人教版初中数学教材分析.ppt

数学教育学唐海军唐海军四川文理学院数学与财经系四川文理学院数学与财经系第二篇第二篇 课程篇课程篇2.2 人教版初中数学教材分析人教版初中数学教材分析 教材只能作为教课的依据，要教得教材只能作为教课的依据，要教得好，使学生受益，还要靠老师的善于好，使学生受益，还要靠老师的善于运用 ————叶圣陶叶圣陶学习提要学习提要一、引言一、引言二、人教版初中教材结构分析二、人教版初中教材结构分析三、数学教材的新变化三、数学教材的新变化四、初中数学教材的内容与高中知四、初中数学教材的内容与高中知识的衔接识的衔接五、教材分析对教学的指导五、教材分析对教学的指导•教材是课程的物化形态不同版本的数学教材是课程的物化形态不同版本的数学新教材，都体现了一个共同的特点，那就新教材，都体现了一个共同的特点，那就是教材的弹性增强，给教师自主开发及创是教材的弹性增强，给教师自主开发及创造性地使用教材留下了广阔的空间教材造性地使用教材留下了广阔的空间教材编写的变化要求教师在课程实施的过程中，编写的变化要求教师在课程实施的过程中，要站在课程的角度去重新审视教材，对教要站在课程的角度去重新审视教材，对教材进行材进行““二次开发二次开发””，更新原有的教学观、，更新原有的教学观、教材观，充分挖掘教材中的教学资源，并教材观，充分挖掘教材中的教学资源，并根据学生特点积极主动地、灵活开放地、根据学生特点积极主动地、灵活开放地、创造性地去使用教材。

创造性地去使用教材一、引言一、引言•陶行知先生主张教学要采用教材但不拘泥陶行知先生主张教学要采用教材但不拘泥于教材，教师对教材要善于运用于教材，教师对教材要善于运用•陶行知先生不主张传统的那种纯粹依赖教陶行知先生不主张传统的那种纯粹依赖教材、教教材的模式，材、教教材的模式，““先生讲解，学生静先生讲解，学生静听，而不引人去做听，而不引人去做•陶行知认为陶行知认为:“:“读书一定要一种课本读书一定要一种课本, ,并且并且要从头一本头一课教起要从头一本头一课教起, ,这也是一种成见这也是一种成见 ” •陶行知先生说陶行知先生说:“:“教的目的是为了实现不教教的目的是为了实现不教也就是要改变传统单纯的也就是要改变传统单纯的““授一受授一受””的的模式转变为模式转变为““引导一思考一探究一发现引导一思考一探究一发现””的教学模式，给学生提供广阔的自主空间，的教学模式，给学生提供广阔的自主空间，培养学生的创新意识培养学生的创新意识 •在对初中数学教材进行分析之前，先谈谈在对初中数学教材进行分析之前，先谈谈数学教材编写的理论数学教材编写的理论1.数学教材的编写数学教材的编写•数学教材的内容结构数学教材的内容结构从内容顺序安排考虑，数学教材的编写有：从内容顺序安排考虑，数学教材的编写有： 直线上升直线上升和和螺旋上升螺旋上升两个模式两个模式从知识结构考虑，数学教材的结构有：从知识结构考虑，数学教材的结构有： 分科处理分科处理和和整体处理整体处理两种模式两种模式（（1 1）直线上升模式）直线上升模式®某一知识块内容，基本上在某学段、某年级某一知识块内容，基本上在某学段、某年级依次学完，内容上则按由浅入深的顺序，除依次学完，内容上则按由浅入深的顺序，除复习课外，知识一般不再重复叙述。

复习课外，知识一般不再重复叙述®此种编写模式，教材内容流畅，一气呵成此种编写模式，教材内容流畅，一气呵成®此种编写模式，考虑了数学内容在纵向上的此种编写模式，考虑了数学内容在纵向上的衔接，但关注学生认知不够衔接，但关注学生认知不够（（2 2）螺旋发展模式）螺旋发展模式®各大知识块的内容，在各学段、各年级适各大知识块的内容，在各学段、各年级适当重现，逐步加深当重现，逐步加深®此种编写模式，所占篇幅较多，看上去觉此种编写模式，所占篇幅较多，看上去觉得不够严谨得不够严谨®此种编写模式，往往有益于学生认知组合此种编写模式，往往有益于学生认知组合深化，也有利于学生在各学段学习内容相深化，也有利于学生在各学段学习内容相对完整（（3 3）分科编写模式）分科编写模式®按照数学学科历史发展线索将数学分成若按照数学学科历史发展线索将数学分成若干科目，分科编写教学干科目，分科编写教学®此种编写模式，有利于揭示数学知识块的此种编写模式，有利于揭示数学知识块的内在规律，理论较严谨，层次较清楚内在规律，理论较严谨，层次较清楚®此种编写模式，有时会忽视知识块之间的此种编写模式，有时会忽视知识块之间的横向联系横向联系。

（（4 4）整体处理模式）整体处理模式®教材采用分章集中，整体处理的编写方式教材采用分章集中，整体处理的编写方式®此种编写模式，有利于学生认识数学的多此种编写模式，有利于学生认识数学的多样性和统一性，便于近代数学的的某些观样性和统一性，便于近代数学的的某些观点的渗透点的渗透2.2.数学教材的编写风格数学教材的编写风格一般数学教材的编写风格有两类：一般数学教材的编写风格有两类： 叙述式叙述式和和发现式发现式叙述式叙述式®从概念的定义出发，按照演绎思想，展开从概念的定义出发，按照演绎思想，展开教材的全部内容教材的全部内容®此种编写方式，比较重视定义的严谨性、此种编写方式，比较重视定义的严谨性、推理的严密性和叙述的清晰性推理的严密性和叙述的清晰性®但这种方式编写的教材不利于揭示知识的但这种方式编写的教材不利于揭示知识的产生过程，有时对启发学生的思维不利产生过程，有时对启发学生的思维不利发现式发现式®从日常生活或数学实际问题中提出问题，从日常生活或数学实际问题中提出问题，引导学生引导学生求疑、猜测、尝试、分析、综合、求疑、猜测、尝试、分析、综合、推理、论证推理、论证，逐步发现数学的规律。

逐步发现数学的规律®此种编写方式的教材，内容取材关注学生此种编写方式的教材，内容取材关注学生的生活实践，既有助于学生形成发现思维的生活实践，既有助于学生形成发现思维能力，同时也客观地揭示知识的产生过程能力，同时也客观地揭示知识的产生过程®发现式编写方式，便于采用发现式编写方式，便于采用“发现法发现法”教教学®中国数学新课程教材的编写，从教材中国数学新课程教材的编写，从教材的内容结构来说，由的内容结构来说，由直线上升模式直线上升模式转转向向螺旋发展模式螺旋发展模式，从，从分科编写模式分科编写模式转转向向整体处理模式整体处理模式；从教材的编写风格；从教材的编写风格上看，由上看，由叙述式叙述式转向转向发现式3.对数学教材选用对数学教材选用对数学教材的选用，可参考下列的标准：对数学教材的选用，可参考下列的标准：（（1 1）课程目标的合理性）课程目标的合理性A A®能反映数学学科基本特征；能反映数学学科基本特征；®适合中小学生的年龄特点；适合中小学生的年龄特点；®陈述清楚，易为数学教师掌握陈述清楚，易为数学教师掌握（（2）教材内容的适宜性）教材内容的适宜性B®内容体系符合数学学科的规律；内容体系符合数学学科的规律；®循序渐进，系统连贯，容易接受；循序渐进，系统连贯，容易接受；®能反映近代数学思想方法；能反映近代数学思想方法；®能适应学生将来就业或升学的需要。

能适应学生将来就业或升学的需要（（3）数学教材的先进性与可行性）数学教材的先进性与可行性C®概念法则引入自然，注意理论联系实际；概念法则引入自然，注意理论联系实际；®容量合理，留有余地，学生负担适当；容量合理，留有余地，学生负担适当；®方便于教师教，也方便于学生学；方便于教师教，也方便于学生学；®具有独到见解与显著的编写特色具有独到见解与显著的编写特色（（4）学生对数学学习的适应性）学生对数学学习的适应性D®课程基础知识学生是否易于理解；课程基础知识学生是否易于理解；®是否关注学生对数学技能的掌握；是否关注学生对数学技能的掌握；®是否关注学生对数学思想方法的掌握；是否关注学生对数学思想方法的掌握；®学生学习课程后数学能力的提高是否明显；学生学习课程后数学能力的提高是否明显；®学生对教材的欢迎程度学生对教材的欢迎程度趣味测验趣味测验•作为一名师范生，应该对教材有作为一名师范生，应该对教材有一定的了解请大家拿出纸笔，一定的了解请大家拿出纸笔，尝试回忆人教版课标实验教材尝试回忆人教版课标实验教材《《数学数学》》八年级各章节内容，越八年级各章节内容，越详细越好详细越好回看八年级数学上册回看八年级数学上册八年级八年级( (上册上册) )（（6262））第第11章章  全等三角形全等三角形(11)11.1 全等三角形全等三角形（（1））11.2 三角形全等的条件三角形全等的条件（（6））阅读与思考阅读与思考全等与全等三角形全等与全等三角形11.3 角的平分线的性质角的平分线的性质（（2））数学活动数学活动小结小结（（2））第第12章章  轴对称（轴对称（13））12.1 轴对称轴对称（（3））12.2 轴对称变换轴对称变换（（3）） 信息技术应用信息技术应用  探索轴对称的性质探索轴对称的性质12.3 等腰三角形等腰三角形（（5））实验与探究实验与探究  三角形中边与角之间的不等三角形中边与角之间的不等关系关系数学活动数学活动小结小结（（2））•第第13章章  实数（实数（8））13.1 平方根平方根（（3））13.2 立方根立方根（（2））13.3 实数实数（（2））阅读与思考阅读与思考为什么说不是有理数为什么说不是有理数数学活动数学活动小结小结（（1））第第14章章  一次函数（一次函数（17））14.1 变量与函数变量与函数（（5））信息技术应用信息技术应用用计算机画函数图象用计算机画函数图象14.2 一次函数一次函数（（5））阅读与思考阅读与思考科学家如何测算地球的年龄科学家如何测算地球的年龄14.3 用函数观点看方程（组）用函数观点看方程（组）与不等式与不等式（（3））14.4 课题学习课题学习选择方案选择方案（（2））数学活动数学活动小结小结（（2））•第第15章章  整式的乘除与因式分解（整式的乘除与因式分解（13））15.1整式的乘法整式的乘法（（4））15.2 乘法公式乘法公式（（2））阅读与思考：杨辉三角形阅读与思考：杨辉三角形15.3 整式的除法整式的除法（（2））15.3 因式分解因式分解（（3）） 观察与猜想观察与猜想   数学活动数学活动小结小结（（2））八年级下册概览八年级下册概览 八年级下册（八年级下册（6161））第第16章章  分式（分式（14））16.1 分式（分式（3））16.2 分式的运算分式的运算(6)阅读与思考阅读与思考 :容器中容器中的水能倒完吗？的水能倒完吗？16.3 分式方程（分式方程（3））数学活动数学活动小结（小结（2））第第17章章  反比例函数反比例函数(8)17.1 反比例函数（反比例函数（3））信息技术应用信息技术应用  探索反比例函数的性质探索反比例函数的性质17.2实际问题与反比例实际问题与反比例函数（函数（4））阅读与思考阅读与思考:生活中的反生活中的反比例关系比例关系数学活动数学活动小结（小结（1））第第18章章 勾股定理勾股定理(8)18.1 勾股定理勾股定理（（4））阅读与思考阅读与思考:勾股定理勾股定理的证明的证明18.2 勾股定理的逆定勾股定理的逆定理理(3)阅读与思考阅读与思考 再谈面积证法再谈面积证法数学活动数学活动小结小结（（1））第第19章章  四边形（四边形（16））19.1 平行四边形平行四边形（（6）） 阅读与思考阅读与思考:平行四边形法平行四边形法则则19.2 特殊的平行四边形特殊的平行四边形(6)实验与探究实验与探究  巧拼正方形巧拼正方形19.3 梯形梯形（（2））观察与猜想观察与猜想 :平面直角坐标平面直角坐标系中的特殊四边形系中的特殊四边形数学活动数学活动小结小结（（2））•第第20章章  数据的分析（数据的分析（15））20.1 数据的代表数据的代表（（6））20.2 数据的波动数据的波动（（5））信息技术应用信息技术应用  用计算机求几种统计量用计算机求几种统计量阅读与思考阅读与思考  数据波动的几种度量数据波动的几种度量20.3 课题学习课题学习:体质健康测试中的数据分析体质健康测试中的数据分析(2)数学活动数学活动小结小结（（2））二、人教版初中教材结构分析二、人教版初中教材结构分析( (一一) )教材的内容设置教材的内容设置•人教版初中数学教材包含了课程标准规定人教版初中数学教材包含了课程标准规定的的“数与代数数与代数”、、“图形与几何图形与几何”、、“统统计与概率计与概率”、、“实践与综合应用实践与综合应用”四个领四个领域的内容，在体系结构的设计上力求反映域的内容，在体系结构的设计上力求反映这些内容之间的联系与综合，使它们形成这些内容之间的联系与综合，使它们形成一个有机的整体。

