2020版数学（理）热点练20函数与导数（解答题）pdf解析版.pdf

猜押练一致胜高考必须掌握的20 个热点新高考热点练 20函数与导数（解答题）考向 1 导数与函数的单调性、极值问题1. 已知函数 f(x)=x2-3ax+a2ln x(a R). (1) 求 f(x) 的单调区间 ; (2) 若对于任意的 xe2(e 为自然对数的底数 ),f(x)0恒成立, 求 a的取值范围 . 2. 已知函数 f(x)=2aln x-ax-1(a0). (1) 讨论 f(x) 的单调性 ; (2) 若 f(x)+(a+1)x+2-e0 对任意 xe,e2恒成立 , 求实数 a 的取值范围 (e 为自然常数 ). 考向 2 导数与函数的最值与范围问题1. 设函数 f(x)=x2-aln x. (1) 讨论函数 f(x) 的单调性 . (2) 当 a=2 时, 求函数 f(x) 在上的最大值和最小值 ; 若存在 x1,x2, ,xn, 使得 f(x1)+f(x2)+f(xn-1) f(xn) 成立,求 n的最大值. 2. 已知函数 f(x)=x-axln x+1(a0)在点(2,f(2)处的切线方程为 y=kx+3. (1) 求 a 的值. (2) 设 g(x)=, 求函数 g(x) 在-1,+ )上的最大值 . 考向 3 导数与函数的零点问题1. 已知函数 f(x)=ax-a+1-(其中 a 为常数且 aR) (1) 若函数 f(x) 为减函数 , 求实数 a 的取值范围 ; (2) 若函数 f(x) 有两个不同的零点 , 求实数 a 的取值范围 , 并说明理由 . 2. 已知函数 f(x)=x3-ax2+x+4. (1) 求函数 f(x) 在 x=0 处的切线方程 ; (2) 若对任意的 x(0,+ ),f(x)+f(-x)4ln x+8 恒成立 , 求 a 的取值范围 ; (3) 当 a=3时, 设函数 g(x)=f(x)-kx.证明: 对于任意的 k-x2-4. 2. 已知方程 x3+ax2+bx+c=0(a,b,c R). (1) 设 a=b=4,方程有三个不同实根 , 求 c 的取值范围 ; (2) 求证:a2-3b0 是方程有三个不同实根的必要不充分条件. 猜押练一致胜高考必须掌握的20 个热点热点练 20 函数与导数（解答题）考向 1 导数与函数的单调性、极值问题1. 【解析】 (1)f(x)的定义域为 (0,+ ). f (x)=2x-3a+=. 当 a0 时,f (x)0 恒成立 ,f(x)的单调递增区间为 (0,+ ), 无单调递减区间; 当 a0 时, 由 f (x)0 解得 x(a,+ ), 由 f(x)0 恒成立,f(x)在(0,+ )上单调递增 , 所以 f(x) f(e2)=e4-3ae2+2a20 恒成立, 符合题意 . 当 a0 时, 由(1) 知,f(x)在和(a,+ )上单调递增 , 在上单调递减. (i) 若 0e2 , 即 a2e2时,f(x)在上单调递增 , 在上单调递减 , 在(a,+ ) 上单调递增 . 所以对任意的实数xe2,f(x)0 恒成立 , 只需 f(e2)0, 且 f(a) 0. 而当 a2e2时, f(e2)=2a2-3ae2+e4=(2a-e2)(a-e2) 0 且 f(a)=a2-3a2+a2ln a=a2(ln a-2) 0 成立. 所以 a2e2符合题意 . (ii)若 e2a 时,f(x)在e2,a) 上单调递减 , 在a,+ )上单调递增 . 所以对任意的实数xe2,f(x)0 恒成立 , 只需 f(a) 0 即可, 此时 f(a)=a2-3a2+a2ln a=a2(ln a-2)0 成立, 所以 e2aa,f(x)在e2,+ )上单调递增 . 