直线形面积(一).docx

第四讲 直线形面积（一）1． 同高三角形和燕尾定理：(1) 同高三角形面积的比等于底的比；如右图中：S△ABD : S △ACD = BD : CD思考：为什么？ A(2) 如右图所示：S ADEAD AEES ABCAB ACD思考：为什么？（提示：连CD）BCAA(3) 燕尾定理：如右两图所示，均有：ES ABEBDBDS ACECDDCBC思考：为什么？E提示：acacacac如果，那么bdbdbbdd2． “金字塔”和“沙漏” ：AB如右两图所示，O如果 AB与 CD平行，O那么：OA OCA BOB OD注意：沙漏的 CD是“拧”着的D CC D例题 ：1、如图，平行四边形 ABCD中， EF 平行于 AC，连结 BE， AE， CF， BF，与△ BEC 等积的三角形还有哪几个？[ 分析与解答 ]1由于图中平行线有三组： AD平行于 BC，AB 平行于 CD，EF平行于 AC，不妨依据同底等高的三角形等积来寻求等积三角形先看与△ BEC同底的三角形，若以 BC边为底，这样的三角形还有△ ABC，△ BFC，它们两个不可能与△ BEC等积，因为 AE， AF 都不与 BC平行，也就不存在等高了，而以 EC边为底的三角形还有△ AEC，它的第三个顶点A 与 B 的连线 AB是与 EC平行的，所以△ AEC 与△ BEC等积。

直接与△ BEC等积的三角形没有了，但可以间接求，与△ AEC 等积的三角形必然与△ BEC 等积如图中，△ AEC 的另一边 AC与 EF 平行，则 EF 线上任意一点与 A， C两点连线构成的三角形必然与△ AEC等积，在 EF 上，只有 E，F 点，因此，△ AFC 与△ AEC等积同样的方法可找到与△ AFC 等积的三角形△ ABF所以与△ BEC等积的三角形共有三个，它们是：△ AEC，△ AFC，△ ABF2、如图，在△ ABC 中， AD是 AC的三分之一， AE 是 AB的四分之一，若△ AED 的面积是 2 平方厘米，那么△ ABC的面积是多大？[ 分析与解答 ]连结 EC，如图，因为 AC＝ 3AD，△ AED 与△ AEC 中 AD， AC边上的高相同，所以△ AEC 的面积是△ AED 面积的 3 倍，即△ AEC面积是 6 平方厘米，用同样方法可判断△ ABC 的面积且△ AEC 面积的四倍，所以△ ABC 的面积是 64＝ 24（平方厘米）3、将三角形 ABC 的 BA 边延长 1 倍到 D ； CB 边延长 2 倍到 E，AC 边延长 3 倍到 F，如果三角形 ABC 的面积等于 1，那么三角形 DEF 的面积是 _____。

[ 分析与解答 ]如图，连接 CD、 BF ，则2三角形ADC 的面积＝ 三角形 ABC 的面积 ＝ 1；三角形BDE 的面积＝ 三角形 BCD 的面积 2＝(1+1) 2 ＝ 4；三角形CDF 的面积＝ 三角形 ADC 的面积 3＝3；三角形BCF 的面积 ＝ 三角形 ABC 的面积 3＝ 3；三角形BEF 的面积 ＝ 三角形 BCF 的面积 2＝ 6；三角形DEF 的面积 ＝ 三角形 ABC 的面积 +三角形 ADC 的面积 +三角形 BDE 的面积 +三角形 CDF 的面积+三角形 BCF 的面积 +三角形 BEF 的面积 ＝ 1+1+4+3+3+6＝ 184、如图，已知AE ＝AC/5 ， CD ＝ BC/4 ， BF＝ AB/6 ，那么三角形 DEF 的面积等于多少？三角形 ABC 的面积[ 分析与解答 ]这道题与例 34 很相像，但不同的是没有 一个现成的单位面积要求出这样一个比例，要求我们自己开发一个单位面积可不可以就用大三角形的面积做单位面积呢？[ 解答 ]如图，连接 AD ，那么S△ CDE＝S△ ACD 4/5 ＝S△ABC 1/4 4/5＝ S△ ABC 1/53同理，连接 BE ，那么S△ AEF＝ S△ ABE 5/6＝ S△ABC 1/55/6＝ S△ABC 1/6连接 CF，那么S△ BDF＝ S△ BCF 3/4＝ S△ABC 1/6 3/4＝ S△ABC 1/8所以三角形 DEF的面积＝ 1－ 1/5－ 1/6－1/8＝61三角形 ABC 的面积1205、如图，已知 D 是 BC 中点， E 是 CD 中点， F 是 AC 中点。

