高二物理竞赛薛定谔方程课件.pptx

寻寻找波函数满满足的动动力学方程 ( x , t )薛定谔谔方程一.自由粒子薛定谔谔方程E ( x , t ) ( x,t ) t i xi ( p x E t )一维维自由粒子波函数 ( x, t ) 0 e 微分,得到方程p2 m2xE 得一维维自由粒子的薛定谔谔方程(x, t) 22i t (x, t) 2 m x2 tE i xpx ix ( x ,t ) i p ( x , t )x能量算符动动量算符 2(x, t)x2 U (x, t)(x, t)2i t (x, t) 2m推广到势势场场U(x,t)中的粒子三维维情况：222mi(r,t) t(r,t) U (r ,t) (r,t) pU2 m2xE 薛定谔谔方程为为：2222xyk z2x y2 z22E U (r ) 2m2-能量算符- E i tp i(i j ) i -动动量算符-拉普拉斯算符22i t 2m U(r )2f (t)dt i df (t) 12(r) 2m (r ) U (r )(r ) E const设设作用在粒子上的力场场不随时间时间 改变变，即势势能 U (r ) 中不显显含 时间时间 t，将其代入方程：波函数分离变变量：( r , t ) ( r ) f (t )二、定态态薛定谔谔方程能量不随时间变时间变 化的状态态称为为定态态。

dtdf (t) Ef (t)i i Etf (t) Ce解出：22m U (r )(r ) E(r )2E为为能量 i Et (r, t) (r)e2Et (r) 2 (r, t) 2 (r)e i- 定态态薛定谔谔方程2f (t)dt i df (t) 12(r) 2m (r ) U (r )(r ) E const与时间时间 无关的薛定谔谔方程-能量本征值值方程22m U (r )(r ) E(r )2- 定态态薛定谔谔方程22mH U (r )2H E 量子力学哈密顿顿算符：(r ) 能量算符本征函数E能量算符本征值值 经典力学哈密顿函数：以动量和坐标表示的能量式子p22mH U (r )1定态态中E不随时间变时间变 化，粒子有确定的能量2定态态中粒子的几率密度不随时间变时间变 化3.自然条件：单值单值 、有限和连续连续22m U (r )(r ) E(r )2 i Et (r,t) (r)e定态态波函数:- 定态态薛定谔谔方程2Et (r) 2 (r, t) 2 (r)e i几率密度:在量子力学中，力学量都是用算符表 示的，要求某个力学量的量子力学可 能取值，只要列出该力学量的本征值 方程，求解本征值与本征函数即可。

1933年诺贝尔物理学奖授予埃尔文薛定谔（Erwin Schrdinger）和保罗阿德里安莫里斯狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac），“因为发现了原子理论的新的生产形式”埃尔文薛定谔狄拉克解：由于粒子做一维维运动动，所以有 2 d 2dx2由于势势能 U(x) 中不显显含时间时间 ，i Et (x,t) (x)e方程的完整解为为U (x) (x) E(x)一维维定态态薛定谔谔方程为为2d 2(x) 2mdx20 xU(x)=0a故用定态态薛定谔谔方程求解2 a b 0y ay by 0二阶阶常系数齐齐次线线性方程的解特征根的情况通解的表达式实实根 r1 r2实实根 r1 r2复根 r1,2 iy C1er1 x C2er2 xy (C1 C2 x)er1 xy ex (C1 cos x C 2 sin x)1方程的通解x 0, x aU x 0, x a(1)所以波函数为零，即 (x) 0粒子不可能跑到阱外去，0 x a Ed 22m dx22(2)时，U 0，方程为 22dxd 22mE22mEdx2d 2 K 2 0令 K 二阶齐 次微分方程，它的通解为 (x) Asin Kx B cos Kx 式中A、B为两常数。

U (x) (x) E(x) d(x) 222mdx20 xU(x)=0a2常数的确定及能量量子化根据波函数的标标准条件，波函数应连续应连续 ，x 0(0) Bcos0 0 x a (a) A sin Ka 0A 0sin Ka 0Ka nn 1,2,3( n 0 ？)a (x) Asin nx当n 0 时， (x) 0表明几率处处处处 恒为为0，即不存在粒子，这这是不可能的B 00 ( x) A sin Kx B cos KxK2 2mE2因为为22 nn 1,2,3,2maEn 2 2结论结论：(1)能量本征值值K n , n 1,2,3,a基态态能量： E1 2ma2Emin本征能量值值，n称为为量子数结结果说说明粒子被束缚缚在势势阱中，能量只能取一系列分立值值，即 它的能量是量子化的。