中考数学二轮复习考点培优专练专题九 以图形变换为背景的四边形问题（解析版）.doc

专题九 以图形变换为背景的四边形问题一、以平移为背景的问题例题1如图，将平行四边形OABC放置在平面直角坐标系内，已知．（1）点C的坐标是（___，__）；（2）若将平行四边形OABC绕点O逆时针旋转得OFDE，DF交OC于点P，交y轴于点F，求的面积；（3）在（2）的情形下，若再将平行四边形OFDE沿y轴正方向平移，设平移的距离为d，当平移后的平行四边形与平行四边形OABC重叠部分为五边形时，设其面积为S，试求出S关于d的函数关系式，并直接写出d的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）结合平行四边形的性质，即可求得点的坐标；（2）依据旋转、平行四边形的性质可得，结合三角函数可求得，，又，即可求得的面积；（3）由题可得平移的图形与平行四边形重叠部分的面积为五边形时，即；由图可得当恰好过点时，即；重叠部分五边形面积为：；【详解】（1）由平行四边形的性质，可知：，又点与点的纵坐标相同；∴点的坐标；（2）由旋转的性质，可得：，∴，∴，由，∴ ；∴ ；（3）由题可得平移的图形与平行四边形重叠部分的面积为五边形时，即；由图可得当恰好过点时，即；∴ 沿轴平移的范围：；如图可得：重叠部分五边形面积为：；                                                当时，；∴ ；∴ ；所以重叠五边形面积为：；【点睛】本题主要考查平行四边形、旋转性质，关键在利用旋转进行角度关系求解进行三角形函数的应用，特别是针对面积利用三角函数关系，求解属于灵活应用的难点；练习题1．将图1中的矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到图2中的△A′BC′．（1）在图2中，除△ADC与△C′BA′全等外，请写出其他2组全等三角形；①　 　；②　 　；（2）请选择（1）中的一组全等三角形加以证明．【答案】（1）△AA′E≌△C′CF；△A′DF≌△CBE；（2）见解析.【解析】【分析】（1）依据图形即可得到2组全等三角形：①△AA′E≌△C′CF；②△A′DF≌△CBE；（2）依据平移的性质以及矩形的性质，即可得到判定全等三角形的条件．【详解】解：（1）由图可得，①△AA′E≌△C′CF；②△A′DF≌△CBE；故答案为△AA′E≌△C′CF；△A′DF≌△CBE；（2）选△AA′E≌△C′CF，证明如下：由平移性质，得AA′＝C′C，由矩形性质，得∠A＝∠C′，∠AA′E＝∠C′CF＝90°，∴△AA′E≌△C′CF（ASA）．【点睛】本题考查全等三角形的判定以及矩形的性质的运用，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了平移的性质．2．如图，将边长为 4 的正方形 ABCD 沿其对角线 AC 剪开，再把△ABC沿着 AD 方向平移，得到 △A¢B¢C¢ ．（1）当两个三角形重叠部分的面积为 3 时，求移动的距离 AA¢ ；（2）当移动的距离 AA¢ 是何值时，重叠部分是菱形．【答案】（1）AA¢ =1或3；（2）AA¢ =时，重叠部分是菱形．【解析】【分析】（1）根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，设AA′=x，AC与A′B′相交于点E，则A′D=4－x，△AA′E是等腰直角三角形，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解；（2）设A¢C¢与CD交于点F，当四边形A′ECF是菱形时，有A′E=A′F，设AA′=x，则A′E=x，A′D=4－x，再由A′F=A′D，可得方程，解之即得结果.【详解】（1）设AA′=x，AC与A′B′相交于点E，如图，∵△ACD是正方形ABCD剪开得到的，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠A=45°，∴△AA′E是等腰直角三角形，∴A′E=AA′=x，A′D=AD－AA′=4－x，∵阴影部分面积为3，∴x(4－x)=3，整理得，x2－4x+3=0，解得x1=1，x2=3，即移动的距离AA′=1或3.（2）设A¢C¢与CD交于点F，当四边形A′ECF是菱形时，A′E=A′F，设AA′=x，则A′E=CF=x，A′D=DF=4－x，∵△A′DF是等腰直角三角形，∴A′F=A′D，即，解得，即当移动的距离为时，重叠部分是菱形.【点睛】本题考查了平移的性质、等腰直角三角形的性质和判定、正方形和菱形的性质及一元二次方程的解法等知识，解决本题的关键是抓住平移后图形的特点，利用方程思想解题．3．如图1，在平面直角坐标系中，正方形的面积等于4，长方形的面积等于8，其中点、在轴上，点在轴上． （1）请直接写出点，点，点的坐标；（2）如图2，将正方形沿轴向右平移，移动后得到正方形，设移动后的正方形长方形重叠部分（图中阴影部分）的面积为；①当时，______；当时，______；当时，______；②当时，请直接写出的值．【答案】（1），，；（2）①2，4，2；②或．【解析】【分析】（1）由正方形面积求出边长再求出A、B点坐标，又由长方形面积求出长再求出D点坐标．（2）①AA′=1 时，面积为图2阴影部分；AA′=3 时，面积为正方形面积；AA′=5时正方形一半在长方形内，一半在长方形外．②S=1时注意有两种情况：正方形刚进入长方形的时候和正方形快要走出长方形的时候．