【八年级上册数学】【乘法公式】重难点题型.docx

八上数学【乘法公式】重难点题型【知识点1 乘法公式】平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差这个公式叫做平方差公式完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍这两个公式叫做完全平方公式题型1 乘法公式的基本运算】【例1】（锦江区校级开学）下列运算正确的是（　　）A．（x+y）（﹣y+x）＝x2﹣y2 B．（﹣x+y）2＝﹣x2+2xy+y2 C．（﹣x﹣y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2 D．（x+y）（y﹣x）＝x2﹣y2【变式1-1】（龙岗区校级期中）下列关系式中，正确的是（　　）A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．（a+b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．（﹣a﹣b）2＝a2+2ab+b2【变式1-2】（舞钢市期末）下列乘法运算中，不能用平方差公式计算的是（　　）A．（m+1）（﹣1+m） B．（2a+3b﹣5c）（2a﹣3b﹣5c） C．2021×2019 D．（x﹣3y）（3y﹣x）【变式1-3】（龙岗区校级月考）下列各式，能用平方差公式计算的是（　　）A．（2a+b）（2b﹣a） B．（﹣a﹣2b）（﹣a+2b） C．（2a﹣3b）（﹣2a+3b） D．（13a+1）（−13a−1）【题型2 完全平方公式（求系数的值）】【例2】（仪征市期中）若多项式4x2﹣mx+9是完全平方式，则m的值是（　　）A．6 B．12 C．±12 D．±6【变式2-1】（南山区校级期中）如果x2+8x+m2是一个完全平方式，那么m的值是（　　）A．4 B．16 C．±4 D．±16【变式2-2】（新城区校级期末）已知：（x﹣my）2＝x2+kxy+4y2（m、k为常数），则常数k的值为 　 　．【变式2-3】（邗江区期中）若x2﹣2（m﹣1）x+4是一个完全平方式，则m＝　 　．【题型3 完全平方公式的几何背景】【例3】（兴宾区期末）有A，B两个正方形，按图甲所示将B放在A的内部，按图乙所示将A，B并列放置构造新的正方形．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和16，则正方形A，B的面积之和为（　　）A．13 B．19 C．11 D．21【变式3-1】（芝罘区期末）用4块完全相同的长方形拼成如图所示的正方形，用不同的方法计算图中阴影部分的面积，可得到一个关于a，b的等式为（　　）A．4a（a+b）＝4a2+4ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab【变式3-2】（岚山区期末）现有四个大小相同的长方形，可拼成如图1和图2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为4的小正方形，则每个小长方形的面积是（　　）A．3 B．6 C．12 D．18【变式3-3】（深圳期中）有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B，如图丙摆放，则阴影部分的面积为（　　）A．28 B．29 C．30 D．31【题型4 平方差公式的几何背景】【例4】（庐江县开学）如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两个图形的面积，可以验证的等式是（　　）A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【变式4-1】（博山区期末）如图1，将一个大长方形沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示图形，正好是边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分）．这两个图能解释下列哪个等式（　　）A．（x﹣1）2＝x2﹣2x+1 B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 C．（x+1）2＝x2+2x+1 D．x（x﹣1）＝x2﹣x【变式4-2】（洪江市期末）如图（1），从边长为a的大正方形的四个角中挖去四个边长为b的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图（2），通过计算阴影部分的面积可以得到（　　）A．（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+b2 B．（a+2b）2＝a2+4ab+b2 C．（a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣4b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2【变式4-3】（阳谷县期末）如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，再沿图中的虚线剪开，然后按图2所示进行拼接，请根据图形的面积写出一个含字母a，b的等式　 　．【题型5 乘法公式（求代数式的值）】【例5（邗江区校级期末）若xy＝﹣1，且x﹣y＝3．（1）求（x﹣2）（y+2）的值；（2）求x2﹣xy+y2的值．【变式5-1】（宁波模拟）已知（2x+y）2＝58，（2x﹣y）2＝18，则xy＝　 　．【变式5-2】（驿城区期末）已知a﹣b＝9，ab＝﹣14，则a2+b2的值为 　 　．【变式5-3】（聊城期末）已知：a﹣b＝6，a2+b2＝20，求下列代数式的值：（1）ab；（2）﹣a3b﹣2a2b2﹣ab3．【题型6 乘法公式的综合运算】【例6】（东湖区期末）实践与探索如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．（1）上述操作能验证的等式是 　 　；（请选择正确的一个）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．