?拓展与延伸2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处作业练习册P63P64。