数学北师大版八年级上册三角形内角和定理（2）.ppt

关注三角形的外角,三角形外角的定义： 三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为三角形的外角 .,如图： ∠1是△ABC的∠ABC的外角，它是由AC边与CB边的反向延长线所组成的如图所示的五个角中:判断哪个是△ ABC的外角.,∠1( ) 2.∠2( ) 3. ∠3( ) 4. ∠4( ) 5. ∠5( ),是,不是,是,不是,是,证明：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．,证明：∵ ∠4 +∠2+ ∠3=180° （三角形内角和定理） 即∠2+ ∠3= 180°-∠4 又∵ ∠1+ ∠4= 180°(平角的定义) 即∠1 = 180°-∠4 ∴ ∠ 1= ∠2+ ∠3 (等量代换),已知：如图，∠1是△ABC的一个外角. 求证： ∠1= ∠2+ ∠3,证明：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．,证明: ∵ ∠1 =∠2+ ∠3 （三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角和） ∴ ∠1 ∠2, ∠1 ∠3 (和大于部分),三角形内角和定理的推论: 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.,推论：,在这里,我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理.像这样,由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的推论.,推论可以当作定理使用.,,如图1，△ABC中，∠ACD=115°，∠B=55°, 则∠A= ____ , ∠ACB=________。

2.如图2， ∠ACD=155 °，∠B=35 ° ，则∠A= ______ 60º,65º,120º,例2 已知:如图，在△ABC中, AD平分外角∠EAC,∠B=∠C. 求证：AD∥BC.,证明：∵∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它 不相邻的两个内角的和) ∠B=∠C (已知) ∴∠C= ∠EAC(等式性质),∴∠DAC=∠C(等量代换) ∴ a∥b(内错角相等,两直线平行).,∵ AD平分∠EAC(已知) ∴∠DAC= ∠EAC(角平分线的定义),·,·,例题是运用了定理“内错角相等,两直线平行”去证明.,还有其它方法吗？,·,·,例2 已知:如图在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B=∠C. 求证：AD∥BC.,∵ AD平分∠EAC(已知) ∴∠DAE= ∠EAC(角平分线的定义),∴∠DAE=∠B(等量代换) ∴ a∥b(同位角相等,两直线平行),这里是运用了公理“同位角相等，两直线平行”去证明.,证明：∵∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它 不相邻的两个内角的和) ∠B=∠C (已知) ∴∠B= ∠EAC(等式性质),3. 如图3， △ABC中， ∠1 ____∠2, (填” ”或””或”“) ∠CBF= ∠4+ ________。

∠ C,∠ 3,例3 已知：如图，P是△ABC内一点，连接PB，PC 求证：∠BPC∠A,证明：延长BP，交AC于点D.,,,D,∵∠BPC是△PDC的一个外角（外角的定义） ∴∠BPC∠PDC（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）,∵∠PDC是△ABD的一个外角（外角的定义） ∴∠PDC∠A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）,∴∠BPC∠A(不等式的性质:如果ab,bc,则a c),小结,三角形内角和定理 ： 推论1： 推论2： 推论3：,三角形三个内角的和等于1800.,三角形的一个外角等于和它不相邻 的两个内角的和.,三角形的一个外角大于任何一个和 它不相邻的内角.,直角三角形的两锐角互余.,作业： P183 习题7.7 第1、2、3题,1、已知：如图所示,在△ABC中,外角∠DCA=100°,∠A=45°. 求：∠B和∠ACB的大小.,解：∵ ∠DCA是△ABC的 一个外角(已知) ∠DCA=100°(已知)，∠A=45°(已知) ∴ ∠B=∠DCA-∠A=100°-45°=55°(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和) 又∵∠DCA+∠BCA=180°(平角的定义) ∴ ∠ACB=80°(等式的性质),随堂练习,100°,45°,已知：国旗上的正五角星形如图所示. 求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.,解：∵∠1是△BDF的一个 外角(外角定义),∴∠1=∠B+∠D(三角形的一个 外角等于和它不相邻的两个 内角的和),又∵∠2是△EHC的一个外角(外角定义) ∴∠2=∠C+∠E(三角形的一个外角等于 和它不相邻的两个内角的和) 又∵∠A+∠1+∠2=180°(三角形内角和定理) ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =180°(等式性质),例2 已知：如图,在△ABC中, ∠1是它的一个外角, E为边 AC上一点,延长BC到D,连接DE. 求证: ∠1∠2.,证明：∵ ∠1是△ABC的 一个外角 (已知) ∴ ∠1∠3 (三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角) ∵∠3是△CDE的一个外角 (外角的定义) ∴∠3∠2 (三角形的一个外角大于任何一个和 它不相邻的内角) ∴ ∠1∠2 (不等式的性质:如果ab,bc,则a c),A,D,。