浙教版九年级上册二次函数知识点与题型总结.doc

²浙教版九年级上册二次函数知识点与题型总结第一部分 二次函数基础知识相关概念及定义➢ 二次函数的概念：一般地，形如 y =ax2+bx +c（a ，b ，c是常数，a ¹0 ）的函数，叫做二次函数这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a ¹0 ，而 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．b ，c➢ 二次函数 y =ax2+bx +c 的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式， x 的最高次数是 2．⑵a ，b ，c是常数，a是二次项系数， b 是一次项系数，c是常数项．²二次函数各种形式之间的变换➢二次函数y =ax2+bx +c用配方法可化成：y =a (x-h)2+k的形式，其中➢2b 4 ac -bh =- ，k =.2a 4a二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：① y =ax2 ；② y =ax 2 +k；③y =a (x-h)2；④y =a (x-h)2+k；⑤y =ax 2 +bx +c.²二次函数解析式的表示方法➢一般式： y =ax 2 +bx +c （ a ， b ， c 为常数， a ¹0 ）；➢顶点式： y =a ( x -h )2+k （ a ， h ， k 为常数， a ¹0 ）；➢ 两根式： y =a ( x -x )( x -x ) （ a ¹0 ， x ， x 是抛物线及 x 轴两交点的横坐标）.1 2 1 2➢ 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数 都可以写成交点式，只有抛物线及 x 轴有交点，即 b 2 -4 ac ³0 时，抛物线的解析式 才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.²二次函数 y =ax2+bx +c 图象的画法➢五点绘图法：利用配方法将二次函数 y =ax 2 +bx +c 化为顶点式 y =a ( x -h ) 2 +k，➢确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为：顶点、及y 轴的交点 (0，c)、以及(0，c)关于对称轴对称 的点 (2h，c )、及x 轴的交点 (x，0)，(x，0)（若及x 轴没有交点，则取两组关于1 2对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，及x 轴的交点，及 y 轴的交 点.²二次函数 y =ax2的性质a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上a >0向下a <0二次函数 y =ax ²2(0，0)(0，0)+c 的性质yy轴轴x >0 时，y 随 x 的增大而增大；x <0 时，y 随 x 的增大而减小； x =0 时， y 有最小值 0 ．x >0 时，y 随 x 的增大而减小；x <0 时，y 随 x 的增大而增大； x =0 时， y 有最大值 0 ．a 的符号a >0a <0开口方向向上向下顶点坐标 (0，c)(0，c)对称轴y 轴y 轴性质x >0 时，y 随 x 的增大而增大；x <0 时，y 随 x 的增大而减小； x =0 时， y 有最小值 c ．x >0 时，y 随 x 的增大而减小；x <0 时，y 随 x 的增大而增大； x =0 时， y 有最大值 c ．1 / 5²浙教版九年级上册二次函数知识点与题型总结 二次函数 y =a (x-h)2的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a >0向上(h，0)X=hx >h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 随 x 的增大而减小； x 0a <0开口方向向上向下顶点坐标 (h，k)(h，k)对称轴X=hX=h性质x >h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 随 x 的增大而减小； x 0 时，开口向上；当 a <0 时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同.➢➢对称轴：平行于 y 轴（或重合）的直线记作 x =-b 4 ac -b 2， ）顶点坐标：（ -2a 4ab2a.特别地，y 轴记作直线 x =0 .➢ 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.a相同，那么抛物² 抛物线y =ax2+bx +c中，a, b, c及函数图像的关系➢ 二次项系数 a二次函数 y =ax2+bx +c 中， a 作为二次项系数，显然 a ¹0 ．⑴ 当 a >0 时，抛物线开口向上， a 越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大； ⑵ 当 a <0 时，抛物线开口向下， a 越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大． 总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小．➢ 一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．⑴ 在 a >0 的前提下，b当 b >0 时， - <0 ，即抛物线的对称轴在 y 轴左侧；2ab当 b =0 时， - =0 ，即抛物线的对称轴就是 y 轴；2ab当 b <0 时， - >0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧．2a⑵ 在 a <0 的前提下，结论刚好及上述相反，即b当 b >0 时， - >0 ，即抛物线的对称轴在 y 轴右侧；2a当 b =0 时， -b2a=0 ，即抛物线的对称轴就是 y 轴；2 / 52 ( )浙教版九年级上册二次函数知识点与题型总结当 b <0 时， -b2a<0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧．总结起来，在 a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置．总结：➢ 常数项 c⑴ 当 c >0 时，抛物线及 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线及 y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当 c =0 时，抛物线及 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线及 y 轴交点的纵坐标为 0 ； ⑶ 当 c <0 时，抛物线及 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线及 y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来， c 决定了抛物线及 y 轴交点的位置．总之，只要 a ，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．² 求抛物线的顶点、对称轴的方法➢公 式 法 ： y =ax 2 +bx +c =aæ b ö 4ac -b çx + ÷ +è 2a ø 4 a2， ∴ 顶 点 是➢b 4 ac -b 2 b（- ， ），对称轴是直线 x =- .2a 4a 2 a配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y =a (x-h)2+k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线x =h.²➢ 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的 连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴及抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.用待定系数法求二次函数的解析式➢一般式：y =ax2+bx +c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.➢顶点式：y =a (x-h)2+k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.²➢ 交 点 式 ： 已 知 图 像 及 y =a (x-x )(x-x).1 2直线及抛物线的交点x轴 的 交 点 坐 标 x1、x2， 通 常 选 用 交 点 式 ：➢y轴及抛物线y =ax2+bx +c得交点为(0,c).➢及y轴 平 行 的 直 线x =h及 抛 物 线y =ax 2 +bx +c有 且 只 有 一 个 交 点(h,ah 2 +bh +c).➢抛物线及 x 轴的交点 :二次函数y =ax2+bx +c的图像及x轴的两个交点的横坐标 x 、 x ，是对应一元二次方程 ax 2 +bx +c =0 的两个实数根.抛物线及 x 轴的 1 2交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点Û D>0 Û抛物线及x轴相交；②有一个交点（顶点在x轴上）Û D=0 Û 抛物线及x轴相切；③没有交点Û D<0 Û 抛物线及x轴相离.➢ 平行于x轴的直线及抛物线的交点可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 k ，则横坐标是 ax 2 +bx +c =k ➢ 一次函数 y =kx +n(k¹0)的图像l的两个实数根. 及二次函数 y =ax2+bx +c a ¹0 的图像Gì的交点，由方程组 íîy =kx +ny =ax2 +bx +c的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时Û l及G有两个交点; ②方程组只有一组解时Û l及G只有一个交点；③方程组无解时 Û l 及 G 没有交点.➢抛物线及x。