一个有机的整体 •教材四个领域之间的关系见后教材四个领域之间的关系见后1 1．．““数与代数数与代数””章节安排：章节安排：（二）体系结构特点（二）体系结构特点•“数与代数数与代数”领域一共包含领域一共包含“数与式数与式”、、“方程方程/不等式不等式”、、“函数函数”三个模块，三个模块，在第三学段，一共分布在在第三学段，一共分布在15章的篇幅中章的篇幅中见下表）（见下表）数与式数与式方程方程( (组组)/)/不等式不等式函数函数 第第1章章 有理数有理数 七七(上上)  第第2章章 整式的加减七整式的加减七(上上)第第3章章 一元一次方程七一元一次方程七(上上)第第6章平面直角坐标系七章平面直角坐标系七(下下)  第第8章章 二元一次方程组七二元一次方程组七(下下)  第第9章不等式与不等式组七章不等式与不等式组七(下下) 第第13章章 实数实数 八八(上上)    第第14章章 一次函数八一次函数八(上上)   课题学习课题学习 选择方案选择方案第第15章章  整式的乘除与因整式的乘除与因式分解式分解 八八(上上)  第第16章章  分式分式 八八(下下)    第第17章章 反比例函数八反比例函数八(下下)第第21章章 二次根式九二次根式九(上上)   第第22章章  一元二次方程九一元二次方程九(上上)   第第26章章  二次函数九二次函数九(下下)  第第28章锐角三角函数九章锐角三角函数九(下下)（（1 1）对代数知识的安排遵循了）对代数知识的安排遵循了““突出重点、突出重点、分散安排分散安排””的原则的原则•在数与代数领域，基本内容是数、式，方在数与代数领域，基本内容是数、式，方程（组）程（组）/不等式不等式(组组)，函数等。

为了突出，函数等为了突出方程、函数等重点内容的学习，方程、函数等重点内容的学习，教材对于教材对于代数式的相关内容作了分散处理代数式的相关内容作了分散处理教材将教材将整式的运算分成两部分，整式的运算分成两部分，“整式的加减整式的加减”的内容单独安排一章，放在的内容单独安排一章，放在“有理数有理数”和和“一元一次方程一元一次方程”之间，作为学生学习之间，作为学生学习“一次一次”内容（式、方程、不等式、函数等）内容（式、方程、不等式、函数等）的预备知识；的预备知识；• “整式的乘除与因式分解整式的乘除与因式分解”安排为另一章，安排为另一章，放在放在“一次函数一次函数”内容之后，作为学生进内容之后，作为学生进一步学习一步学习“二次二次”内容的基础内容的基础这种处理，这种处理，既保持了教科书对于代数知识既保持了教科书对于代数知识“突出重点、突出重点、分散安排分散安排”的处理原则，又使得相关内容的处理原则，又使得相关内容比较集中，利于教师教学比较集中，利于教师教学（（2 2）螺旋上升地呈现重要的概念和思想）螺旋上升地呈现重要的概念和思想 •新教材改变了以往代数教科书新教材改变了以往代数教科书“先集中讲先集中讲方程，后集中讲函数方程，后集中讲函数”的做法，而是按照的做法，而是按照“一次一次”和和“二次二次”的数量关系，使方程的数量关系，使方程和函数交替出现，即按和函数交替出现，即按一次方程（组）、一次方程（组）、一次函数、二次方程、二次函数一次函数、二次方程、二次函数的顺序螺的顺序螺旋上升。

旋上升•这样的处理，这样的处理，一方面克服内容直线式发展一方面克服内容直线式发展所产生的不易理解消化的弊病，分阶段地所产生的不易理解消化的弊病，分阶段地不断地深化对方程和函数的理解；不断地深化对方程和函数的理解；另一方另一方面强化基本概念之间的内在联系，从函数面强化基本概念之间的内在联系，从函数角度提高对方程等内容的认识角度提高对方程等内容的认识例如“14.3 用函数观点看方程（组）与不等式用函数观点看方程（组）与不等式”等就是为此而特意安排的等就是为此而特意安排的•函数内容历来是初中代数的重点，也是难函数内容历来是初中代数的重点，也是难点难就难在点难就难在它是反映事物间运动变化关它是反映事物间运动变化关系的数学模型，是由常量数学到变量数学系的数学模型，是由常量数学到变量数学的一个过渡的一个过渡教材在处理这部分内容时，教材在处理这部分内容时，对于如何克服这个难点也作出了很多努力对于如何克服这个难点也作出了很多努力在呈现概念时，无论是正比例函数和一次在呈现概念时，无论是正比例函数和一次函数，还是后面研究的反比例函数、二次函数，还是后面研究的反比例函数、二次函数、三角函数等，教科书都是通过大量函数、三角函数等，教科书都是通过大量的实例（的实例（图象的、表格的、解析式的），图象的、表格的、解析式的），向学生展示不同函数所反映的运动变化的向学生展示不同函数所反映的运动变化的规律。

规律•在研究函数的图象和性质时，教材注意加在研究函数的图象和性质时，教材注意加强类比，突出研究方法的引导，突出强类比，突出研究方法的引导，突出“观观察图象反映的变化规律察图象反映的变化规律——用自然语言描用自然语言描述变化规律述变化规律——用符号语言描述变化规律用符号语言描述变化规律”的三步曲等教学中教师要注意理解教的三步曲等教学中教师要注意理解教材的这种安排，使得学生对这种运动变化材的这种安排，使得学生对这种运动变化的数学模型有一个长时间的认识过程的数学模型有一个长时间的认识过程•函数的教学不要开始就一步到位，将许函数的教学不要开始就一步到位，将许多原来应该在初三复习时的综合题目拿多原来应该在初三复习时的综合题目拿来处理否则不是来处理否则不是“难点分散难点分散”，而是，而是“难点提前难点提前”了在八年级上册的教材了在八年级上册的教材中，中， “一次函数一次函数”的内容适当地作了后的内容适当地作了后移，这也是为了适应学生的认知规律，移，这也是为了适应学生的认知规律，让学生更好地理解函数内容让学生更好地理解函数内容（（3 3）联系实际，体现知识的形成和应用过程，）联系实际，体现知识的形成和应用过程，突出建立数学模型的思想。

突出建立数学模型的思想•新教材中方程、函数等内容均注意尽可能新教材中方程、函数等内容均注意尽可能以实际问题为出发点和归宿，在分析和解以实际问题为出发点和归宿，在分析和解决实际问题的过程中，建立数学模型，讨决实际问题的过程中，建立数学模型，讨论有关概念和方法，然后再运用所学知识论有关概念和方法，然后再运用所学知识进一步探究新的实际问题，提高对数学内进一步探究新的实际问题，提高对数学内容及其应用的理解，从而体现容及其应用的理解，从而体现“实践实践—理理论论—实践实践”的认识过程的认识过程 •例如，第例如，第3章章“一元一次方程一元一次方程”分为以下四分为以下四节：节： 3.1  3.1  从算式到方程从算式到方程  3.2  3.2  一元一次方程的讨论（一元一次方程的讨论（1 1））——————移移项与合并项与合并3.3  3.3  一元一次方程的讨论（一元一次方程的讨论（2 2））——————去括去括号与去分母号与去分母  3.4  3.4  实际问题与一元一次方程实际问题与一元一次方程 　　•全章改变了全章改变了“概念概念——解法解法——应用应用”的的传统教材结构，而以实际问题为主要线索，传统教材结构，而以实际问题为主要线索，将概念与解法融于对实际问题的分析和解将概念与解法融于对实际问题的分析和解决过程之中。

决过程之中2．““空间与图形空间与图形”” 内容的安排内容的安排      这个领域以图形的认识为主线，将其他内这个领域以图形的认识为主线，将其他内容与它有机的整合，螺旋上升全部内容容与它有机的整合，螺旋上升全部内容分为分为12章，渗透于第三学段中章，渗透于第三学段中空间与空间与图形图形”教学内容的特色为：教学内容的特色为：第第4章章  图形认识初步图形认识初步  七（上）七（上）   课题学习课题学习 制作长方体形状包装盒制作长方体形状包装盒 第第5章章 相交线与平行线相交线与平行线 七（下）七（下） 5.4 平移平移第第7章章  三角形三角形        七（下）七（下） 第第11章章 全等三角形全等三角形    八（上）八（上）   第第12章章  轴对称轴对称   八（上）八（上） 第第18章章 勾股定理勾股定理      八（下）八（下）  第第19章章 四边形四边形        八（下）八（下）  第第23章章 旋转旋转     九（上）九（上）  课题学习课题学习  图案设计图案设计 第第24章章 圆圆            九（上）九（上）   第第27章章 相似相似     九（下）九（下）第第28章章 锐角三角函数锐角三角函数  九（下）九（下） 第第29章章  视图与投影视图与投影  课题学习课题学习 制作立体模型制作立体模型 （（1 1）加强数形结合思想的渗透，体现各部分）加强数形结合思想的渗透，体现各部分知识之间的横向联系。

知识之间的横向联系   例如，为更好地反映数与形之间的内在联例如，为更好地反映数与形之间的内在联系，提前安排了平面直角坐标系的内容系，提前安排了平面直角坐标系的内容（七年级下学期，第（七年级下学期，第6章），使坐标这种能章），使坐标这种能充分体现数形结合思想的工具能更早更多充分体现数形结合思想的工具能更早更多地得到使用（用坐标方法分析平移变换、地得到使用（用坐标方法分析平移变换、对称变换等的本质特征，处理某些图形问对称变换等的本质特征，处理某些图形问题，加深对函数及二元一次方程组、不等题，加深对函数及二元一次方程组、不等式等的认识等）式等的认识等）（（2 2）循序渐进地培养推理能力，作好由实验）循序渐进地培养推理能力，作好由实验几何到论证几何的过渡几何到论证几何的过渡          对于推理能力的培养，按照对于推理能力的培养，按照“说理说理”、、“简单推理简单推理”、、“符号表示推理符号表示推理”等不同等不同层次分阶段逐步加深地安排，使推理论证层次分阶段逐步加深地安排，使推理论证成为学生通过观察、探究得到数学结论的成为学生通过观察、探究得到数学结论的自然延续自然延续•教材从七年级开始渗透推理的初步训练，教材从七年级开始渗透推理的初步训练，到七年级下学期的到七年级下学期的“第第7章三角形章三角形”中结合中结合三角形内角和开始正式出现证明三角形内角和开始正式出现证明( (见下页见下页) )。

