数学人教版九年级上册几何探究之旋转问题.doc

几何探究之旋转问题【知识或方法点拨】旋转的要素：旋转中心，旋转角，旋转方向旋转问题的本质：只要有共端点的两条等长线段就可以发现旋转，一般以线段带动图形进行旋转，经常伴随全等或相似，从而进行边和角的转化【常见基本结构】（1）如图，△ABC和△ADE都是等边三角形且有公共顶点A，请分别在下图中这五个点间连接两条线，构造一对全等三角形（2）如图，正方形ABCD和正方形CEFG有公共顶点C，请分别在下图中这七个点间连接两条线（正方形对角线除外），构造一对全等三角形 （3）如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形且顶角相等，请分别在下图中这五个点间连接两条线，构造一对全等三角形 【例题】1、阅读下列材料：问题：如图1，在正方形ABCD内有一点P，PA=，PB=，PC=1，求∠BPC的度数．小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A（如图2），然后连结PP′．请你参考小明同学的思路，解决下列问题：(1) 图2中∠BPC的度数为 ；(2) 如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=，PB=4，PC=2，则∠BPC的度数为 ，正六边形ABCDEF的边长为 ． 图1 图2 图3解：（1）135°；（2）120°； ． 2、已知：如图，点P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边向线段AB的同侧作正△APC和正△BPD，AD和BC交于点M. （1）当△APC和△BPD面积之和最小时，直接写出AP : PB的值和∠AMC的度数； （2）将点P段AB上随意固定，再把△BPD按顺时针方向绕点P旋转一个角度α，当α<60°时，旋转过程中，∠AMC的度数是否发生变化？证明你的结论. （3）在第（2）小题给出的旋转过程中，若限定60°<α<120°，∠AMC的大小是否会发生变化？若变化，请写出∠AMC的度数变化范围；若不变化，请写出∠AMC的度数.CAP DBME C M DA P B2⑴ 1，60°【提醒：1是怎么得到的？】 …………………………………………2分 ⑵ 不变化. 证明：如图，点E在AP的延长线上，∠BPE=α<60°.（只要画出了符合题意的图形即可得分） ……………3分 ∵∠BPC=∠CPD+60°, ∠DPA=∠CPD+60°,∴∠BPC=∠DPA.在△BPC和△DPA中，又∵BP=DP，PC=PA， ∴△BPC≌△DPA. …4分 ∴∠BCP=∠DAP. ∴∠AMC=180°-∠MCP-∠PCA-∠MAC= 120°-∠BCP -∠MAC=120°-（∠DAP+∠MAC）-∠PCA=120°-∠PAC= 60°，且与α的大小无关. 6分 ⑶ 不变化，60° ……………………………7分3.如图1，已知：等边△ABC，点D是边BC上一点（点D不与点B、点C重合），求证：BD+DC > AD图1下面的证法供你参考：把绕点A顺时间针旋转得到，连接ED，则有,DC=EB∵AD=AE,∴是等边三角形∴AD=DE在中，BD+EB > DE即：BD+DC>AD实践探索：（1）请你仿照上面的思路，探索解决下面的问题：图3图2如图2，点D是等腰直角三角形△ABC中BC边上的点（点D不与B、C重合），求证：BD+DC>AD（2）如果点D运动到等腰直角三角形△ABC外或内时，BD、DC和AD之间又存在怎样的数量关系？ 直接写出结论.创新应用：（3）已知：如图3，等腰△ABC中， AB=AC，且∠BAC=（为钝角）， D是等腰△ABC外一点，且∠BDC+∠BAC =180º， BD、DC与AD之间存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明.3.（1）证明：把绕点A顺时针旋转得到，连接ED，------1分则有,DC=EB∵AD=AE,∴是等腰直角三角形 ∴DE=AD ------------------2分在中，BD+EB > DE即：BD+DC>AD ------------------- 3分（2）BD+DC≥AD【什么时候取等号？】 ---------4分（3）猜想1：BD+DC〈2AD证明：把绕点A顺时针旋转，得到则有, DC=EB，∠ACD=∠ABE ---------5分∵∠BAC+∠BDC=180 º∴∠ABD+∠ACD=180 º∴∠ABD+∠ABE=180 º即：E、B、D三点共线---------6分∵AD=AE, 在中∵AE+AD>DE 即BD+DC〈2AD ---------------------7分或者猜想2： -------------7分4．问题：如图1， 在Rt△中，，，点是射线CB上任意一点，△ADE是等边三角形，且点D在的内部，连接BE．探究线段BE与DE之间的数量关系．请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.（1） 当点D与点C重合时（如图2），请你补全图形．由的度数为 ，点E落在 ，容易得出BE与DE之间的数量关系为 ；（2） 当点D在如图3的位置时，请你画出图形，研究线段BE与DE之间的数量关系是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．解：（1）完成画图如图2，由的度数　　　　　　为 60°，点E落在 AB的中点处 ，容易得出BE与DE之间的数量关系为 BE=DE ；…………… 3分 （2）完成画图如图3．猜想：． 证明：取AB的中点F，连结EF．∵，，∴，．∴△是等边三角形．∴．　 ① …… 4分∵△ADE是等边三角形，∴，　．　 ② ∴．∴．即．③ … 5分由①②③得 △ACD≌△AFE（SAS）．… 6分∴．∵F是AB的中点，∴EF是AB的垂直平分线．∴BE=AE.7分∵△ADE是等边三角形，∴DE=AE.∴．　…………　8分旋转的几种类型（一）正三角形类型在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转600，使得AB与AC重合。

经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1-b）中的一个ΔP'CP中，此时ΔP'AP也为正三角形例1. 如图：（1-1）：设P是等边ΔABC内的一点，PA=3， PB=4，PC=5，∠APB的度数是_______（2） 正方形类型在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ΔABP绕B点按顺时针方向旋转900，使得BA与BC重合经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（2-1-b）中的ΔCPP'中，此时ΔBPP' 为等腰直角三角形例2  . 如图（2-1）：P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3求此正方形ABCD面积5+2 （∠FEP=90 3>4)（三）等腰直角三角形类型 在等腰直角三角形ΔABC中， ∠C=Rt∠ , P为ΔABC内一点，将ΔAPC绕C点按逆时针方向旋转900，使得AC与BC重合经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个ΔP' CP为等腰直角三角形 例3．如图，在ΔABC中，∠ ACB =900，BC=AC，P为ΔABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。