什么是三角形的外角平分线定理.doc

什么是三角形的外角平分线定理？如何证明？三角形外角平分线定理：三角形两边之比等于其夹角的外角平分线外分对边之比已知：如图8-5甲所示，AD是△ABC中∠BAC的外角∠CAF的平分线求证： BA/AC=BD/DC 思路1：作角平分线AD的平行线，用平行线分线段成比例定理证明证明1：过C作CE∥DA与BA交于E则： BA/AE=BD/DC ∵    ∠DAF=∠CEA；（两线平行，同位角相等）      ∠DAC=∠ECA；（两线平行，内错角相等）       ∠DAF=∠DAC；（已知）∴    ∠CEA=∠ECA；（等量代换）∴      AE=AC；∴     BA/AC=BD/DC 结论1：该证法具有普遍的意义思路2：利用面积法来证明已知：如图8-5乙所示，AD是△ABC内角∠BAC的外角∠CAF的平分线求证： BA/AC=BD/DC. 证明2：过D作DE⊥AC于E，DF∥⊥BA的延长线于F；∵    ∠DAC=∠DAF；（已知）∴      DE=DF；∵     BA/AC=S△BAD/△DAC；（等高时，三角形面积之比等于底之比）       BD/DC=S△BAD/△DAC ；（同高时，三角形面积之比等于底之比）∴     BA/AC=BD/DC结论：使用面积法时，要善于从不同的角度去看三角形的底和高。

在该证法中，我们看△BAD和△DAC的面积时，先以BA和AC作底，而以DF、DE为等高然后以BD和DC为底，而高是同高，图中并没有画出来你学会这种变换角度看问题的方法了吗？什么是三角形的内角平分线定理？如何证明三角形的内角平分线定理？三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比已知：如图8-4甲所示，AD是△ABC的内角∠BAC的平分线求证： BA/AC=BD/DC; 思路1：过C作角平分线AD的平行线，用平行线分线段成比例定理证明证明1：过C作CE∥DA与BA的延长线交于E则： BA/AE=BD/DC; ∵    ∠BAD=∠AEC；（两线平行，同位角相等）      ∠CAD=∠ACE；（两线平行，内错角相等）       ∠BAD=∠CAD；（已知）∴    ∠AEC=∠ACE；（等量代换）∴    AE=AC；   ∴  BA/AC=BD/DC 结论1：该证法具有普遍的意义思路2：利用面积法来证明已知：如图8-4乙所示，AD是△ABC的内角∠BAC的平分线求证： BA/AC=BD/DC 证明2：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F；∵    ∠BAD=∠CAD；（已知）∴      DE=DF；∵  BA/AC=S△BAD/S△DAC； （等高时，三角形面积之比等于底之比）    BD/DC=S△BAD/S△ABCDAC；（同高时，三角形面积之比等于底之比）∴  BA/AC=BD/DC结论2：遇到角平分线，首先要想到往角的两边作平行线，构造等腰三角形或菱形，其次要想到往角的两边作垂线，构造翻转的直角三角形全等，第三，要想到长截短补法，第四，你能想到用该定理解决问题吗？  。