对于推理能力的培养不拘泥于形式，不局对于推理能力的培养不拘泥于形式，不局限于限于“空间与图形空间与图形”，而是结合各领域内，而是结合各领域内容中适宜的内容自然地进行（容中适宜的内容自然地进行（如在如在3.43.4节的节的问题探究中就已渗透反证法的思想问题探究中就已渗透反证法的思想）（（3 3）从感性到理性，从静到动提高对图形的）从感性到理性，从静到动提高对图形的认识能力认识能力学习学习“空间与图形空间与图形”这部分内这部分内容的重要目的，是提高对图形的认识能力容的重要目的，是提高对图形的认识能力人教版教材按照人教版教材按照“从感性直观认识逐步上从感性直观认识逐步上升到理性本质认识，升到理性本质认识，从对静止状态的认识从对静止状态的认识发展到对运动状态的认识发展到对运动状态的认识，，从定性描述向从定性描述向定量刻画过渡定量刻画过渡”的顺序编排这个领域的内的顺序编排这个领域的内容，注意在教材各处对于容，注意在教材各处对于“图形的认识图形的认识”“图形与变换图形与变换”“图形与坐标图形与坐标”“图形图形与证明与证明”把握到适宜程度，并注意这四个把握到适宜程度，并注意这四个方面之间的联系方面之间的联系。

 •例如，例如，在第在第5 5章章““相交线与平行线相交线与平行线””的最后的最后部分，初步介绍了平移；部分，初步介绍了平移；在学习了第在学习了第6 6章章““平面直角坐标系平面直角坐标系””之后，又进一步从坐标之后，又进一步从坐标的角度对平移变换作了描述；的角度对平移变换作了描述；在第在第1919章章““四边形四边形””中，对平移的中，对平移的““对应点连线平行对应点连线平行且相等且相等””的特征又作了进一步的阐释；的特征又作了进一步的阐释；在在第第2222章中的章中的““课题学习图案设计课题学习图案设计””中，再中，再将平移与其他几何变换结合，进行综合性将平移与其他几何变换结合，进行综合性应用的讨论应用的讨论  3 3．．““统计与概率统计与概率”” •第第1010章（七年级下）章（七年级下） 数据的收集、整理数据的收集、整理与描述与描述•第第2020章（八年级下）章（八年级下） 数据的分析数据的分析•第第2424章（九年级上）章（九年级上） 概率初步概率初步•在编写时，教材注意突出以下特点：在编写时，教材注意突出以下特点：（（1 1）侧重于统计和概率中蕴涵的基本思想。

侧重于统计和概率中蕴涵的基本思想编写教材时，改变了以往处理这部分内容编写教材时，改变了以往处理这部分内容时过于偏重计算的做法，而特别注意体现时过于偏重计算的做法，而特别注意体现“通过统计数据探究规律通过统计数据探究规律”的归纳思想，的归纳思想，重视反映统计与概率之间的联系，通过频重视反映统计与概率之间的联系，通过频率来估计事件的概率，通过样本的有关数率来估计事件的概率，通过样本的有关数据对总体的可能性作出估计等据对总体的可能性作出估计等（（2 2）注重实际，发挥案例的典型性注重实际，发挥案例的典型性这部分这部分的四章都注意加强探究性和活动性，各章的四章都注意加强探究性和活动性，各章都安排实践性较强的都安排实践性较强的“课题学习课题学习”，都结，都结合现代社会生活中丰富的实例，发挥典型合现代社会生活中丰富的实例，发挥典型案例的引导作用，避免脱离实际例子的讲案例的引导作用，避免脱离实际例子的讲述概念与计算述概念与计算  （（3 3）注意与前面学段的衔接，持续地发展）注意与前面学段的衔接，持续地发展提高编写教材时，注意了有关内容在前编写教材时，注意了有关内容在前面学段已经具备的基础，明确了在本学段面学段已经具备的基础，明确了在本学段应进一步发展到什么水平，在内容和要求应进一步发展到什么水平，在内容和要求方面体现螺旋式发展上升。

方面体现螺旋式发展上升•七年级上册七年级上册 4.44.4设计制作长方体形状的包装纸盒设计制作长方体形状的包装纸盒•七年级下册七年级下册 7.47.4镶嵌镶嵌 10.310.3从数据谈节水从数据谈节水•八年级上册八年级上册 14.414.4选择方案选择方案•八年级下册八年级下册 19.419.4重心重心 20.320.3体质健康测试中的数据分析体质健康测试中的数据分析•九年级上册九年级上册 23.323.3图案设计图案设计 25.425.4键盘上字母的排列顺序键盘上字母的排列顺序•九年级下册九年级下册 29.329.3制作立体模型制作立体模型 4 4．．““实践与综合应用实践与综合应用””•“实践与综合应用实践与综合应用”是新数学课程中一个全是新数学课程中一个全新的内容，它为学生进行实践性、探索性和新的内容，它为学生进行实践性、探索性和研究性的学习提供了一种课程渠道。

研究性的学习提供了一种课程渠道•既要充分注意这一领域内容对培养创新意识既要充分注意这一领域内容对培养创新意识和实践能力的重要作用，又要认识到在初中和实践能力的重要作用，又要认识到在初中阶段它与数学基础知识的关系，要为学习它阶段它与数学基础知识的关系，要为学习它作必要铺垫作必要铺垫            因此，在人教版教材中，因此，在人教版教材中，“实践与综实践与综合应用合应用”不作为独立的一块内容，而是同不作为独立的一块内容，而是同与其最接近的知识内容相结合，教材在每与其最接近的知识内容相结合，教材在每一册都安排了一册都安排了1～～2个个“课题学习课题学习”，每一，每一章都安排了章都安排了2～～4个个“数学活动数学活动”这样处理，理，使得使得“实践与综合应用实践与综合应用”以多种形式以多种形式分散编排，能以多种形式进行，化整为零，分散编排，能以多种形式进行，化整为零，经常化和生活化经常化和生活化数学数学“课题学习课题学习”的形式主要有：的形式主要有：（（1 1）数学建模）数学建模————14.414.4选择方案选择方案（（2 2）数学实验，制作与设计）数学实验，制作与设计4.4设计制作长方体形状的包装纸盒设计制作长方体形状的包装纸盒23.3图案设计图案设计29.3制作立体模型制作立体模型（（3 3）数学探究学习）数学探究学习7.4镶嵌镶嵌19.4重心重心（（4））数学调查、数据分析数学调查、数据分析10.3从数据谈节水从数据谈节水20.3体质健康测试中的数据分析体质健康测试中的数据分析  1 1．丰富的问题情境．丰富的问题情境• 我们生活在一个丰富多彩的世界中，其中我们生活在一个丰富多彩的世界中，其中存在着大量的问题要用数学知识去解决，存在着大量的问题要用数学知识去解决，在教材编写时，力求贯彻理论联系实际的在教材编写时，力求贯彻理论联系实际的原则，更加强调数学知识的背景（实际的原则，更加强调数学知识的背景（实际的和数学内部的），内容素材的选取力求贴和数学内部的），内容素材的选取力求贴近学生的生活实际和社会现实，并注意把近学生的生活实际和社会现实，并注意把所学到的知识应用到解决实际问题中去。

所学到的知识应用到解决实际问题中去三、数学教材的新变化三、数学教材的新变化• 例如，在教科书的七年级上册例如，在教科书的七年级上册“有理数有理数”一章，数的产生和发展过程、数轴、有理一章，数的产生和发展过程、数轴、有理数大小比较、有理数加减法、科学记数法数大小比较、有理数加减法、科学记数法等，都是结合实际问题，从实际需要出发等，都是结合实际问题，从实际需要出发引入的在在““一元一次方程一元一次方程””一章，实际一章，实际问题情境贯穿于始终，对方程解法的讨论问题情境贯穿于始终，对方程解法的讨论也是在解决实际问题的过程中进行的全也是在解决实际问题的过程中进行的全章涉及了物理问题、几何问题、经济问题、章涉及了物理问题、几何问题、经济问题、农业问题、生产效率问题、中外名题、体农业问题、生产效率问题、中外名题、体育问题、社会问题等许多实际问题育问题、社会问题等许多实际问题 •在在“空间与图形空间与图形”中，也是充分利用现实中，也是充分利用现实世界的物体，通过观察大量丰富的立体、世界的物体，通过观察大量丰富的立体、平面图形，加强对图形的直观认识和感受，平面图形，加强对图形的直观认识和感受，从中从中“发现发现”几何图形，归纳出常见几何几何图形，归纳出常见几何体的基本特征，从而更好地体的基本特征，从而更好地“把握图形把握图形”。

•统计与现实生活密切相关，学习统计与现实生活密切相关，学习“数据的数据的收集、整理与描述收集、整理与描述”，就离不开大量真实，就离不开大量真实的素材，教材中的素材也涉及到了学生生的素材，教材中的素材也涉及到了学生生活的各个方面，如活的各个方面，如学生的身高、体重、视学生的身高、体重、视力、脉搏，保护动物、收集废电池、丢弃力、脉搏，保护动物、收集废电池、丢弃塑料袋等环境保护问题，国内生产总值、塑料袋等环境保护问题，国内生产总值、平均工资、雨伞销售平均工资、雨伞销售等经济问题等等等经济问题等等2.2.关注思维过程的教材呈现关注思维过程的教材呈现• 学习方式的转变是课程改革的重要目标之学习方式的转变是课程改革的重要目标之一，在教材编写时，也是力求改进教材的一，在教材编写时，也是力求改进教材的呈现形式，注意引导学生从身边的问题说呈现形式，注意引导学生从身边的问题说起，并更多地进行数学活动和互相交流，起，并更多地进行数学活动和互相交流，在主动学习、探究学习的过程中获得知识，在主动学习、探究学习的过程中获得知识，培养能力，体会数学思想方法培养能力，体会数学思想方法•对于数学中的概念、法则、性质、公式、对于数学中的概念、法则、性质、公式、公理和定理，教材设置了许多公理和定理，教材设置了许多 ““思考思考”“”“探究探究” “” “归纳归纳””等栏目，让学生从观察身等栏目，让学生从观察身边的事物入手，加深学生对所学内容的印边的事物入手，加深学生对所学内容的印象；象；•通过对问题的思考获得结论，通过对解决通过对问题的思考获得结论，通过对解决问题的过程的反思加深认识；问题的过程的反思加深认识；通过探究解通过探究解决问题，探求结论；决问题，探求结论；通过讨论互相启发，通过讨论互相启发，促进数学思考，扩大和加深对问题的认识；促进数学思考，扩大和加深对问题的认识；在观察、思考、探究、讨论的基础上归纳在观察、思考、探究、讨论的基础上归纳结论，体会特殊到一般的过程。

这种处理结论，体会特殊到一般的过程这种处理方式，为学生提供更广阔的探索和合作交方式，为学生提供更广阔的探索和合作交流的空间，让学生经历知识的流的空间，让学生经历知识的“再发现再发现”过程，在探究活动的过程中发展思维能力，过程，在探究活动的过程中发展思维能力，改变学生的学习方式这不仅符合学生的改变学生的学习方式这不仅符合学生的认知规律，也是数学本身的发展规律所决认知规律，也是数学本身的发展规律所决定的•例如，对于例如，对于““空间与图形空间与图形””领域的内容，领域的内容，教材在内容处理上加强了教材在内容处理上加强了实验几何实验几何的成分，的成分，对于几何中的结论，教材多数是先让学生对于几何中的结论，教材多数是先让学生通过画图、折纸、剪纸或做试验等活动，通过画图、折纸、剪纸或做试验等活动，探索发现几何结论，然后再对结论进行说探索发现几何结论，然后再对结论进行说明、解释或论证，将实验几何与论证几何明、解释或论证，将实验几何与论证几何有机结合以有机结合以““对顶角相等对顶角相等””为例，教材为例，教材首先设置一个首先设置一个““讨论讨论””栏目，让学生度量栏目，让学生度量两条相交直线所成的角的大小，通过学生两条相交直线所成的角的大小，通过学生的充分讨论，探究发现对顶角相等这个结的充分讨论，探究发现对顶角相等这个结论，然后再对它进行说理。