【详解】解：（1）正方形面积为4∴AB=AO= 2∴，∴，长方形面积为8，AO=2∴AD=8÷2=4∴（2）①AA′=1 时，面积为图2阴影部分，S=AA′×AO=1×2=2AA′=3 时，面积如下图，S=AB′×AO=2×2=4AA′=5时，面积如下图，S=B'D×BC=1×2=2②正方形刚进入长方形时，可参照图2，阴影部分是AA'O'O，该部分面积=AA'×AO=AA'×2=1∴AA'=1÷2=正方形快要走出长方形时，可参照下图，阴影部分是B'DEC，该部分面积=B'D×B'C=B'D×2=1∴B'D=1÷2=∴A'D=2-= ∴AA'=4+= 故答案为AA′=或AA′=【点睛】本题考查图形的平移和坐标的知识，准确识图，结合图形灵活运用相关知识是解题的关键．4．问题背景在综合实践课上，同学们以图形的平移与旋转为主题开展数学活动,如图（1），先将一张等边三角形纸片对折后剪开，得到两个互相重合的△ABD和△EFD，点E与点A重合，点B与点F重合，然后将△EFD绕点D顺时针旋转，使点F落在边AB上，如图（2），连接EC．操作发现（1）判断四边形BFEC的形状，并说明理由；实践探究（2）聪聪提出疑问：若等边三角形的边长为8，能否将图（2)中的△EFD沿BC所在的直线平移a个单位长度（规定沿射线BC方向为正），得到△，连接，，使得得到的四边形为菱形，请你帮聪聪解决这个问题，若能，请求出a的值；若不能，请说明理由。

3）老师提出问题：请参照聪聪的思路，若等边三角形的边长为8，将图（2）中的△EFD在平面内进行一次平移，得到△，画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的一个结论，不必证明．【答案】（1）四边形BFEC为平行四边形，理由见解析；（2）能， 或；（3）作图见解析，结论为：四边形为矩形．【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质及旋转的性质求得△BFD为等边三角形，从而求得EF∥BC且EF=BC，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判断；（2）分三角形沿射线BC和射线CB方向平移两种情况，结合菱形的性质及勾股定理求得CG的长度，从而求解；（3）在（1）问的基础上，利用平移及等边三角形的性质构造矩形作图，从而求解．【详解】（1）四边形BFEC为平行四边形．理由如下：∵△ABC为等边三角形∴∠ABD=60°，AB=BC由题意，知FD=BD ∴△BFD为等边三角形 ∴∠FDB=60°∵∠EFD=60° ∴EF∥BC ∵EF=AB=BC∴四边形BEFC为平行四边形．（2）在Rt△ABD中，∠ABD=60°，BD=DC=4∴AD=4当△DEF沿射线BC方向平移时，过点作G垂直BC交BC的延长线于点G∵∥BC，=30°∴=30°在Rt△中，=4∴=2∴=6∵四边形为菱形∴=8在Rt△中，由勾股定理得CG=∴DG=DC+CG=4+2∴=DG-=2-2 当△EDF沿射线CB方向平移时，同理可得=2+2，即a=-2-2∴a=-2-2或2-2 （3）将图（2）中的△EFD在平面内沿CB方向平移2个单位长度，得到△此时 ∴四边形为矩形【点睛】此题主要考查了几何变换综合以及等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及矩形的判定方法等知识，正确利用平移及等边三角形的性质得出DD′的长是解题关键．5．如图（1），在平面直角坐标系中，已知点，，且m，n满足，将线段向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段，其中点C与点A对应，点D与点B对应，连接，．（1）求点A、B、C、D的坐标；（2）在x轴上是否存在点P，使三角形的面积等于平行四边形的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2），点E在y轴的负半轴上，且．求证：．【答案】（1），，，；（2）存在，或；（3）见解析【解析】【分析】（1）由非负数的性质得出，且，求出，，得出，，由平移的性质得，；（2）设，由（1）由（1）得：，，∴，进而可得关于x的方程，即可得出答案；（3）由平移的性质得，由平行线的性质得出，证出，即可得出结论．【详解】（1）解：∵m，n满足，∴，且，∴，，∴，，由平移的性质得：，；（2）解：存在，理由如下：设，由（1）得：，，∴，∵，∴，解得：或，∴点P的坐标为或；（3）证明：由平移的性质得：，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了平移的性质、坐标与图形性质、平行四边形的面积、三角形面积等知识；熟练掌握平移的性质是解题的关键．6．如图①，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，现同时将点分别向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，分别得到点的对应点，连接问题提出:（1）请直接写出点的坐标 ， ，及四边形的面积 ﹔拓展延伸:（2）如图①，在坐标轴上是否存在一点，使，若存在，请求出点的坐标，若不存在，试说明理由.迁移应用:（3）如图②，点是线段上的个动点，连接，当点在上移动时(不与重合）给出下列结论：①的值不变，②的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值.【答案】（1）；（2）存在，M（0,6）或（0，-2）或（-3,0）或（1,0）；（3）结论①正确，【解析】【分析】（1）根据点的平移规律易得点C，D的坐标，可证四边形ABDC是平行四边形，由平行四边形的面积公式可求解；（2）先计算出S△MAC=2，然后分M在x轴或y轴上两种情况，根据三角形面积公式列方程求解，从而确定M的坐标；（3）作PE∥AB，根据平行线的性质得CD∥PE∥AB，则∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，易得∠DCP+∠BOP=∠EPC+∠EPO=∠CPO．【详解】解：（1）由题意可知：C点坐标为，D点。