小学六年级奥数棋盘的覆盖.doc

棋盘的覆盖　　同学们会下棋吗？下棋就要有棋盘，下面是中国象棋的棋盘（图1），围棋棋盘（图2）和国际象棋棋盘（图3）　　用某种形状的卡片，按一定要求将棋盘覆盖住，就是棋盘的覆盖问题实际上，这里并不要求一定是某种棋盘，只要是有关覆盖若干行、若干列的方格网的问题，就是棋盘的覆盖问题棋盘的覆盖问题可以分为两类：一是能不能覆盖的问题，二是有多少种不同的覆盖方法问题例1 要不重叠地刚好覆盖住一个正方形，最少要用多少个下图所示的图形因为图形由3个小方格构成，所以要拼成的正方形内所含的小方格数应是3的倍数，从而正方形的边长应是3的倍数经试验，不可能拼成边长为3的正方形所以拼成的正方形的边长最少是6（见右图），需要用题目所示的图形36÷3= 12（个）例2 能否用17个形如 的卡片将下图刚好覆盖在五年级学习“奇偶性”时已经讲过类似问题左上图共有34个小方格，17个1×2的卡片也有34个小方格，好象能覆盖住我们将左上图黑白相间染色，得到右上图细心观察会发现，右上图中黑格有16个，白格有18个，而1×2的卡片每次只能盖住一个黑格与一个白格，所以17个1×2的卡片应当盖住黑、白格各17个，不可能盖住左上图例3 下图的七种图形都是由4个相同的小方格组成的。

现在要用这些图形拼成一个4×7的长方形（可以重复使用某些图形），那么，最多可以用上几种不同的图形先从简单的情形开始考虑显然，只用1种图形是可以的，例如用7个（7）；用2种图形也没问题，例如用1个（7），6个（1）经试验，用6种图形也可以拼成4×7的长方形（见下图）能否将7种图形都用上呢？7个图形共有4×7=28（个）小方格，从小方格的数量看，如果每种图形用1个，那么有可能拼成4×7的长方形但事实上却拼不成为了说明，我们将4×7的长方形黑、白相间染色（见右图），图中黑、白格各有14个在7种图形中，除第（2）种外，每种图形都覆盖黑、白格各2个，共覆盖黑、白格各12个，还剩下黑、白格各2个第（2）种图形只能覆盖3个黑格1个白格或3个白格1个黑格，因此不可能覆盖住另6种图形覆盖后剩下的2个黑格2个白格例4 用1×1，2×2，3×3的小正方形拼成一个11×11的大正方形，最少要用1×1的正方形多少个用3个2×2正方形和2个3×3正方形可以拼成1个5×6的长方形（见左下图）用4个5×6的长方形和1 个 1×1的正方形可以拼成 1个11×11的大正形（见右下图）上面说明用1个1×1的正方形和若干2×2，3×3的正方形可以拼成 11×11的大正方形。

那么，不用1×1的正方形，只用2×2，3×3的正方形可以拼成11×11的正方形吗？　　将11×11的方格网每隔两行染黑一行（见下页右上图）将2×2或3×3的正方形沿格线放置在任何位置，都将覆盖住偶数个白格，所以无论放置多少个2×2或3×3的正方形，覆盖住的白格数量总是偶数个但是，右图中的白格有11×7=77（个），是奇数，矛盾由此得到，不用1×1的正方形不可能拼成11×11的正方形例5 用七个1×2的小长方形覆盖下图，共有多少种不同的覆盖方法如下图所示，盖住A所在的小格只有两种情况，其中左下图中①②两个小长方形只能如图覆盖，其余部分有4种覆盖方法：右下图中①②③三个小长方形只能如图覆盖，其余部分有3种覆盖方法所以，共有7种不同覆盖方法例6 有许多边长为1厘米、2厘米、3厘米的正方形硬纸片用这些硬纸片拼成一个长5厘米、宽3厘米的长方形的纸板，共有多少种不同的拼法？（通过旋转及翻转能相互得到的拼法认为是相同的拼法有一个边长3厘米纸片有如下3种拼法：有两个边长2厘米纸片的有如下4种拼法：有一个边长2厘米及11个边长1厘米纸片的有2种拼法，边长全是1 厘米纸片的有1种拼法共有10种不同的拼法）课后练习1. 在4×4的正方形中，至少要放多少个形如所示的卡片，才能使得在不重叠的情形下，不能再在正方形中多放一个这样的卡片？（要求卡片的边缘与格线重合）或拼成？的卡片覆盖住6×6的棋盘？4.小明有8张连在一起的电影票（如右图），他自己要留下4张连在一起的票，其余的送给别人。

他留下的四张票可以有多少种不同情况？5. 有若干个边长为1、边长为2、边长为3的小正方形，从中选出一些拼成一个边长为4的大正方形，共有多少种不同拼法？（只要选择的各种小正方形的数目相同就算相同的拼法）的卡片覆盖下图，共有多少种不同的覆盖方法？×4的长方形卡片拼成一个6×6的正方形？答案与提示　练习15　　1.3个提示：左下图是一种放法　　2.图（2）　　提示：图（1）的小方格数不是3的倍数；图（3）的小方格数是3的倍数但拼不成；图（2）的拼法见右上图　　3.不能　　提示：右图中黑、白格各18个，每张卡片盖住的黑格数是奇数，9张卡片盖住的黑格数之和仍是奇数，不可能盖住18个黑格　　4.25种　　提示：形如图（A）（B）（C）（D）的依次有3，10，6，6种　　5.6种　　解：用小正方形拼成边长为4的大正方形有6种情形：　　（1）1个3×3，7个1×1；（2）1个2×2，12个1×1；　　（3）2个2×2，8个1×1；（4）3个2×2，4个1×1；　　（5）4个2×2；（6）16个1×1　　6.5种　　提示：盖住A有下图所示的5种方法，其中左下图所示的3种都无法覆盖；下中图中，①放好后，左下方和右上方各有2种放法，共有4种覆盖方法；右下图只有1种覆盖方法。

　　7.不能　　提示：用1，2，3，4对6×6棋盘中的小方格编号（见右图）一个1×4的矩形一次只能覆盖1，2，3，4号各一个，而1，2，3，4号数目不等，分别有9，10，9，8个。