论，然后再对它进行说理   3 3．循序渐进地进行推理训练，重视培养学．循序渐进地进行推理训练，重视培养学生的思维能力生的思维能力• 对于推理能力的培养，按照对于推理能力的培养，按照“说理说理”“简简单推理单推理”“符号表示推理符号表示推理”等不同层次分等不同层次分阶段逐步加深地安排，使推理论证成为学阶段逐步加深地安排，使推理论证成为学生通过观察、探究得到数学结论的自然延生通过观察、探究得到数学结论的自然延续•教材从七年级上册开始渗透推理的初步训教材从七年级上册开始渗透推理的初步训练，到结合练，到结合三角形内角和定理三角形内角和定理正式出现证正式出现证明，在以后各册中，对于推理证明的要求明，在以后各册中，对于推理证明的要求一以贯之，逐步培养学生的逻辑思维能力一以贯之，逐步培养学生的逻辑思维能力对于推理能力的培养也不拘泥于形式，不对于推理能力的培养也不拘泥于形式，不局限于局限于“空间与图形空间与图形”，而是结合各领域，而是结合各领域内容中适宜的内容自然地进行内容中适宜的内容自然地进行4 4．自然延续正文的练习、习题．自然延续正文的练习、习题• 教材对于练习、习题的处理，是按照教材对于练习、习题的处理，是按照“使使练习、习题成为学生学习正文内容的自然练习、习题成为学生学习正文内容的自然延续延续”的原则来安排的。

例如，的原则来安排的例如，“图形认图形认识初步识初步”中线段延长线的画法、几何语言中线段延长线的画法、几何语言的转换等内容都是在练习、习题中体现的的转换等内容都是在练习、习题中体现的•练习题的安排，也不是简单的课时划分，练习题的安排，也不是简单的课时划分，而是根据内容的需要来安排而是根据内容的需要来安排•对于习题，改变了以往根据题目难度分为对于习题，改变了以往根据题目难度分为A、、B组的方法，而是按照习题功能设置了组的方法，而是按照习题功能设置了“复复习巩固习巩固”“综合运用综合运用”“拓广探索拓广探索”三个三个层次•“复习巩固复习巩固”层次的习题主要是让学生复层次的习题主要是让学生复习本节（章）所学的基础知识和基本技能；习本节（章）所学的基础知识和基本技能；“综合运用综合运用”层次的习题体现了知识间的层次的习题体现了知识间的相互联系，是要学生综合运用本节（章）相互联系，是要学生综合运用本节（章）所学知识去解决问题（包括实际问题和数所学知识去解决问题（包括实际问题和数学内部的问题）；在此基础上，学内部的问题）；在此基础上，“拓广探拓广探索索”层次的习题综合性、实践性更强（不层次的习题综合性、实践性更强（不是难度的提高），为学生提供了充分发展是难度的提高），为学生提供了充分发展的空间，希望所有学生都能上手，不同学的空间，希望所有学生都能上手，不同学生得到不同的发展。

生得到不同的发展5 5．开放与实践相结合的选学内容．开放与实践相结合的选学内容• 为了开阔学生的视野，增加教材的弹性和为了开阔学生的视野，增加教材的弹性和选择性，教科书安排了选择性，教科书安排了“阅读与思考阅读与思考”“观察与猜想观察与猜想”“实验与探究实验与探究”“信息技术信息技术应用应用”等丰富多彩选学内容，这些内容与等丰富多彩选学内容，这些内容与必学内容相得益彰选学内容中有些是教必学内容相得益彰选学内容中有些是教科书中相关内容的拓展与延伸，科书中相关内容的拓展与延伸， •例如，从第例如，从第1章章“阅读与思考用正负数表示阅读与思考用正负数表示加工允许误差加工允许误差”中了解多生活中正负数表中了解多生活中正负数表示误差的内容；示误差的内容；第第1010章的章的““实验与探究瓶实验与探究瓶子中有多少粒豆子子中有多少粒豆子””则向我们介绍了生产则向我们介绍了生产和科研中常用到的捉和科研中常用到的捉——放放——捉的统计调查捉的统计调查方法有些内容是数学历史的介绍，或数有些内容是数学历史的介绍，或数学思想的反映，学思想的反映，如第如第2章的章的“阅读与思考数阅读与思考数字字1与字母与字母X的对话的对话”，第，第7章的章的“阅读与思阅读与思考为什么要证明考为什么要证明”等。

等 •有些内容是教学内容的应用，如有些内容是教学内容的应用，如第第1 1章的章的““观察与猜想观察与猜想——翻牌游戏中的数学道理翻牌游戏中的数学道理””，，第第2 2章的章的““信息技术应用电子表格与数据计信息技术应用电子表格与数据计算算””，第，第2424章的章的““实验与探究设计跑道实验与探究设计跑道””，第，第2525章的章的““阅读与思考概率与中奖阅读与思考概率与中奖””等等教学时，可适时安排有兴趣的学生使用这教学时，可适时安排有兴趣的学生使用这些材料，加深对相关内容的认识，开阔他些材料，加深对相关内容的认识，开阔他们的眼界，增长他们的见识，提高运用知们的眼界，增长他们的见识，提高运用知识的能力识的能力四、初中数学教材的内容与高中知四、初中数学教材的内容与高中知识的衔接识的衔接 •可以说高中数学知识是初中数学知识可以说高中数学知识是初中数学知识的延拓和提高的延拓和提高，例如：，例如：1.代数式的运算、化简、求值在高一阶代数式的运算、化简、求值在高一阶段函数性质的推证、求轨迹方程中起段函数性质的推证、求轨迹方程中起到重要的工具作用到重要的工具作用2.在必修在必修1 指数幂的研究中，正整数指指数幂的研究中，正整数指数、零指数和负整数指数的概念和运数、零指数和负整数指数的概念和运算性质，在高一阶段，要把我们学习算性质，在高一阶段，要把我们学习的整数指数幂推广到有理数指数幂，的整数指数幂推广到有理数指数幂，进而到无理数指数幂进而再研究指数进而到无理数指数幂进而再研究指数函数。

函数3.函数是中学数学的主体内容它与中学函数是中学数学的主体内容它与中学数学很多内容都密切相关，初中代数数学很多内容都密切相关，初中代数中的中的“函数及其图象函数及其图象”就属于函数的就属于函数的内容，高中数学中的指数函数、对数内容，高中数学中的指数函数、对数函数、三角函数是函数内容的主体，函数、三角函数是函数内容的主体，通过这些函数的研究，能够认识函数通过这些函数的研究，能够认识函数的性质、图象及其初步的应用的性质、图象及其初步的应用•后续内容的极限、微积分初步知识等后续内容的极限、微积分初步知识等都是函数的内容，数列可以看作整标都是函数的内容，数列可以看作整标函数，函数，等差数列的通项反映的点对等差数列的通项反映的点对(n，，an)都分布在直线都分布在直线y＝＝kx+b的图象上，的图象上，等差数列的前等差数列的前n项和公式也可以看作关项和公式也可以看作关于于n(n∈∈N)的二次函数关系式，等比数的二次函数关系式，等比数列的内容也都属于指数函数类型的整列的内容也都属于指数函数类型的整标函数中学的其他数学内容也都与函标函数中学的其他数学内容也都与函数内容有关数内容有关•函数在中学教材中是分三个阶段安排函数在中学教材中是分三个阶段安排的。

的第一阶段第一阶段是在初中代数课本内，是在初中代数课本内，初步讨论了函数的概念、函数的表示初步讨论了函数的概念、函数的表示方法以及函数图象的绘制等，并具体方法以及函数图象的绘制等，并具体地讨论正比例函数、反比例函数、一地讨论正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数，次函数、二次函数等最简单的函数，通过计算函数值、研究正比例函数、通过计算函数值、研究正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的反比例函数、一次函数、二次函数的慨念和性质，理解函数的概念，并用慨念和性质，理解函数的概念，并用描点法可以绘制相应函数图象描点法可以绘制相应函数图象 •必修必修1第二章以及必修第二章以及必修4第一章三角函数的第一章三角函数的内容是中学函数教学的内容是中学函数教学的第二阶段第二阶段，也就是，也就是函数概念的再认识阶段，即用函数概念的再认识阶段，即用集合、映射集合、映射的思想理解函数的一般定义的思想理解函数的一般定义，加深对函数，加深对函数概念的理解，在此基础上研究了指数函数、概念的理解，在此基础上研究了指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的概对数函数、三角函数等基本初等函数的概念、图象和性质，从而使学生在第二阶段念、图象和性质，从而使学生在第二阶段函数的学习中获得较为系统的函数知识，函数的学习中获得较为系统的函数知识，并初步培养了学生的函数的应用意识，为并初步培养了学生的函数的应用意识，为今后学习打下良好的基础第二阶段的主要今后学习打下良好的基础第二阶段的主要内容在本章教学中完成内容在本章教学中完成 。

•第三阶段第三阶段的函数教学是在高中三年级数学的函数教学是在高中三年级数学的限定选修课的限定选修课(新课改前新课改前)中安排的，选修中安排的，选修ⅠⅠ的内容有极限与导数，选修的内容有极限与导数，选修ⅡⅡ的内容有的内容有极限、导数、积分，这些内容是函数及其极限、导数、积分，这些内容是函数及其应用研究的深化和提高，也是进一步学习应用研究的深化和提高，也是进一步学习和参加工农业生产需要具备的基础知识和参加工农业生产需要具备的基础知识•选修课选修课(新课改新课改)中安排的，的内容有极限中安排的，的内容有极限与导数在选修与导数在选修ⅠⅠ-1，，2-2 •九年级下册九年级下册 “二次函数的图象二次函数的图象”“二次函二次函数与一元二次方程数与一元二次方程” 为高一阶段必修为高一阶段必修1 中中第三章第三章“函数的零点函数的零点”“用二分法求方程用二分法求方程的近似解的近似解”有很重要的作用有很重要的作用•用变量之间的关系来描述的函数定义与学用变量之间的关系来描述的函数定义与学习新的用集合之间的关系来描述的函数定习新的用集合之间的关系来描述的函数定义做对比来学习必修义做对比来学习必修1 1 中中““函数的概念函数的概念””。

4.三角函数是中学数学的重要内容之一，它三角函数是中学数学的重要内容之一，它的基础主要是几何中的相似形和圆，而的基础主要是几何中的相似形和圆，而 锐角三角函数的概念为高一的必修内容三锐角三角函数的概念为高一的必修内容三角函数打下基础，由锐角三角函数到任意角函数打下基础，由锐角三角函数到任意角的三角函数，进而提出任意角的三角函角的三角函数，进而提出任意角的三角函数概念而引入坐标定义法数概念而引入坐标定义法5. 在初中阶段介绍了不等式的概念，学习在初中阶段介绍了不等式的概念，学习了一元一次不等式，一元一次不等式组了一元一次不等式，一元一次不等式组的解法，而高一教材还会进一步研究不的解法，而高一教材还会进一步研究不等式的性质，一元二次不等式，简单的等式的性质，一元二次不等式，简单的分式不等式和含绝对值不等式等一些不分式不等式和含绝对值不等式等一些不等式的解法并学习不等式的证明等式的解法并学习不等式的证明 6. 初中所学的运用初中所学的运用距离与半径距离与半径的大小关系来判的大小关系来判定定“直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系”的方法、圆中弦心的方法、圆中弦心距、半径、弦长之间的关系、配方法等知识在距、半径、弦长之间的关系、配方法等知识在高中的必修高中的必修2 中中第四章第四章“直线、圆的位置关系直线、圆的位置关系”的学习中将运用到。

的学习中将运用到 •初中初中“试图与投影试图与投影”的主视图、左视图、俯的主视图、左视图、俯视图在必修视图在必修2 中空间几何体的三视图中空间几何体的三视图—正视图、正视图、侧视图、俯视图侧视图、俯视图得以进一步加深：得以进一步加深：侧视图画在侧视图画在正视图的右边、俯视图画在正视图的下边，侧正视图的右边、俯视图画在正视图的下边，侧视图和正视图高度一样、俯视图与正视图长度视图和正视图高度一样、俯视图与正视图长度一样、侧视图与俯视图宽度一样；一样、侧视图与俯视图宽度一样； 7.初中所学的数轴上的点与一个实数成一一对初中所学的数轴上的点与一个实数成一一对应、平面直角坐标系上的点与一对有序实数应、平面直角坐标系上的点与一对有序实数成一一对应，成一一对应，发展到空间直角坐标系上的点发展到空间直角坐标系上的点与一组有序实数成一一对应与一组有序实数成一一对应 ，，从而学习从而学习“空空间直角坐标系间直角坐标系” 立体几何中空间问题，转化立体几何中空间问题，转化为平面问题初中几何中角平分线、垂直平为平面问题初中几何中角平分线、垂直平分线的点的集合，为集合定义给出了几何模分线的点的集合，为集合定义给出了几何模型。

