2021-2022学年广东省江门市新会冈州中学高三数学理联考试题含解析.docx
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2021-2022学年广东省江门市新会冈州中学高三数学理联考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. “x＞1”是“x2＞x”的（ ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由题意解不等式x2＞x，提出公因式x，根据因式分解法，解出不等式的解，再判断是不是必要条件，判断此解和x＞1的关系．【解答】解：由x2＞x，可得x＞1或x＜0，∴x＞1，可得到x2＞x，但x2＞x得不到x＞1．故选A．【点评】注意必要条件、充分条件与充要条件的判断．2. 若集合，，则集合A∪B=（ ）A.(－2,3] B. (－4,3] C. [－3,2) D. [－3,4)参考答案：D【分析】求解一元二次不等式，解得集合，再求并集即可.【详解】对集合：，解得；对集合：，解得，故可得.故选：D.【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，以及集合并运算，属基础题.3. 阅读右面的程序框图，则输出的= A．14 B．30 C．20 D．55参考答案：B第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，，此时满足条件，输出，选B.4. 设集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|x2≤1}，则A∩B=( )A．（﹣1，1] B．（﹣1，1） C．[﹣1，2） D．（﹣1，2）参考答案：A【考点】交集及其运算． 【专题】计算题．【分析】求解一元二次不等式化简集合B，然后直接利用交集运算进行求解．【解答】解：由A={x|﹣1＜x＜2}，又B={x|x2≤1}={x|﹣1≤x≤1}，所以A∩B={x|﹣1＜x＜2}∩{x|﹣1≤x≤1}=（﹣1，1]．故选A．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础的运算题．5. 设纯虚数z满足 （其中i为虚数单位），则实数a等于 (A) 1 (B) －1 (C) 2 (D) －2参考答案：A略6. 设椭圆的左焦点为F，直线与椭圆C交于A，B两点，则的值是（ ）A. 2 B. C. 4 D. 参考答案：C分析：设椭圆的右焦点为连接则四边形是平行四边形，根据椭圆的定义得到=2a得解.详解：设椭圆的右焦点为连接因为OA=OB,OF=O,所以四边形是平行四边形.所以,所以=|AF|+=2a=4,故答案为:C点睛：（1）本题主要考查椭圆的几何性质，意在考查学生对椭圆基础知识的掌握能力. (2)解答本题的关键是能观察到对称性，得到四边形是平行四边形，这一点观察到了，后面就迎刃而解了.7. 曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）A.45° B.60° C.120° D.135°参考答案：A略8. 执行如图所示的程序框图，输出的x的值为（ ）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：C【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得x=0，y=5不满足条件=，执行循环体，x=1，y=4不满足条件=，执行循环体，x=2，y=2满足条件=，退出循环，输出x的值为2．故选：C． 9. 设α是第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且，则tanα=( )A． B． C． D．参考答案：D【考点】同角三角函数间的基本关系；任意角的三角函数的定义． 【专题】三角函数的求值．【分析】根据任意角α的余弦的定义和已知条件可得x的值，再由tanα的定义求得结果．【解答】解：由题意可得x＜0，r=|OP|=，故 cosα==．再由 可得 x=﹣3，∴tanα==﹣，故选D．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．10. 已知各项均为正数的等比数列{an}的前3项和为7，且，则（ ）A. 1 B. 2 C. 4 D. 8参考答案：B【分析】设等比数列的首项，公比为，根据已知条件列方程组，求和.【详解】设等比数列的首项，公比为， ，得 ，解得：（舍）或 ， ， ， ，解得： ，.故选：B【点睛】本题考查等比数列基本量的求解，意在考查公式的运用和计算能力，属于基础题型.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知复数z=，其中i为虚数单位，则复数z的模是 ．参考答案：【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式求解．【解答】解：∵z==，∴．故答案为：． 12. 设R上的函数f（x）满足f（x+2）=3f（x），当0≤x≤2时，f（x）=x2﹣2x，则当x∈[﹣4，﹣2]时，f（x）的最小值是 ．