所以对任意的实数xe2,f(x)0 恒成立 , 只需 f(e2)=e4-3ae2+2a20, 即 f(e2)=e4-3ae2+2a2=(2a-e2)(a-e2) 0, 所以 00), 当 a0时,f(x)的单调增区间为 (0,2,单调减区间为 2,+ ); 当 a0时,f(x)的单调增区间为 2,+ ), 单调减区间为 (0,2; (2) 令 F(x)=2aln x-ax-1+ax+x+2-e=2aln x+x+1-e, 令 F(x)=0, 得 x=-2a, 若-2ae, 即 a- ,F(x) 在e,e2 上是增函数 ,F(x)max=F(e2)=4a+e2-e+10,a 无解; 若 e-2ae2,-a- , F(x) 在e,-2a上是减函数 , 在-2a,e2上是增函数 ,F(e)=2a+1 0,a-, F(e2)=4a+e2-e+10,a, 所以-0时, 令 f (x)0, 得 x, 所以函数 f(x) 在上单调递增 ; 令 f(x)0, 得 x0时, 函数 f(x) 在上单调递增 , 在上单调递减 . (2) 当 a=2时, 由(1) 知,函数 f(x) 在上单调递减 , 在(1,e 上单调递增 . 故f(x)min=f(1)=1, 又因为 f=+23,5.29=2.72-2f(e)=e2-22.82-2=5.84, 故 f(x)max=f(e)=e2-2. 由于 e2-2=f(e) f(xn)f(x1)+f(x2)+f(xn-1)(n-1)f(1)=n-1,故 ne2-17. 由于 x时,f(x)1,e2-2, 取 x1=x2=x3=x4=x5=1, 则 f(x1)+f(x2)+f(x5)=50),则 f (x)=-aln x+1-a, k=f (2)=-(ln 2)a-a+1,而 f(2)=3-(2ln 2)a, 代入切线方程 :3-(2ln 2)a=2(-aln 2+1-a)+3,解得 a=1. (2) 由 f(x)=x-xln x+1,知 f (x)=-ln x, 令 f(x)0, 解得 0 x1;f (x)1, 所以 f(x) 在(0,1) 上单调递增 ,f(x)在(1,+ )上单调递减 , 所以 f(x)max=f(1)=2, 根据图象的变换可得 , 当 x=0 时, 函数 f(x+1)max=f(1)=2, 再设 h(x)=, 当 x-1 时,h(x)=0, h(x)=, 令 h(x)0, 解得-1x0;h (x)0, h(x) 在(-1,0)上单调递增 , 在(0,+ )上单调递减 ,h(x)max=h(0)=1, 因为 g(x)=h(x) f(x+1) 的定义域为 (-1,+ ), 所以 g(x) 在(-1,+ ) 上的最大值为 g(0)=h(0)f(1)=2. 考向 3 导数与函数的零点问题1. 【解析】 (1) 因为 f(x)=ax-a+1-, 所以 f (x)=a-, 若函数 f(x) 为减函数 , 则 f(x) 0, 即 a对 x(0,+ ) 恒成立. 设 m(x)=, 因为 m (x)=, 所以 m(x)在区间上递减 , 在上递增, 所以 m(x)min=m=-, 所以 a-, 即 a-e-3, 故实数 a 的取值范围是 (- ,-e-3. (2) 易知函数 f(x) 的定义域为 (0,+ ), 因为 f(x)=, 设 h(x)=ax2-(a-1)x-ln x, 则原命题等价于函数h(x) 有两个不同的零点 , 求实数a 的取值范围 , 因为 h(x)=ax-(a-1)-=, 所以当 a0 时, 因为函数 h(x) 在区间 (0,1) 上递减 , 在(1,+ ) 上递增, 所以若函数 h(x) 有两个不同的零点则必有h(1)=-a+12.此时, 在 x(1,+ )上有 h(2)=2a-2(a-1)-ln 2=2-ln 20,在 x(0,1) 上, 因为 h(x)=a(x2-2x)+x-ln x, 因为-1x2-2x-a+x-ln x, 所以 h- a+-ln=0, 所以 h(x) 在区间 (0,1),(1,+)上各有一个零点 , 故 a2 符合题意 ; 当 a=-1 时, 因为函数 h(x) 在区间(0,+ )上递减, 所以函数 h(x) 至多一个零点 ,不合题意 ; 当-1a0,函数 h(x) 至多一个零点 , 不合题意 ; 当 a0, 所以函数 h(x) 至多一个零点 , 不合题意 . 