型五、教材分析对教学的指导五、教材分析对教学的指导•下面通过两个课例，谈谈教材分析对下面通过两个课例，谈谈教材分析对教学实施的指导作用教学实施的指导作用课题课题  数据的代表数据的代表 （八年级数学新课程）（八年级数学新课程）教材分析教材分析 ◆◆教材设计：教材设计：（人教版）（第一课时）（人教版）（第一课时）（（1））问题：问题：某市三个郊县的人数及人均耕地面某市三个郊县的人数及人均耕地面积如下表：积如下表：     郊县郊县            人数人数/万万          人均耕地面积人均耕地面积/公公顷顷      A                15                     0.15      B                7                       0.21      C                10                     0.18         这个市郊县的人均耕地面积是多少？（精这个市郊县的人均耕地面积是多少？（精确到确到0.01公顷）公顷） ①①小明求得这个市郊县的人均耕地面积为小明求得这个市郊县的人均耕地面积为（公顷）（公顷） ②②你认为小明的做法有道理吗？为什么？你认为小明的做法有道理吗？为什么？分析分析：：上述解答有问题，问题在于：上述解答有问题，问题在于：       各郊县的人均耕地面积对这个市的人各郊县的人均耕地面积对这个市的人均耕地面积的影响不同，要考虑各县人口均耕地面积的影响不同，要考虑各县人口对人均耕地面积的影响。

对人均耕地面积的影响③③这个市郊县的人均耕地面积应为这个市郊县的人均耕地面积应为（公顷）（公顷） （（2）引入数据的）引入数据的“权权”和和“加权平均加权平均数数”数据的数据的“权权”（（weight）能够）能够反映数据的相对重要程度反映数据的相对重要程度          为说明为说明“权权”的这个特点，教材的这个特点，教材给出了例给出了例1、例、例2（参看教材（参看教材P.137--139），从另外的侧面说明），从另外的侧面说明“权权”的涵的涵义       （（3）课堂练习（课堂练习共有两道）课堂练习（课堂练习共有两道题目，其类型与例题目，其类型与例1、例、例2相似）相似） （第二课时）（第二课时）：：  （（1）统计中也常把下面的这种算术平均）统计中也常把下面的这种算术平均数看成加权平均数数看成加权平均数      在求在求    个数的算术平均数时，如果个数的算术平均数时，如果  出出现现     次，次，   出现出现     次，次，…，，  出现出现    次次（这里（这里                           ），那么这），那么这    个个数的算术平均数数的算术平均数也叫做也叫做                     这这    个数的个数的加权加权平均数平均数，其中，其中                    分别叫做分别叫做                                       的权。

的权2）探究（参看教材）探究（参看教材P.140--141）3）使用计算器求加权平均数使用计算器求加权平均数 教材设计教材设计（北师大版）（北师大版）(第一课时第一课时)⑴⑴情境：在篮球比赛中队员的身高是反映球队情境：在篮球比赛中队员的身高是反映球队实力的一个重要因素，如何衡量两个球队队实力的一个重要因素，如何衡量两个球队队员的身高？怎样理解员的身高？怎样理解“甲队队员身高比乙队甲队队员身高比乙队更高更高”？要比较两个球队队员的身高，要搜？要比较两个球队队员的身高，要搜集哪些数据呢？集哪些数据呢？（（教材给出了教材给出了CBA2000—2001CBA2000—2001赛季冠亚军球队：赛季冠亚军球队：八一双鹿队，上海东方大鲨鱼队两队队员的八一双鹿队，上海东方大鲨鱼队两队队员的身高和年龄，八一队给出了身高和年龄，八一队给出了4-154-15号队员的资号队员的资料，上海队给出了料，上海队给出了4-184-18号队员的资料号队员的资料⑵⑵问题：上面两支篮球队中，哪支球队队员的问题：上面两支篮球队中，哪支球队队员的身高更为高大？哪支球队队员更为年轻？你是身高更为高大？哪支球队队员更为年轻？你是怎么判断的？与同伴交流。

怎么判断的？与同伴交流⑶⑶概念（一）：日常生活中，我们常用平均数概念（一）：日常生活中，我们常用平均数表示一组数据的表示一组数据的“平均水平平均水平” 一般地，对于一般地，对于n n个数个数χχ1 1、、χχ2 2、、χχ3 3、、……χχn n我我们把们把叫做这叫做这n个数的算术平均数，表示为个数的算术平均数，表示为12131421相应队员数相应队员数3429262423211816年龄年龄/岁岁小明是这样计算上海东方大鲨鱼队员的平均小明是这样计算上海东方大鲨鱼队员的平均年龄的：年龄的： 平均年龄＝（平均年龄＝（16×1＋＋18×2＋＋21×4+23×1+24×3+26×1+29×2+34×1)÷(1+2+4+1+3+1+2+1) ≈23.3（岁）（岁）例例1 1 （略，见教材（略，见教材P251-252P251-252，该例是一个，该例是一个导导引例引例，由第二问引出加权平均数的计算），由第二问引出加权平均数的计算）⑸⑸概念（二）概念（二）      在实际问题中，一组数据里的各个数据的在实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度重要程度”未必相同因而，在计算这组未必相同。

因而，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个数据的平均数时，往往给每个数据一个“权权”，而称例，而称例1中中4、、3、、1分别是创新、综合知分别是创新、综合知识、语言三项测试成绩的权（识、语言三项测试成绩的权（weight），而），而称称为加权平均数为加权平均数.⑹⑹随堂练习随堂练习(2个题个题)    习题习题8.1（北师大版）（北师大版）(第二课时第二课时)（（仍就是对加权平均数的讨论仍就是对加权平均数的讨论, ,不过这时的权与第一课时中不过这时的权与第一课时中的的““权权””的含义有所不同，的含义有所不同，是加重权数详见教材是加重权数详见教材P255-P255-256256 ））       本节课的学习内容涉及到一组数据的本节课的学习内容涉及到一组数据的“平均水平平均水平”，重点是三个概念：，重点是三个概念：“平均数平均数”、、“权权”、、“加权平均数加权平均数”，教学的难点是，教学的难点是“权权”的引入，以及判断何时用平均数、何时的引入，以及判断何时用平均数、何时用加权平均数去代表一组数据用加权平均数去代表一组数据      在备课时在备课时,教师非常有必要对教师非常有必要对“权权”和和“加权平均数加权平均数”有一个好的了解。

有一个好的了解教学任务分析教学任务分析◆◆关于关于“权权”和和“权重权重” ▲权重权重，，这是借用股市的术语这是借用股市的术语权重股就是总股本巨大的上市公权重股就是总股本巨大的上市公司股票，它的股票总数占股票市司股票，它的股票总数占股票市场股票总数的比重很大，也就权场股票总数的比重很大，也就权重很大，它的涨跌对股票指数的重很大，它的涨跌对股票指数的影响很大影响很大 ▲我们再以体操运动员为例来说明体操运动我们再以体操运动员为例来说明体操运动员的考核指标主要有三条：员的考核指标主要有三条：动作难度、动作动作难度、动作有没有失误有没有失误和和动作编排动作编排这三个指标不是同这三个指标不是同样重要，有一个权重问题哪个指标最重要，样重要，有一个权重问题哪个指标最重要，该指标的权重就最大比如说：体操运动员该指标的权重就最大比如说：体操运动员动作难度的权重是动作难度的权重是0.5，失误占，失误占0.3，动作的，动作的编排是编排是0.2所以体操运动今后发展重点第一所以体操运动今后发展重点第一要抓高难度，因为难度占的比重是要抓高难度，因为难度占的比重是50％，第％，第二做高难度动作不能有失误，第三编排应该二做高难度动作不能有失误，第三编排应该漂亮。

漂亮 ◆◆关于关于“加权平均数加权平均数”   ▲打个比方说打个比方说, 一件事情一件事情, 你给它打你给它打100分分, 你你的老板给它打的老板给它打60分分, 如果如果求平均数求平均数, 则是则是(100+60)/2=80分    ▲但因为老板说的话分量比你重但因为老板说的话分量比你重, 假如假如老板的老板的权重是权重是2, 你是你是1, 这时求平均值就是加权平均这时求平均值就是加权平均了了, 结果是结果是(100×1 + 60×2)/(1+2)=73.3分   ▲假如假如老板权重是老板权重是3，你的权重是，你的权重是1，，结果是结果是（（100×1+60×3））/（（1+3））=70这就是根据这就是根据权重的不同进行的平均数的计算，所以又叫权重的不同进行的平均数的计算，所以又叫“加权平均数加权平均数” ▲在数学上，为了显示若干量数在总量中所在数学上，为了显示若干量数在总量中所具有的重要程度，分别给予不同的比例系具有的重要程度，分别给予不同的比例系数，这就是数，这就是加权加权 加权的指派系数就是权数，又称权重、加权的指派系数就是权数，又称权重、权值 权数分为两种，即权数分为两种，即自重权数自重权数与与加重权加重权数。

数 权重系数是表示某一指标项在指标项权重系数是表示某一指标项在指标项系统中的重要程度，它表示在其它指标项系统中的重要程度，它表示在其它指标项不变的情况下，这一指标项的变化，对结不变的情况下，这一指标项的变化，对结果的影响果的影响 ▲确定权重系数的方法有：确定权重系数的方法有：（（1）经验方法）经验方法        通过访问有经验的专家、学者，以他们通过访问有经验的专家、学者，以他们在实践中的经验分析哪项指标项重要、哪在实践中的经验分析哪项指标项重要、哪项指标项不太重要，从而确定这些指标项项指标项不太重要，从而确定这些指标项的权重系数的大小的权重系数的大小2）多因素统计方法）多因素统计方法        事先设计好一些问卷问题，将各项指标事先设计好一些问卷问题，将各项指标项列出来，以最重要、重要、次重要的等项列出来，以最重要、重要、次重要的等级让调查对象打勾，再将调查的结果进行级让调查对象打勾，再将调查的结果进行统计计算，以计算出来的排序指数的大小统计计算，以计算出来的排序指数的大小来确定权重系数的大小来确定权重系数的大小 ⑴⑴人教版教材和北师大教材在对这部分内容人教版教材和北师大教材在对这部分内容处理的方式上有一些不同。

虽然它们都是处理的方式上有一些不同虽然它们都是先处理自重权数的加权平均数问题（先处理自重权数的加权平均数问题（即教即教材中的情境材中的情境），由此引出加权平均数的概），由此引出加权平均数的概念，再介绍加重权数的加权平均数（念，再介绍加重权数的加权平均数（即教即教材中的例材中的例1 1），再由例题或课堂练习巩固加），再由例题或课堂练习巩固加权平均数的概念和计算人教版第权平均数的概念和计算人教版第2课时则课时则介绍统计中的加权平均数以及用计算器计介绍统计中的加权平均数以及用计算器计算加权平均数算加权平均数• 人教版教材对教学内容的处理方式增加了人教版教材对教学内容的处理方式增加了教师备课的难度教师备课的难度先给出小明一种错误的先给出小明一种错误的计算，再来分析错误的原因计算，再来分析错误的原因但是，分析但是，分析的语言很抽象，不易理解估计有许多教的语言很抽象，不易理解估计有许多教师对教材这样的处理，在理解上是存在障师对教材这样的处理，在理解上是存在障碍的 而北师大版教材的处理方式就很自而北师大版教材的处理方式就很自然，并通过这个处理方式间接地说明自重然，并通过这个处理方式间接地说明自重权数的加权平均数就是算术平均数。

权数的加权平均数就是算术平均数（（2）数学新课程是）数学新课程是“一纲多本一纲多本”模式，对课程模式，对课程标准中规定的教学内容，不同版本的教材有标准中规定的教学内容，不同版本的教材有不同的处理方式因此，不同的处理方式因此，一线教师在备课时一线教师在备课时可多参考几种不同版本的教材，以便在教学可多参考几种不同版本的教材，以便在教学设计时有一个好的选择，帮助提高教学效益设计时有一个好的选择，帮助提高教学效益3）根据教材设计的特点可确定这节课的教学）根据教材设计的特点可确定这节课的教学目标和教学重、难点目标和教学重、难点教教学学目目标标知识与技能知识与技能1.理解算理解算术平均数，加平均数，加权平均数的概念平均数的概念2.会求一会求一组数据的算数据的算术平均数和加平均数和加权平均平均数过程与方法过程与方法      经历探索加探索加权平均数平均数对数据数据处理的理的过程程 ，体，体验对统计基本思想的理解基本思想的理解过程，程，能运用数据信息的分析解决一些能运用数据信息的分析解决一些简单的的实际问题情感态度与价情感态度与价值观值观1.通通过小小组合作的活合作的活动，培养合作意，培养合作意识和和能力。

