浙江省杭州市常春藤A-Level国际高中2020年高一数学理联考试题含解析.docx
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浙江省杭州市常春藤A-Level国际高中2020年高一数学理联考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 圆的圆心到直线的距离为，则=（）A．B．C．D．2参考答案：A2. 方程的三根 ,,，其中<<，则所在的区间为A． B．（0 , 1 ） C．（1, ） D．（ , 2）参考答案：B3. 把21化为二进制数，则此数为（ ）A. 10011（2） B. 10110（2） C. 10101（2） D. 11001（2）参考答案：C解：21÷2=10…110÷2=5…05÷2=2…12÷2=1…01÷2=0…1故21（10）=10101（2）4. 程序框图符号“ ”可用于（ ）A、输出a=10 B、赋值a=10 C、判断a=10 D、输入a=10参考答案：B略5. （7）方程表示的图形是（ ）A、以(a,b)为圆心的圆 B、点(a,b)C、(－a,－b)为圆心的圆 D、点(a,－b)参考答案：D略6. 若，两个等差数列，，，与，，，，的公差分别为，，则等于（ ） 参考答案：C略7. 下列图形中不可能是三棱柱在平面上的投影的是A B C D参考答案：C8. （5分）以（1，1）和（2，﹣2）为一条直径的两个端点的圆的方程为（） A． x2+y2+3x﹣y=0 B． x2+y2﹣3x+y=0 C． x2+y2﹣3x+y﹣=0 D． x2+y2﹣3x﹣y﹣=0参考答案：B考点： 圆的标准方程． 专题： 直线与圆．分析： 以（1，1）和（2，﹣2）为直径的圆的圆心为（，﹣），半径为：r==．由此能求出圆的方程．解答： 以（1，1）和（2，﹣2）为直径的圆的圆心为（，﹣），半径为：r==．∴圆的方程为（x﹣）2+（x+）2=，整理，得x2+y2﹣3x+y=0．故选：B．点评： 本题考查圆的标准方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程的合理运用．9. 下列函数中是偶函数的是 ( ) A. B. C. D.参考答案：D10. 直线x+2y﹣3＝0与直线2x+ay﹣1＝0垂直，则a的值为（ ）A. ﹣1 B. 4 C. 1 D. ﹣4参考答案：A【分析】由两直线垂直的条件，列出方程即可求解，得到答案．【详解】由题意，直线与直线垂直，则满足，解得，故选：A．【点睛】本题主要考查了两直线位置关系的应用，其中解答中熟记两直线垂直的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 集合的子集有且仅有两个，则实数a = 。
参考答案：略12. 等差数列中，已知，，则的取值范围是__▲_____.参考答案：，即的取值范围是 13. 在△ABC中，若，，成等差数列，且三个内角A，B，C也成等差数列，则△ABC的形状为____．参考答案：等边三角形分析：由lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列得到角A，B，C的三角函数关系，再由A，B，C也成等差数列得到角B等于60°，然后联立并展开两角和与差的正弦求解答案．详解：因为lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列，得lgsinA+lgsinC=2lgsinB，即sin2B=sinAsinB①又三内角A，B，C也成等差数列，所以B=60°．代入①得sinAsinB=②假设A=60°-α，B=60°+α．代入②得sin（60°+α）sin（60°-α）=．展开得，cos2α?sin2α＝．即cos2α=1．所以α=0°．所以A=B=C=60°．故答案为等边三角形．点睛：本题考查了等差数列的性质，考查了三角函数的化简与求值，训练了对数的运算性质，是中低档题．14. 设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1．若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】通过讨论m=0成立，m≠0时，结合二次函数的性质求出m的范围即可．【解答】解：m=0时f（x）=﹣1＜0成立，或m≠0时，结合题意得：，解得：﹣4＜m≤0，因此实数m的取值范围（﹣4，0]．15. 如图，等腰梯形的底边长分别为8和6，高为7，圆为等腰梯形的外接圆，对于平面内两点，（），若圆上存在点，使得，则正实数的取值范围是 ．参考答案：[2,8]16. 已知函数，若，则实数m的取值范围是 参考答案：17. 函数的单调增区间是 .参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知求的值参考答案：解析：19. 本小题满分12分）如图，圆柱轴截面ABCD是正方形，E是底面圆周上不同于A、B的一点，AF⊥DE于F1）求证：AF⊥BD（2）若圆柱的体积是三棱锥D-ABE的体积的倍，求直线DE与平面ABCD所成角的正切值参考答案：（1）证明: ∵ ∴ ∵为底面圆的直径 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴∵ ∴ （２）过E在底面上作于，连结∵ ∴于是为直线与平面所成的角 设圆柱的底面半径为，则其母线为由 即 得即为底面圆心 又 20. （本小题满分10分) 用定义法证明函数在区间是减函数参考答案：设且，则 ，，， 即所以，函数在区间是减函数21. 已知向量、满足：||=1，||=4，且、的夹角为60°．（1）求（2﹣）?（+）；（2）若（+）⊥（λ﹣2），求λ的值．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】（1）由条件利用两个向量的数量积的定义，求得的值，可得（2﹣）?（+）的值．（2）由条件利用两个向量垂直的性质，可得，由此求得λ的值．【解答】解：（1）由题意得，∴．（2）∵，∴，∴，∴λ+2（λ﹣2）﹣32=0，∴λ=12．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于基础题．22. 为了解某校今年高一年级女生的身体素质状况，从该校高一年级女生中抽取了一部分学生进行“掷铅球”的项目测试，成绩低于5米为不合格，成绩在5至7米（含5米不含7米）的为及格，成绩在7米至11米（含7米和11米，假定该校高一女生掷铅球均不超过11米）为优秀．把获得的所有数据，分成[1,3),[3,5),[5,7)[7,9),[9,11]五组，画出的频率分布直方图如图所示．已知有4名学生的成绩在9米到11米之间．（1）求实数a的值及参加“掷铅球”项目测试的人数；（2）若从此次测试成绩最好和最差的两组中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试，求所抽取的2名学生自不同组的概率．参考答案：（1）、；（2）. （Ⅰ）由题意可知， 解得.所以此次测试总人数为． ..............4分 答：此次参加“掷铅球”的项目测试的人数为人． （Ⅱ）设从此次测试成绩最好和最差的两组中随机抽取名学生自不同组的事件为 ：由已知，测试成绩在有人， 记为，；在有人，记为．..................6分 从这人中随机抽取人有 ，共种情况． 事件包括共种情况． ...............10分 所以． 答：随机抽取的名学生自不同组的概率为. .................12分 。