三角形ABC 由① ~⑥这 6 部分组成，其中②比⑤多 6 平方厘米那么三角形ABC 的面积是多少？[ 分析与解答 ]仔细观察图形， 我们可以发现②和⑤这两个三角形形状是一样的， 并且 EF 是△ ACD 的中位线， 也就是 EF：AD ＝ 1：2那么②和⑤底和高的比都是 2： 1（形状相同，高之比和底之比是一样的），面积比自然就是 4： 1了②与⑤的面积比为 4：1，并且相差 6 平方厘米，所以⑤的面积＝ 6（ 4－1）＝ 2（平方厘米）②的面积＝ 2 4＝ 8（平方厘米）③与④的面积均为⑤的二倍，②的一半，即 4 平方厘米；⑥的面积为④＋⑤，即 4＋ 2＝ 6（平方厘米）①的面积为②＋③＋④＋⑤＋⑥，即 8＋4＋ 4＋ 2＋ 6＝ 24（平方厘米）大三角形的面积为①的二倍，即24 2＝ 48（平方厘米）6、如图 , 在△ ABC中 , DC=2BD, AF=FD.AEF4 B D C如果△ ABC的面积等于 a , 那么阴影部分的面积为多少 ?[ 分析与解答 ]连接 DE，因为 AF＝ FD，所以三角形 DFC的面积与三角形 AFC的面积相等通过 转化 ，求两个阴影部分面积实际就是求三角形 AEC的面积，连接 ED，把三角形 BED的面积看作一份，则三角形 EDC的面积就是 2 份。

因为三角形 AEC的面积同样等于三角形 EDC的面积，因此总面积就是 1＋2＋ 2＝ 5 份则阴影面积为 2 a 57、在 ABC 中 BD ： DC=2:1,AE ： EC=1:3 求 BO ： OE[ 分析与解答 ]解法一 ，用按比例分配的方法， 观察线段 BE 正好被 AD 分成 BO 与 OE 两部分， 求AEFB D C这两部分的比，可以AD 为底， B， E 为顶点构造两个三角形， BAD 与 EAD ，这样A就可以面积比与线段比之间架一座桥因为三角形BAD 的三个顶点都在三角形EOABC 的边上，因此把三角形ABC 的面积看作单位“1”，就可以用 2 来表示 ABD的C3BD面积，用AE 的长占 AC的 1/4 ， CD的长占 CB的 1/3 ， 11=1 来表示 AED的面积4312因为： S ABD ： SAED=2 ： 1 =8： 1，所以 BO： OE=8： 1312解法二 ：这幅图形一看就感觉它是燕尾定理的基本图，但2 个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步我们要连接 OC，因为 AE:EC=1:3 ( 条件 )所以 S AOE/S COE=1:3若设 S AOE=x, 则 SCOE=3xS AOC=4x, 根据燕尾定理SAOB ： S AOC=BD ： DC=2:1所以 S AOB=8xBO： OE=S AOB ： SAOE=8x ： x=8:1 。

8、 角形 ABC中， C 是直角，已知 AC＝ 2， CD＝ 2,CB=3,AM=BM，那么三角形 AMN（阴影部分）的面积是多少？[ 分析与解答 ]5可以连接 NB，由燕尾定理及条件可知 CAN：ABN＝ 2：1，不妨设 ANM为 1 份，则 ANB为两份， CAN就是 4 份， CND1也是 4 份，全图就是 10 份，阴影就占全图的10练习题1、在图中，直线 CF 与平行四边形 ABCD的 AB边相交于 E 点，如果三角形 BEF的面积为 6 平方厘米，求三角形ADE的面积是多少？[ 分析与解答 ]连结 AC，因为 AB平得 CD，AE 是三角形 ADE， ACE的公共底边，所以三角形 ADE与三角形 ACE的面积相等又因为 BC平行于 AF，AF 是三角形 AFC与三角形 ABF的公共底边，所以三角形 ACF与三角形 ABF的面积相等从图中还可看出， 三角形 ACF的面积＝三角形 ACE。