能力2.通通过解决解决实际问题，体会数学与生活的，体会数学与生活的密切密切联系重点重点 算算术平均数，加平均数，加权平均数的概念及平均数的概念及计算难点难点加加权平均数的概念及平均数的概念及计算•昆明市五华区教科所的教研员石稀林高级昆明市五华区教科所的教研员石稀林高级教师，对这一节课的教学进行了认真而深入教师，对这一节课的教学进行了认真而深入的思考，汲取了人教版和北师大版教材的精的思考，汲取了人教版和北师大版教材的精华，形成了有自己风格的教学设计华，形成了有自己风格的教学设计教师：教师：石稀林石稀林班级：耿马一中七年级（班级：耿马一中七年级（214）（）（215）班）班时间：时间：2010年年7月月28日日 星期三星期三           9:35—11:05(两节课连堂上两节课连堂上)•课前准备课前准备：：给每位同学准备了一张白纸，给每位同学准备了一张白纸，让学生一面作教学笔记，另一面作为演算让学生一面作教学笔记，另一面作为演算草稿通过教学活动，让学生学习作数学草稿通过教学活动，让学生学习作数学笔记的方法笔记的方法一）创设情境（一）创设情境（射击比赛）（射击比赛）教学过程教学过程奥运会射击冠军杜丽正在参加比赛奥运会射击冠军杜丽正在参加比赛•某运动员在一次射击训练中共射击某运动员在一次射击训练中共射击10次，次，总成绩为总成绩为87环，问这名运动员的平均成绩环，问这名运动员的平均成绩是多少？是多少？学生学生1           平均成绩平均成绩=87/10=8.7（环）（环）教师概括：平均数等于数据和除以数据的个教师概括：平均数等于数据和除以数据的个数。

即：数即：•下面是石老师在一次射击训练中的情况：下面是石老师在一次射击训练中的情况：概念一概念一：：                                                                                                                                                                                                                                                                                  石稀林一次射击训练的情况石稀林一次射击训练的情况问题问题1   这次射击练习中，石老师前这次射击练习中，石老师前6次射击成次射击成绩分别是绩分别是8环、环、4环、环、3环、环、5环、环、10环和环和0环，那环，那么么6次射击的平均成绩是次射击的平均成绩是         环，这个平均数叫环，这个平均数叫做做_________平均数平均数.算术算术5（二）提出问题（二）提出问题注：注：在求射击成绩的平均数时，石老师特别在求射击成绩的平均数时，石老师特别请学生交流，怎样计算最快？请学生交流，怎样计算最快？生生2 2：采用凑十的方法，例如把：采用凑十的方法，例如把8 8分解成分解成5+35+3，，一个一个5 5和另一个和另一个5 5凑十，剩下的凑十，剩下的3 3、、4 4、、3 3又可以又可以凑凑1010。

所以所以8+4+3+5+10+0=8+4+3+5+10+0=（（5+55+5））+(3+4+3)+10=30,+(3+4+3)+10=30,3030÷6=5.6=5.•石老师又创设了一个情境石老师又创设了一个情境姚明、科比双雄会姚明、科比双雄会•在出示了这些精彩的照片后，石老师说：在出示了这些精彩的照片后，石老师说：“外行看热闹，内行看门道，石老师想外行看热闹，内行看门道，石老师想成为内行，就从报刊、杂志和网络中收成为内行，就从报刊、杂志和网络中收集了这两支球队的一些信息，请看集了这两支球队的一些信息，请看石老师用多媒体课件出示了下面的材料）（石老师用多媒体课件出示了下面的材料）   40瑞安勃文瑞安勃文2.06米米29岁岁 、、5朱万朱万-霍华德霍华德2.06米米31岁、岁、21杰姆杰姆-杰克逊杰克逊1.98米米34岁、岁、10泰龙泰龙-鲁鲁1.85米米27岁、岁、1特蕾西特蕾西-麦格雷麦格雷迪迪2.03米米25岁、岁、55迪肯贝迪肯贝-穆托姆博穆托姆博2.18米米38岁、岁、9波斯简波斯简-诺科巴诺科巴2.06米米24岁、岁、35斯科特斯科特-帕吉特帕吉特2.06米米28岁、岁、3鲍勃鲍勃-苏拉苏拉1.96米米31岁、岁、2莫里斯莫里斯-泰勒泰勒2.06米米28岁、岁、17查理查理-沃德沃德1.88米米34岁、岁、30克莱伦斯克莱伦斯-韦韦瑟斯瑟斯2.01米米34岁、岁、6安德烈安德烈-巴特瑞巴特瑞1.78米米22岁、岁、11姚明姚明2.26米米24岁、岁、4瑞斯瑞斯-盖尼斯盖尼斯1.98米米23岁。

岁休休 斯斯 敦敦 火火 箭箭 队队•同学们对这一满屏的数据感到很茫然，一时同学们对这一满屏的数据感到很茫然，一时找不到问题的重点现在石老师因势利导地找不到问题的重点现在石老师因势利导地介绍数据收集、整理的程序和方法：介绍数据收集、整理的程序和方法：         石老师：石老师：“同学们，我们用统计的方法同学们，我们用统计的方法处理现实问题时，一般要经历将实际问题中处理现实问题时，一般要经历将实际问题中的数学信息提取出来形成文本材料，当文本的数学信息提取出来形成文本材料，当文本中的信息过多或类别太多时，不利于进一步中的信息过多或类别太多时，不利于进一步分析，这时候我们就需要谁来帮忙呢？分析，这时候我们就需要谁来帮忙呢？”•某学生答：某学生答：“表格表格”石老师表扬了这位同石老师表扬了这位同学，出示了下面的表格：学，出示了下面的表格：号码号码姓姓   名名身高身高/米米年年 龄龄40瑞安勃文瑞安勃文2.06295朱万朱万-霍华德霍华德2.063121杰姆杰姆-杰克逊杰克逊1.983410泰龙泰龙-鲁鲁1.85271特蕾西特蕾西-麦格雷迪麦格雷迪2.032555迪肯贝迪肯贝-穆托姆博穆托姆博2.18389波斯简波斯简-诺科巴诺科巴2.062435斯科特斯科特-帕吉特帕吉特2.06283鲍勃鲍勃-苏拉苏拉1.96312莫里斯莫里斯-泰勒泰勒2.062817查理查理-沃德沃德1.883430克莱伦斯克莱伦斯-韦瑟斯韦瑟斯2.01346安德烈安德烈-巴特瑞巴特瑞1.782211姚明姚明2.26244瑞斯瑞斯-盖尼斯盖尼斯1.9823号码号码姓姓   名名身高身高/米米年年 龄龄8科比科比-布赖恩特布赖恩特1.98269查基查基-阿特金斯阿特金斯1.80305蒂埃里蒂埃里-布朗布朗1.88271卡龙卡龙-巴特勒巴特勒2.01247布赖恩布赖恩-库克库克2.06243迪文迪文-乔治乔治2.032755布莱恩布莱恩-格兰特格兰特2.063220朱梅因朱梅因-琼斯琼斯2.032514斯塔尼斯拉夫斯塔尼斯拉夫-梅德维梅德维2.082531克里斯克里斯-米姆米姆2.13257拉玛尔拉玛尔-奥多姆奥多姆2.082721卡里姆卡里姆-拉什拉什1.982418萨沙萨沙-乌贾基茨乌贾基茨2.01204卢克卢克-沃顿沃顿2.032412弗拉迪弗拉迪-迪瓦茨迪瓦茨2.1636休休斯斯敦敦火火箭箭队队洛洛杉杉矶矶湖湖人人队队•在展示这个情境后，石在展示这个情境后，石老师这样启发：老师这样启发：           在篮球比赛中队员在篮球比赛中队员的身高和年龄都是反映的身高和年龄都是反映球队实力的重要因素，球队实力的重要因素，通过计算身高或年龄的通过计算身高或年龄的平均值，可以间接地反平均值，可以间接地反映这个球队的实力。

下映这个球队的实力下面，我们来计算一下休面，我们来计算一下休斯顿火箭队和洛杉矶湖斯顿火箭队和洛杉矶湖人队各自的平均身高和人队各自的平均身高和平均年龄：平均年龄：休斯顿火箭队的平均身高＝休斯顿火箭队的平均身高＝ （（2.06+2.06+1.98+……+1.98) ÷15=休斯顿火箭队的平均年龄＝休斯顿火箭队的平均年龄＝(29+31+34+……+ 23) ÷15=洛杉矶湖人队的平均身高＝洛杉矶湖人队的平均身高＝(1.98+1.80+1.88+……+2.16) ÷15= 洛杉矶湖人队的平均年龄＝洛杉矶湖人队的平均年龄＝ (26+30+27+……+36) ÷15=11131341相应队员数相应队员数3632302726252420年龄年龄/岁岁小明是这样计算洛杉矶湖人队队员的平均年龄的：小明是这样计算洛杉矶湖人队队员的平均年龄的： 平均年龄＝（平均年龄＝（2020××1 1＋＋2424××4 4＋＋2525××3+263+26××1+271+27××3 3+30+30××1+321+32××1+361+36××1)1)÷÷(1+4+3+1+3+1+1+1) (1+4+3+1+3+1+1+1) ≈24.4≈24.4（岁）（岁）•石老师：大家要认真思考：石老师：大家要认真思考：①①小明这样搜集整理数据有什么好处？小明这样搜集整理数据有什么好处？②②怎么计算洛杉矶湖人队队员的平均年龄？怎么计算洛杉矶湖人队队员的平均年龄？•在石老师的启发下，同学们认识到，在石老师的启发下，同学们认识到，小明这小明这样整理数据，可以更简便地计算平均数。

至样整理数据，可以更简便地计算平均数至于平均年龄的计算，则是根据平均数的定义，于平均年龄的计算，则是根据平均数的定义，总岁数量除以总人数量得到的总岁数量除以总人数量得到的问题问题 3   某某市三个郊县的人数及人均耕地面积如下表市三个郊县的人数及人均耕地面积如下表:郊县郊县人数人数/万万人均耕地面积人均耕地面积/公顷公顷A150.15B70.21C100.18问：这个市三个郊县的人均耕地面积是多少问：这个市三个郊县的人均耕地面积是多少?(精确到精确到0.01公顷公顷)小亮求得小亮求得这个市三个郊县的人均耕地面积为这个市三个郊县的人均耕地面积为应该是应该是你认为你认为小亮的小亮的做法有道理吗做法有道理吗?为什么为什么?三三个郊县的人数（单位：万）１５，７，１０个郊县的人数（单位：万）１５，７，１０分别表达了三分别表达了三个个数据０数据０.１５，０１５，０.２１，０２１，０.１的不１的不同同“重要程度重要程度”，我们称之为，我们称之为 “权权”下面的平均数０下面的平均数０.１７称为三个数加权平均数，１７称为三个数加权平均数，加权平均数如何计算？加权平均数如何计算？注：注：问题问题3是人教版教材的情境，有了问是人教版教材的情境，有了问题题2的讨论和铺垫，学生对问题的讨论和铺垫，学生对问题3的理解难的理解难度降低了。

