高斯公式.ppt

第六节Green 公式Gauss 公式推广推广一、高斯公式一、高斯公式 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 *三、通量与散度三、通量与散度 高斯公式 *通量与散度 引言引言牛牛——莱公式：莱公式：格林公式：格林公式：三者共性（三者共性（实质实质）：）：把把内部内部问题转化为问题转化为边界边界问题来处理问题来处理. .高斯高斯公式：公式：一、高斯公式一、高斯公式 定定理理1 1 设设空空间间闭闭区区域域ΩΩ是是由由分分片片光光滑滑的的闭闭曲曲面面ΣΣ所所围围成成，，函函数数P P( (x x，，y y，，z z) )、、Q Q( (x x，，y y，，z z) )、、R R( (x x，，y y，，z z) )在在ΩΩ上具有一阶连续偏导数，则有上具有一阶连续偏导数，则有或或 （（1′1′）） 这里这里ΣΣ是是ΩΩ的整个边界曲面的外侧，的整个边界曲面的外侧，coscosαα、、coscosββ、、coscosγγ是是ΣΣ上点上点( (x x，，y y，，z z) )处的法向量的方向余弦处的法向量的方向余弦公式（公式（1 1）或（）或（1′1′）叫做）叫做高斯公式高斯公式。

下面先证:证明证明称为XY -型区域 , 则定理1 设所以若  不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面将其分割成若干个 XY–型区域,故上式仍成立 .正反两侧面积分正负抵消,在辅助面类似可证 三式相加, 即得所证 Gauss 公式：定理1 （（2 2）关于）关于ΩΩ的边界曲面的正向：的边界曲面的正向： ΩΩ是单连通区域时取外侧；是单连通区域时取外侧；ΩΩ是复连通区域时是复连通区域时外层取外侧，内层取内侧外层取外侧，内层取内侧 关于高斯公式的说明关于高斯公式的说明 : :（（1 1）如穿过）如穿过ΩΩ内部且平行于坐标轴的直线与内部且平行于坐标轴的直线与ΣΣ的的交点多于两个时，采用分块的方法交点多于两个时，采用分块的方法…… （（3 3）高斯公式成立的条件：）高斯公式成立的条件： P P、、Q Q、、R R在在ΩΩ上一阶偏上一阶偏导连续 （（4 4））ΣΣ不闭合时，采取不闭合时，采取““补面补面””的方法：的方法：ΣΣ+ +ΣΣ1 1 封封闭，所围区域闭，所围区域ΩΩ 及易于计算及易于计算 根据根据Gauss 公式，用三重积分公式，用三重积分来计算曲面积分是比较方便的，来计算曲面积分是比较方便的，但但G Gauss 公式同时也说明，可用曲公式同时也说明，可用曲面积分来计算三重积分面积分来计算三重积分Gauss公式的实质公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系曲面上的曲面积分之间的关系. .(5)由两类曲面积分之间的关系知高斯由两类曲面积分之间的关系知高斯公式的另一种形式：公式的另一种形式：例例1其中 为柱面闭域  的整个边界曲面的外侧. 解解利用Gauss 公式, 得原式 =及平面 z = 0 , z = 3 所围空间思考思考:若  为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算? 利用质心公式, 注意用Gauss 公式计算 这里若  改为内侧, 结果有何变化? 例例2其中 为锥面解解取上侧介于z = 0及 z = h 之间部分的下侧, , ,  为法向量的方向角.所围区域为 ,则 利用Gauss 公式计算积分作辅助面利用质心公式, 注意思考思考:提示提示:介于平面 z= 0 及 z = 2之间部分的下侧. 先二后一计算曲面积分作取上侧的辅助面例例3 设 为曲面取上侧, 求 解解 作取下侧的辅助面用柱坐标用柱坐标用极坐标用极坐标拉普拉斯算子拉普拉斯算子【证】【证】利用高斯公式，即得利用高斯公式，即得PQR*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件1. 连通区域的类型连通区域的类型 设有空间区域 G ,• 若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G, 则称 G 为空间二维单连通域 ; • 若 G 内任一闭曲线总可以张一片全属于 G 的曲面, 则称 G 为例如例如, 球面所围区域 环面所围区域 立方体中挖去一个小球所成的区域 不是二维单连通区域 .既是一维也是二维单连通区域 ;是二维但不是一维单连通区域 ;是一维但空间一维单连通域 .2. 闭曲面积分为零的充要条件闭曲面积分为零的充要条件定理定理2 在空间二维单 连通域G内具有连续一阶偏导数, 为G内任一闭曲面, 则①证证根据高斯公式可知②是①的充分条件. 的充要条件是: ②“必要性”. 用反证法. 已知①成立,“充分性”.因P, Q, R 在G内具有连续一阶偏导数 , 则存在邻域 则由高斯公式得 与①矛盾, 故假设不真. 因此条件②是必要的. 取外侧,*三、通量与散度三、通量与散度引例引例. 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 速度场为理意义可知, 设 为场中任一有向曲面, 单位时间通过曲面 的流量为 则由对坐标的曲面积分的物 由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为若 为方向向外的闭曲面, 当 > 0 时, 说明流入 的流体质量少于 当 < 0 时, 说明流入 的流体质量多于流出的, 则单位时间通过 的流量为 当 = 0 时, 说明流入与流出 的流体质量相等 . 流出的, 表明 内有泉; 表明 内有洞 ;根据高斯公式, 流量也可表为方向向外的任一闭曲面 , 记 所围域为 , 设 是包含点 M 且为了揭示场内任意点M 处的特性, 在式两边同除以 的体积 V, 并令 以任意方式缩小至点 M 则有此式反应了流速场在点M 的特点: 其值为正,负或 0, 分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化. 定义定义 设有向量场其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数,  是场内的一片有向 则称 曲面, 其单位法向量 n, 为向量场 A 通过在场中点 M(x, y, z) 处 记作显然有向曲面  的通量(流量) .称为向量场 A 在点 M 的 散度.高斯公式可写成高斯公式可写成表明该点处有正源, 表明该点处有负源, 表明该点处无源, 散度绝对值的大小反映了源的强度.若向量场 A 处处有 例如, 匀速场 故它是无源场.说明说明: 由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且散度意义 , 则称 A 为 无源场. 例例5 5解解穿过曲面 流向上侧的通量,其中 为柱面被平面截下的有限部分.则 上侧的法向量为在 上故所求通量为求向量场记。