a2+ab＝a（a+b）（2）请应用这个公式完成下列各题：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝　 　．②计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．【变式6-1】（滦南县二模）【阅读理解】我们知道：（a+b）2＝a2+2ab+b2①，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2②，①﹣②得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，所以ab=(a+b)24−(a−b)24=(a+b2)2−(a−b2)2．利用上面乘法公式的变形有时能进行简化计算．例：51×49=(51+492)2−(51−492)2=502−12=2500﹣1＝2499．【发现运用】根据阅读解答问题（1）填空：102×98＝　（102+982）　2﹣　（102−982）　2；（2）请运用你发现的规律计算：19.2×20.8．【变式6-2】（平顶山期末）我们将（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形，如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，ab=(a+b)2−(a2+b2)2等．根据以上变形解决下列问题：（1）已知a2+b2＝8，（a+b）2＝48，则ab＝　 　．（2）已知，若x满足（25﹣x）（x﹣10）＝﹣15，求（25﹣x）2+（x﹣10）2的值．（3）如图，四边形ABED是梯形，DA⊥AB，EB⊥AB，AD＝AC，BE＝BC，连接CD，CE，若AC•BC＝10，则图中阴影部分的面积为 　 　．【变式6-3】（滨江区校级期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：方法1：　 　；方法2：　 　；（2）观察图2，请你写出代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系 　 　；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a+b＝5，（a﹣b）2＝13，求ab的值；②已知（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝5，求（2021﹣a）（a﹣2020）的值．乘法公式-重难点题型【答案版】【题型1 乘法公式的基本运算】【例1】（锦江区校级开学）下列运算正确的是（　　）A．（x+y）（﹣y+x）＝x2﹣y2 B．（﹣x+y）2＝﹣x2+2xy+y2 C．（﹣x﹣y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2 D．（x+y）（y﹣x）＝x2﹣y2【分析】根据完全平方公式和平方差公式逐个判断即可．【解答】解：A、结果是x2﹣y2，原计算正确，故本选项符合题意；B、结果是x2﹣2xy+y2，原计算错误，故本选项不符合题意；C、结果是x2+2xy+y2，原计算错误，故本选项不符合题意；D、结果是y2﹣x2，原计算错误，故本选项不符合题意；故选：A．【变式1-1】（龙岗区校级期中）下列关系式中，正确的是（　　）A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．（a+b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．（﹣a﹣b）2＝a2+2ab+b2【分析】根据完全平方公式判断即可．【解答】解：A选项，原式＝a2﹣2ab+b2，故该选项计算错误；B选项，原式＝﹣（a+b）2＝﹣a2﹣2ab﹣b2，故该选项计算错误；C选项，原式＝a2+2ab+b2，故该选项计算错误；D选项，原式＝[﹣（a+b）]2＝（a+b）2＝a2+2ab+b2，故该选项计算正确；故选：D．【变式1-2】（舞钢市期末）下列乘法运算中，不能用平方差公式计算的是（　　）A．（m+1）（﹣1+m） B．（2a+3b﹣5c）（2a﹣3b﹣5c） C．2021×2019 D．（x﹣3y）（3y﹣x）【分析】平方差公式，要求有一项完全相同，另一项互为相反项．根据公式的结构特点解答即可．【解答】解：不能用平方差公式计算的是（x﹣3y）（3y﹣x）＝（x﹣3y）×[﹣（x﹣3y）]＝﹣（x﹣3y）2，故选：D．【变式1-3】（龙岗区校级月考）下列各式，能用平方差公式计算的是（　　）A．（2a+b）（2b﹣a） B．（﹣a﹣2b）（﹣a+2b） C．（2a﹣3b）（﹣2a+3b） D．（13a+1）（−13a−1）【分析】只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；【解答】解：A．既没有相同项，也没有相反项，不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；B．原式＝﹣（2b+a）（2b﹣a），符合平方差公式，故本选项符合题意；C．原式＝﹣（2a﹣3b）（2a﹣3b），只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；D．原式＝﹣（13a+1）（13a+1）只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；故选：B．【题型2 完全平方公式（求系数的值）】【例2】（仪征市期中）若多项式4x2﹣mx+9是完全平方式，则m的值是（　　）A．6 B．12 C．±12 D．±6【分析】根据完全平方公式得到4x2﹣mx+9＝（2x﹣3）2或4x2﹣mx+9＝（2x+3）2，即4x2﹣mx+9＝x2﹣12x+9或4x2﹣mx+9＝x2+12x+9，从而得到m的值．【解答】解：∵多项式4x2﹣mx+9是一个完全平方式，∴4x2﹣mx+9＝（2x﹣3）2或4x2﹣mx+9＝（2x+3）2，即4x2﹣mx+9＝x2﹣12x+9或4x2﹣mx+9＝x2+12x+9，∴m＝12或m＝﹣12，故选：C．【变式2-1】（南山区校级期中）如果x2+8x+m2是一个完全平方式，那么m的值。