现在石老师进一步提出：度降低了现在石老师进一步提出：概念二：概念二：             一般地，若一般地，若n个数个数x1,x2,…,xn的权分的权分别别是是w1,w2,…,wn ，我们把，我们把    叫做这叫做这n个数个数的的加权平均数加权平均数,记作记作1.1.平均数平均数平均数平均数（三）新概念引入（三）新概念引入x1w1+x2w2+…+xn wn         w1+w2+…+ wn “权权”只是数据的个数吗只是数据的个数吗？？由于由于“权权”既是这节课的重点，也是这节既是这节课的重点，也是这节课的难点，石老师又提出一个问题：课的难点，石老师又提出一个问题：问题问题4    一家公司对甲、乙二名应聘者进行了一家公司对甲、乙二名应聘者进行了听、说、读、写听、说、读、写 的英语水平的英语水平测试，他们测试，他们的成绩如下表所示：的成绩如下表所示：应试者应试者    听听    说说     读读    写写   甲甲   85   82    78   75   乙乙   73   80    85   82(1)你应该招聘谁你应该招聘谁?(2)我们应添加什么条件才能招聘到我们想我们应添加什么条件才能招聘到我们想要的人才要的人才?问题问题4    一家公司对甲、乙二名应聘者进行了一家公司对甲、乙二名应聘者进行了听、说、读、写的英语水平听、说、读、写的英语水平测试，他们的成测试，他们的成绩如下表所示：绩如下表所示：应试者应试者     听听    说说     读读    写写   甲甲   85   82    78   75   乙乙   73   80    85   82      如果这家公司想招一名口语能力较强的翻译，如果这家公司想招一名口语能力较强的翻译，听、说、读、写的成绩按照听、说、读、写的成绩按照3：：3：：2：：2的比确的比确定，计算两名应试者的平均成绩。

从他们的成定，计算两名应试者的平均成绩从他们的成绩看，应该录取谁？绩看，应该录取谁？ 问题问题4    一家公司对甲、乙二名应聘者进行了一家公司对甲、乙二名应聘者进行了听、说、读、写听、说、读、写 的英语水平的英语水平测试，他们测试，他们的成绩如下表所示：的成绩如下表所示：应试者应试者    听听    说说     读读    写写   甲甲   85   82    78   75   乙乙   73   80    85   82      如果这家公司想招一名笔译能力较强的翻译，如果这家公司想招一名笔译能力较强的翻译，按照听的成绩占按照听的成绩占10%、说成绩占、说成绩占20%、读成绩、读成绩占占20%、写的成绩占、写的成绩占50%的比例确定，计算两的比例确定，计算两名应试者的平均成绩应该录取谁？名应试者的平均成绩应该录取谁？ •石老师对问题石老师对问题4的处理方式是的处理方式是“师生共作师生共作”，，在处理完问题在处理完问题4后，石老师总结：后，石老师总结：①①“权权”分为两种：分为两种：“自重权自重权”和和“赋权赋权”；；②②算术平均数是特殊的加权平均数，特殊在每算术平均数是特殊的加权平均数，特殊在每个数的权都是个数的权都是1。

•为了加深同学对为了加深同学对“权权”和和“加权平均加权平均”这两这两个概念的理解以及对个概念的理解以及对“自重权自重权”和和“赋权赋权”的区分的区分，，石老师结合问题石老师结合问题2、问题、问题3、问题、问题4对对权作了进一步的解释权作了进一步的解释11131341相应队员数相应队员数3632302726252420年龄年龄/岁岁郊县郊县人数人数/万万人均耕地面积人均耕地面积/公顷公顷A150.15B70.21C100.18听、说、读、写的成绩按照听、说、读、写的成绩按照3：：3：：2：：2的比的比听的成绩占听的成绩占10%、说成绩占、说成绩占20%、读成绩、读成绩占占20%、写的成绩占、写的成绩占50%的比例确定的比例确定问题问题2问题问题3问题问题4问题问题4例：某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙两位候选例：某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙两位候选人进行了面试和笔试，他们的成绩如下表所示：人进行了面试和笔试，他们的成绩如下表所示：候选人候选人测试成绩（百分制）测试成绩（百分制）面试面试笔试笔试甲甲8690乙乙9283（（1）如果公司认为，面试和笔试成绩同等重要，从）如果公司认为，面试和笔试成绩同等重要，从他们的成绩看，谁将被录取？他们的成绩看，谁将被录取？ （（2 2）如果公司认为，作为公关人员面试成绩应该）如果公司认为，作为公关人员面试成绩应该比笔试成绩更重要，并分别赋予它们比笔试成绩更重要，并分别赋予它们6 6和和4 4的权，计算的权，计算甲、乙两人各自的平均成绩，看看谁将被录取？甲、乙两人各自的平均成绩，看看谁将被录取？（四）巩固与练习（四）巩固与练习2.某班某班20人参加数学竞赛，人参加数学竞赛，90分有分有6人，人，88分有分有4人，人，85分有分有3人，人，80分有分有7人，该班数学竞赛的平人，该班数学竞赛的平均分是均分是                    .             3 3. .有有3 3个数据的平均数为个数据的平均数为6 6，有，有7 7个数据的平均数为个数据的平均数为 9 9，则这，则这1010个数据的平均数为个数据的平均数为 . . 练习练习A:8.11 1. .某市的某市的7 7月下旬月下旬1010天的最高气温统计如下天的最高气温统计如下: : 气温气温/ /℃℃ 35 35 34 34 33 33 32 32 28 28天数天数2 23 32 22 21 1（（2 2）该市）该市7 7月下旬月下旬1010天的最高气温的平均数是天的最高气温的平均数是__________，，这个平均数是这个平均数是                    平均数平均数. .（（1 1）在这十个数据中，）在这十个数据中，3434的权是的权是_____,32_____,32的权是的权是___.___.33加权加权3285.35练习练习B  一次演讲比赛中，评委将从演讲内容，一次演讲比赛中，评委将从演讲内容，演讲能力，演讲效果三个方面为选手打分，各演讲能力，演讲效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制，然后再按演讲内容占项成绩均按百分制，然后再按演讲内容占50%，演讲能力占，演讲能力占40%，演讲效果占，演讲效果占10%的比例，的比例，计算选手的综合成绩（百分制）。

进入决赛的计算选手的综合成绩（百分制）进入决赛的前两名选手的单项成绩如下表所示：前两名选手的单项成绩如下表所示：   请决出两人的名次请决出两人的名次选手选手演讲内容演讲内容演讲能力演讲能力演讲效果演讲效果A859595B958595练习练习C：：　　     晨光中学规定学生的学期体育成晨光中学规定学生的学期体育成绩满分为绩满分为100分，其中早锻炼及体育分，其中早锻炼及体育课活动占课活动占20%，期中考试成绩占，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占，期末考试成绩占50%，小桐的三项，小桐的三项成绩（百分制）依次是成绩（百分制）依次是95分、分、90分、分、85分，小桐这学期的体育成绩是多少分，小桐这学期的体育成绩是多少？？我们的收获我们的收获①①热爱生命，热爱体育，培养健康丰富的兴趣热爱生命，热爱体育，培养健康丰富的兴趣爱好②②读懂题目读懂题目, ,正确理解相关背景知识提取和扩正确理解相关背景知识提取和扩展题目中给出的关键数据及数量关系展题目中给出的关键数据及数量关系, ,明确要解明确要解决的问题决的问题③ ③ 善于总结，类比研究，是提升理科学习能力善于总结，类比研究，是提升理科学习能力的有效途径。

的有效途径④④经历了从特殊到一般，用分类思想讨论问题经历了从特殊到一般，用分类思想讨论问题的方法，把实际问题转化数学问题的过程的方法，把实际问题转化数学问题的过程五）小结（五）小结思考题思考题•石老师在一次射击训练中，前石老师在一次射击训练中，前6枪的平均成枪的平均成绩是绩是5环如果让石老师再打环如果让石老师再打4枪，总平均枪，总平均成绩有可能是成绩有可能是7环吗？环吗？•学生学生3：前：前6次射击，石老师共打了次射击，石老师共打了30环，环，如果后如果后4次射击都打次射击都打10环，成绩是环，成绩是40环所以，石老师总平均成绩有可能是以，石老师总平均成绩有可能是7环•教师：教师：“请大家课下再思考，如果平均成请大家课下再思考，如果平均成绩要超过绩要超过6.76.7环，那么第环，那么第7 7枪至少要打几环枪至少要打几环？？””评析评析⑴⑴这节课是一节统计知识的概念教学课，教学这节课是一节统计知识的概念教学课，教学过程设计合乎概念教学的一般程序过程设计合乎概念教学的一般程序 实例实例问题问题概念概念抽象抽象概括概括下定义或释义下定义或释义讲性质讲性质练习练习鉴别、巩固鉴别、巩固例题例题应用应用认识阶段认识阶段鉴别、巩固阶段鉴别、巩固阶段应用阶段应用阶段⑵⑵ 整节课的教学过程为：整节课的教学过程为：创设情境创设情境—提出问题提出问题—解决问题解决问题—拓展应用拓展应用•教师所创设的情境比较生动，既紧扣教学内教师所创设的情境比较生动，既紧扣教学内容，又贴近七年级同学的生活经验和心理特容，又贴近七年级同学的生活经验和心理特征。

征•这节课石老师设计了四个问题，它们之间环这节课石老师设计了四个问题，它们之间环环相扣，便于教师以问题驱动教学，在解决环相扣，便于教师以问题驱动教学，在解决问题的过程中引入概念、渗透概念问题的过程中引入概念、渗透概念•所设计的例题和练习有利于理解概念，对完所设计的例题和练习有利于理解概念，对完成教学目标有促进作用成教学目标有促进作用⑶⑶教学中的亮点是教师的启发式提问，针对这教学中的亮点是教师的启发式提问，针对这节课的中心内容：节课的中心内容：“算术平均数算术平均数”、、“加权加权平均数平均数”、、“自重权自重权”、、“赋权赋权” ，通过启，通过启发式提问，让学生逐步在思考中加深对概念发式提问，让学生逐步在思考中加深对概念的理解⑷⑷注重学生的学习习惯和学习方法的培养例注重学生的学习习惯和学习方法的培养例如，怎么阅读教材，尤其是怎么读统计表；如，怎么阅读教材，尤其是怎么读统计表；怎么作笔记；教师注意让学生学习从材料中怎么作笔记；教师注意让学生学习从材料中提取关键信息；注重学生书写的格式和规范提取关键信息；注重学生书写的格式和规范性等⑸⑸教师还非常重视教学语言的应用，既有手势教师还非常重视教学语言的应用，既有手势语言，眼神表情也丰富多样，数学语言（文语言，眼神表情也丰富多样，数学语言（文字、图形、符号）互相协调，在教学中起到字、图形、符号）互相协调，在教学中起到了显著的作用，而且教师诙谐幽默的语言活了显著的作用，而且教师诙谐幽默的语言活跃了课堂气氛。

跃了课堂气氛⑹⑹本节课的板书设计也很精心，板书与多媒体本节课的板书设计也很精心，板书与多媒体课件起到了相辅相成的作用教师以课件起到了相辅相成的作用教师以“实物实物（直观）（直观）→→文本文本→→表格表格→→整理表格整理表格→→统计图统计图 ””为线索贯穿教学，并将此线索板书于黑板为线索贯穿教学，并将此线索板书于黑板右侧右侧            从这节课的教学设计和教学实施中我们有如从这节课的教学设计和教学实施中我们有如下的启示：下的启示：⑴⑴学生的数学学习过程一般为：学生的数学学习过程一般为：                    感知感知——保持保持——再现再现•目前，初中学生在目前，初中学生在“感知感知”中存在的问题是中存在的问题是认知不全面，这就要求教师在进行教学设计认知不全面，这就要求教师在进行教学设计和教学实施时，要注意和教学实施时，要注意“知识优化知识优化 ”、、“语语言优化言优化”、、“板书优化板书优化”，以帮助学生建构，以帮助学生建构知识，完善认知知识，完善认知               启示启示•学生在学生在“保持保持”中存在的问题是：中存在的问题是：①①消退消退（大脑中记忆痕迹随着时间的推移而（大脑中记忆痕迹随着时间的推移而衰退）；衰退）；②②信息提取失败信息提取失败（由于信息量的（由于信息量的增加和贮存不当，学生往往不能有效地提增加和贮存不当，学生往往不能有效地提取需要的信息）。