参考答案：﹣【考点】二次函数的性质；函数的值域．【分析】定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=3f（x），可得出f（x﹣2）=f（x），由此关系求出求出x∈[﹣4，﹣2]上的解析式，再配方求其最值．【解答】解：由题意定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=3f（x），任取x∈[﹣4，﹣2]，则f（x）=f（x+2）=f（x+4）由于x+4∈[0，2]，当x∈[0，2]时，f（x）=x2﹣2x，故f（x）=f（x+2）=f（x+4）= [（x+4）2﹣2（x+4）]= [x2+6x+8]= [（x+3）2﹣1]，x∈[﹣4，﹣2]当x=﹣3时，f（x）的最小值是﹣．故答案为：﹣．13. 已知函数，则 .参考答案：14. 已知是虚数单位，则＝ 参考答案：15. 已知f（x）=log0.5x，且f（1﹣a）＜f（2a﹣1），则a的取值范围是 ．参考答案：考点： 函数单调性的性质．专题： 函数的性质及应用．分析： 根据函数的单调性得到关于a的不等式组，要注意真数大于零．解答： 解：因为函数y=log0.5x是定义域内的减函数．所以由题意得．解得．故答案为点评： 本题考查了利用对数函数的单调性解不等式的问题，要注意不能忽视定义域．16. （坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为：，直线的极坐标方程为：.则它们相交所得弦长等于 .参考答案：略17. 如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则 参考答案：答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 设函数 （1）若在时有极值，求实数的值和的单调区间; （2）若在定义域上是增函数,求实数的取值范围．参考答案：解：（1）在时有极值，有， 又，有， ……………3分有， 由有，…………………4分的递增区间为 和 ， 递减区间为 ………………7分（2）若在定义域上是增函数,则在时恒成立，……………9分，需时恒成立，化为恒成立，，. ………………12分略19. 已知曲线C的极坐标方程是ρ=1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为．（Ⅰ）写出直线与曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，设曲线C′上任一点为，求的最小值． 参考答案：（1）直线l的参数方程为为参数）．由上式化简成t=2（x﹣1）代入下式得l:x-y+2-=0 根据ρ2=x2+y2 ， 进行化简得C：x2+y2=1（2）∵∴代入C得∴设椭圆的参数方程为参数）则x+2=2cos+2sin=4sin(+)则x+2的最小值为﹣4．20. （本小题满分14分） 如图4，在边长为的菱形 中，，点，分别是边，的中点，．沿将△翻折到△，连接，得到如图5的五棱锥，且.（1）求证：平面；（2）求四棱锥的体积. 参考答案：（1）证明：∵点，分别是边，的中点， ∴∥. …………………………1分 ∵菱形的对角线互相垂直， ∴. …………………………2分 ∴. …………………………3分 ∴，. …………………………4分 ∵平面，平面，， ∴平面. …………………………5分 ∴平面. …………………………6分（2）解：设，连接， ∵， ∴△为等边三角形. …………………………7分 ∴，，，. ……………………8分 在R t△中，， …………………………9分 在△中，， …………………………10分 ∴. …………………………11分 ∵，，平面，平面， ∴平面. …………………………12分 梯形的面积为，………………………13分 ∴四棱锥的体积.………………14分21. （14分）已知函数f（x）=x﹣﹣2lnx，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，证明：f（x2）＜x2﹣1．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的定义域为（0，+∞），函数的导数，令f′（x）=0，①当△≤0，②当△＞0，a＜1时，若a≤0，若a＞0，分别判断导函数的符号，得到函数的单调性．当0＜a＜1时，（2）求出函数f（x）有两个极值点x1，x2，等价于方程x2﹣2x+a=0在（0，+∞），直接推出结果．（3）通过（1），（2），推出0＜a＜1，构造新函数g（t）=t﹣2lnt﹣1，1＜t＜2，利用新函数的单调性证明求解即可．【解答】（本小题满分14分）（1）解：函数的定义域为（0，+∞），，…（1分）令f′（x）=0，得x2﹣2x+a=0，其判别式△=4﹣4a，①当△≤0，即a≥1时，x2﹣2x+a≥0，f′（x）≥0，此时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；…（2分）②当△＞0，即a＜1时，方程x2﹣2x+a=0的两根为，，…（3分）若a≤0，则x1≤0，则x∈（0，x2）时，f′（x）＜0，x∈。