综上所述 , 实数 a 的取值范围是 (2,+ ). 2. 【解析】 (1) 已知函数 f(x)=x3-ax2+x+4, 可得 f (x)=3x2-2ax+1,f (0)=1, 且 f(0)=4, 函数 f(x) 在 x=0 处的切线方程为 x-y+4=0. (2)f(x)+f(-x)=-2ax2+84ln x+8 对任意 x(0,+ ) 恒成立 , 所以-2a. 令 v(x)=,x0, 则 v(x)=4 =4, 令 v(x)=0, 解得 x=. 当 x(0,)时,v (x)0, 所以 v(x) 在(0,) 上单调递增 ; 当 x(,+)时,v (x)0. 当 x0 时,g (x)=3x2-6x+1-k0,g(x)单调递增 ,g(-1)=k-10 时, 令 h(x)=x3-3x2+4, 则 g(x)=h(x)+(1-k)xh(x).h(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2) 单调递减 ; 在(2,+ )单调递增 . 所以 g(x)h(x)h(2)=0. 所以 g(x)=0 在(0,+ )没有实根 . 综上,对于任意的 k-x2-4, 只需证 (x-1)(x2+2)ex-x2+2x-4, 设 g(x)=-x2+2x-4=-(x-1)2-3, h(x)=(x-1)(x2+2)ex, 则 h (x)=x2ex(x+2), 令 h (x) 0 得 x-2, 令 h (x)0 得 x-3, 又 g(x)max=-3, 所以 g(x)max-x2+2x-4, 即 f(x)-x2-4. 2. 【解析】设 f(x)=x3+ax2+bx+c. (1) 当 a=b=4时, 方程 x3+4x2+4x+c=0有三个不同实根 , 等价于函数 f(x)=x3+4x2+4x+c=0有三个不同零点 , f (x)=3x2+8x+4,令 f (x)=0 得 x1=-2 或 x2=- , f(x) 与 f (x) 在区间 (- ,+) 上情况如下 : x (- ,-2) -2 -f (x) + 0 - 0 + f(x) c c-所以,当 c0 时且 c-0 时, 存在 x1(- ,-2),x2,x3, 使得 f(x1)=f(x2)=f(x3)=0. 由 f(x) 的单调性知 , 当且仅当 c时,函数 f(x)=x3+4x2+4x+c 有三个不同零点. 即方程 x3+4x2+4x+c=0有三个不同实根 . (2)f (x)=3x2+2ax+b,当=4a2-12b0,x(- ,+ ), 此时函数 f(x) 在区间 (- ,+)上单调递增 , 所以 f(x) 不可能有三个不同零点 . 当=4a2-12b=0 时,f (x)=3x2+2ax+b只有一个零点 ,记作 x0, 当 x(- ,x0)时,f (x)0,f(x)在区间(- ,x0) 上单调递增 ; 当 x(x0,+)时,f (x)0,f(x)在区间(x0,+ ) 上单调递增 . 所以 f(x) 不可能有三个不同零点 . 综上所述 , 若函数 f(x) 有三个不同零点 , 则必有=4a2-12b0. 故 a2-3b0 是 f(x) 有三个不同零点的必要条件. 当 a=b=4,c=0 时,a2-3b0,f(x)=x3+4x2+4x =x(x+2)2只有两个不同零点 , 所以 a2-3b0 不是 f(x) 有三个不同零点的充分条件. 因此 a2-3b0 是 f(x) 有三个不同零点的必要而不充分条件. 即 a2-3b0 是方程 x3+ax2+bx+c=0有三个不同实根的必要而不充分条件. 。