取需要的信息）帮助学生增强记忆的方法有：帮助学生增强记忆的方法有：①①复述，在复述时要注意表象与文字间的交复述，在复述时要注意表象与文字间的交互作用；互作用；②②关键词记忆法；关键词记忆法；③③让学生重新组织教学内容；让学生重新组织教学内容；④④让学生学习做学习笔记让学生学习做学习笔记⑵⑵支持学生的学习支持学生的学习      这里首要的问题是分析学生的学习障碍，这里首要的问题是分析学生的学习障碍，学生的学习障碍一般分为：学生的学习障碍一般分为：•知识性难点知识性难点（如本节课中（如本节课中“加权平均数加权平均数”的的概念）概念）•理解性难点理解性难点（如本节课中对（如本节课中对“权权”的理解）的理解）•思维性难点思维性难点（如何时该用算术平均数，何时（如何时该用算术平均数，何时该用加权平均数）该用加权平均数）       帮助学生克服学习障碍的有效措施之一是帮助学生克服学习障碍的有效措施之一是延长认知过程延长认知过程和和学习内容的螺旋上升学习内容的螺旋上升第一次备课第一次备课————摆进自我，不看任何参考书摆进自我，不看任何参考书与文献，全按个人见解准备方案；与文献，全按个人见解准备方案；第二次备课第二次备课————广泛涉猎，分类处理各种文广泛涉猎，分类处理各种文献的不同见解（我有他有，我无他有，我有献的不同见解（我有他有，我无他有，我有他无）后修改方案；他无）后修改方案；第三次备课第三次备课————边教边改，在设想与上课的边教边改，在设想与上课的不同细节中，区别顺利与困难之处，课后再不同细节中，区别顺利与困难之处，课后再““备课备课””；；•这个观点可供同学们参考。

这个观点可供同学们参考　　　　⑶⑶要创造性地备课要创造性地备课顾泠沅教授提倡教师这样备课：顾泠沅教授提倡教师这样备课：⑷⑷一堂好的数学课要能体现三个层面的有机一堂好的数学课要能体现三个层面的有机结合：结合：对数学知识的深刻理解对数学知识的深刻理解，，数学思想数学思想的有机渗透的有机渗透，，数学文化的感染熏陶数学文化的感染熏陶          好课之所以好课之所以“好好”，往往并非面面俱到，，往往并非面面俱到，而是教师凭自身的智慧与个人专业特色去而是教师凭自身的智慧与个人专业特色去赋予课堂以独具的魅力，如与学生的沟通，赋予课堂以独具的魅力，如与学生的沟通，解决学生学习心向问题，不断改进和监控解决学生学习心向问题，不断改进和监控教学，注意复习的针对性与学习的正迁移教学，注意复习的针对性与学习的正迁移等图形的放大与缩小图形的放大与缩小课课  例例教材：北师大版数学八年级下册第四章教材：北师大版数学八年级下册第四章教材设计教材设计⑴⑴情境：一组形状相同的图形：情境：一组形状相同的图形：CDEFP①②③④⑤A.B       在图片在图片①①上取一点上取一点A，它与另一张图片，它与另一张图片（如图片（如图片②②）的相应点）的相应点B之间的连线是否之间的连线是否经过镜头中心经过镜头中心P？在图片上换其它点试一？在图片上换其它点试一试，还有类似规律吗？试，还有类似规律吗？⑵⑵概念：如果两个图形不仅是相似图形，而概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的图形叫做那么这样的图形叫做位似图形位似图形,这个点叫这个点叫做做位似中心位似中心，这时的相似比又称为，这时的相似比又称为位似比位似比。

 ⑶⑶做一做做一做o⑴⑴⑵⑵P⑶⑶图图4-28在图在图4-28中，中，⑴⑴中的两个图形是位似图形，中的两个图形是位似图形，⑶⑶中的两个图形也是位似图形，中的两个图形也是位似图形，⑵⑵中的两中的两个图形不是位似图形个图形不是位似图形1.分别指出图分别指出图⑴⑴ ⑶⑶各自的位似中心各自的位似中心2.在图在图⑴⑴中任取一对对应点，度量这两个点中任取一对对应点，度量这两个点到位似中心的距离它们的比与位似比有到位似中心的距离它们的比与位似比有怎样的关系？在图怎样的关系？在图⑶⑶中再试一试，还有类中再试一试，还有类似规律吗？似规律吗？⑷⑷性质性质      位似图形上任意一对对应点到位似中心的位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比距离之比等于位似比⑸⑸想一想想一想      你还记得本章第你还记得本章第3节用橡皮筋放大图形的节用橡皮筋放大图形的方法吗？实际上，使用这种方法，放大前后方法吗？实际上，使用这种方法，放大前后的两个图形是位似图形你能用这种方法将的两个图形是位似图形你能用这种方法将一个已知的多边形放大，使放大后的图形与一个已知的多边形放大，使放大后的图形与原图形的位似比分别是原图形的位似比分别是3和和4吗？吗？⑹⑹随堂练习随堂练习教材分析教材分析•课题：课题：“图形的放大与缩小图形的放大与缩小”是北师大版数是北师大版数学教材第四章相似图形的第学教材第四章相似图形的第9个单元。

在这个单元在这一章中先介绍线段的比，再介绍黄金分割以一章中先介绍线段的比，再介绍黄金分割以及形状相同的图形，以此引入本章的主要内及形状相同的图形，以此引入本章的主要内容：相似多边形、相似三角形，接着探讨三容：相似多边形、相似三角形，接着探讨三角形相似的条件，三角形相似在实际中的应角形相似的条件，三角形相似在实际中的应用（测量旗杆的高度），讨论相似多边形的用（测量旗杆的高度），讨论相似多边形的性质，最后是图形的放大与缩小性质，最后是图形的放大与缩小⑴⑴“图形的放大与缩小图形的放大与缩小”本质上是讨论位似图本质上是讨论位似图形及其性质和应用根据教材设计的特点，形及其性质和应用根据教材设计的特点，本节课的教学任务是：了解位似图形及其有本节课的教学任务是：了解位似图形及其有关概念，通过关概念，通过实验几何实验几何的方法（测量），得的方法（测量），得到一个位似的性质：到一个位似的性质：位似图形上任意一对对位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比应点到位似中心的距离之比等于位似比最最后，学习怎样利用位似变换放缩图形后，学习怎样利用位似变换放缩图形     这里位似图形、位似中心、位似比是数学这里位似图形、位似中心、位似比是数学概念，但在概念，但在《《课程标准课程标准》》的要求中只需要了的要求中只需要了解（解（过去人教版教材，过去人教版教材，““位似位似””是打是打* *号的内号的内容，中考不考。

容，中考不考⑵⑵在学习本节课之前，学生已经了解过一些在学习本节课之前，学生已经了解过一些放缩图形的方法，但他们并没有真正明白放缩图形的方法，但他们并没有真正明白其中的道理，通过本节课的学习，结合学其中的道理，通过本节课的学习，结合学生的前学习经验，将得到对几何变换比以生的前学习经验，将得到对几何变换比以往深刻一些的理解教师在备课时，最好往深刻一些的理解教师在备课时，最好对几何变换及相关知识进行梳理，以得到对几何变换及相关知识进行梳理，以得到教学设计的灵感和源泉教学设计的灵感和源泉 ⑶⑶什么是几何？什么是几何？   19世纪德国数学家克莱因在世纪德国数学家克莱因在1872年指出：年指出：“… …… …可以考虑空间一一变换的任何一个群，可以考虑空间一一变换的任何一个群，而且研究在这个群下一切变换下保留不变的而且研究在这个群下一切变换下保留不变的图形性质图形性质 … …… …因此，运动群下图形不变因此，运动群下图形不变性质（性质（距离、角度、面积距离、角度、面积）的研究，就构成）的研究，就构成欧几里德几何（欧几里德几何（即义务教育阶段中学习的几即义务教育阶段中学习的几何何）） … … … … 。

       按照克莱因的观点，几何变换是学习几何按照克莱因的观点，几何变换是学习几何的的“钥匙钥匙”数学新课程在数学新课程在“空间与图形空间与图形”这个学习领域中就特别重视几何变换在义这个学习领域中就特别重视几何变换在义务教育阶段，涉及到的几何变换有：务教育阶段，涉及到的几何变换有：平移、平移、旋转、轴对称、相似旋转、轴对称、相似（特例是（特例是位似位似）⑷⑷关于位似变换关于位似变换  给定一点给定一点S和一数和一数K≠0.将任一点将任一点M与定点与定点S连线，在此直线上取一点连线，在此直线上取一点N，使有向线段，使有向线段之比：之比：SN/SM=K，则称点，则称点N是是M的的位似点位似点；；定点定点S称为称为位似中心位似中心，，K称为称为位似比位似比①①K＞＞0，这时的位似称为正位似；，这时的位似称为正位似； K＜＜0则则为反位似为反位似②②|K|＞＞1，将放大图形，，将放大图形，0＜＜|K|＜＜1，将缩小，将缩小图形•特别地，平移可以看作是一个正位似，此时位特别地，平移可以看作是一个正位似，此时位似心不存在，或者说位似心是无穷远点似心不存在，或者说位似心是无穷远点;k=-1,此时反位似成为中心反射。

此时反位似成为中心反射•位似还有如下的一些性质：位似还有如下的一些性质：  ①①位似图形上任意一对对应点到位似中心的距位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比离之比等于位似比  ②②若两个多边形成位似，则对应顶点的角相等，若两个多边形成位似，则对应顶点的角相等，对应边成比例对应边成比例  ③③图形的位似具有反身性、对称性、传递性图形的位似具有反身性、对称性、传递性  ④④若三个图形彼此互相位似，则三个位似中心若三个图形彼此互相位似，则三个位似中心共线【【注注】】性质性质①①、、②②说明：说明：          位似图形与相似图形的一个重要位似图形与相似图形的一个重要区别就是：区别就是：两个图形位似不仅对应顶两个图形位似不仅对应顶点连线过同一个点，而且不在同一直点连线过同一个点，而且不在同一直线上的对应边平行线上的对应边平行                   我们看一个例子：我们看一个例子：如图如图,已知已知△△ABC∽△∽△DEF，， 它它们对应顶点的连线们对应顶点的连线AD,BE,CF相交于点相交于点O,这两个三角形是不是位这两个三角形是不是位似三角形似三角形?0BECFAD◆◆过去九年义务教育教材对位似图形的过去九年义务教育教材对位似图形的定义是：定义是：          如果两个图形不仅相似如果两个图形不仅相似, ,而且每组而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点对应顶点所在的直线都经过同一个点, ,不在同一直线上的不在同一直线上的对应边互相平行对应边互相平行，，那么这样的两个图形叫做那么这样的两个图形叫做位似图形位似图形。

◆◆北师大版教材关于位似的定义是不够北师大版教材关于位似的定义是不够严谨的，这是需要向老师们指出的严谨的，这是需要向老师们指出的•位似与运动（平移或旋转）或轴对称之位似与运动（平移或旋转）或轴对称之积称为积称为相似变换相似变换因此，相似变换就是相似变换就是将一个图形放大或缩小（将一个图形放大或缩小（这是位似这是位似），），再改变它在平面图形上的位置（再改变它在平面图形上的位置（这是运这是运动或轴对称动或轴对称）由此知，由此知，位似是相似的位似是相似的一种特殊情况，两者的区别是位似图形一种特殊情况，两者的区别是位似图形任意一对对应点的连线总是通过位似心，任意一对对应点的连线总是通过位似心，不在同一直线上的对应边平行，相似图不在同一直线上的对应边平行，相似图形一般不具备这个特点（即相似图形不形一般不具备这个特点（即相似图形不存在位似心）存在位似心）⑸⑸由于教材编写的历史原因，中学几何教材总由于教材编写的历史原因，中学几何教材总是先介绍相似，再讨论位似，而且总将位似是先介绍相似，再讨论位似，而且总将位似作为一个难点对待对于本节课的教学重点：作为一个难点对待对于本节课的教学重点：位似图形及相关概念位似图形及相关概念，一定要讲清楚：，一定要讲清楚：①①位似和相似的关系，以及如何判断一个图形位似和相似的关系，以及如何判断一个图形是位似图形而不是相似图形；是位似图形而不是相似图形；②②位似比就是相似比；位似比就是相似比；③③位似的作用是放缩图形，以及如何放缩图形。

位似的作用是放缩图形，以及如何放缩图形第二章第二章2.2 结束结束。