2021年有限元法的讲解.docx

精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -- .第四章 求解导热问题的有限单元法第 4.1 节 概述第 4.2 节 泛函变分原理第 4.3 节 有限单元法第 4.1 节 概述粗略地讲： 有限元法为获得微分方程近似解的一种方法， 为一种适合运算机来求解的数值运算方法；〔元素特性方程和总体合成方程的建立可以采纳直接法，变 分法，加权余数法和能量平稳法等四种方法之一， 所以粗略地说有限元法为获得微分方程近似解的一种方法也有道理〕比拟严格的定义：有限单元法为求解泛函变分问题的一种近似方法；那么这两种说法有什么联系，或者说为共同之处呢？变分和微分为对未知函数的不同描述， 同一连续介质问题往往都可以找到微 分和变分的等价表达方式； 变分和微分几乎为同时开展起来的两个数学分支， 其目的为一样的，都为求解未知函数，但为方法上有很大差异；在边界条件的情形下， 求微分方程的精确解析虽然已有完整的理论， 但为真正能解出的只有极少数的几种简洁情形， 由于在很多情形下， 微分方程并不存在初等函数解析解；〔对于各种各样的映射，初等函数的表达才能实在太有限了，初等函数包括： 冥函数.指数函数.对数.三角函数，以及它们的四那么运算等； 〕由于寻求微分方程的初等函数解析解有困难， 所以我们在前一章叙述了微分方程 的近似解法，即差分法；泛函变分原理虽然也可以用解析法 〔即积分〕 求得未知函数， 但为由于有很多被积函数根本无法找到初等原函数， 也就不能积分， 特殊为对于二维和三维问- -.可修编 -第 1 页，共 32 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -- .题，解析法更加困难； 所以我们也要寻求泛函变分的近似解法； 泛函变分的近似解法包括里兹法和有限元法〔里兹法为有限元法的前身〕 ，这两种方法的原理完全一样，即：构造一个近似的初等函数，用近似的初等函数去靠近未知函数；因 为任何未知函数都可以找到它的近似初等函数 〔如：包含待定系数的多项式或三角函数〕，所以从根本上克制明白析法〔无法找到初等原函数〕的局限性—牺牲 微小的理论运算精度，却换回了对大量复杂二维和三维工程问题的适用性；微分方程的近似解法：差分法泛函变分的近似解法：里兹法，有限元法第 4.2 节 泛函变分原理一.泛函的概念〔借助讲解〕二.变分的概念借助一般函数微分的概念，用类比法讲解三.泛函的极值条件借助一般函数的极值条件，用类比法讲解四.里兹法〔补充容，但为很重要〕泛函变分的近似解法一.泛函的概念通过教材 4.1.2的运算实例引入一个泛函表达方式〔作图讲解〕泛函的概念：函数的函数泛函与一般函数的区分就在于： 函数的自变量为数； 而泛函的自变量那么为函数，泛函的定义域由具有肯定条件的一组函数组成； 泛函为一个函数集到一个- -.可修编 -第 2 页，共 32 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -- .数集的映射；一般函数那么为一个数集到另一个数集的映射；泛函的表达式： J=J(y)=J[y(x)]J=J(T)=J[T(x，y)]泛函的一般式：J[ y( x)]x 2F ( x、 y、 y)dxx1从物理意义上讲， 临时你也可以把泛函懂得成熵， 自由能等； 对于泛函的详细数值我们并不为特殊关怀， 而更关注它何时取得极值， 即取什么样的自变量函数，泛函有极值；二.变分的概念一般函数 y(x) 泛函 J[y(x)]自变函数的增量( x)其中： 为一个有限小的量，自变量的增量 x任意值x ( x 、 x )( x)01 2x x1或x x2自变量的微分 dxlim ( x)自变函数的变分y lim[ ( x)]x 0 0函数 y(x) 的增量 yy( xx) y(x)泛函的增量J J[ y(x)(x)]J [ y( x)]函数 y(x) 的微分 dy泛函的变分lim[ y(x x) y(x)]x 0 JlimJ[ y( x)( x)]J[ y( x)]x 0函数微分运算规那么：有函数 u(x)和 v(x)，那么：泛函变分运算规那么：有函数 u(x)和 v(x)，那么：d (uv)udvvdu(uv)u v v u有函数 y(x)，那么 有函数 y(x)，那么d (x、 y)xdy ydx(xy ) x ydy nnyn 1 dyy n nyn 1 y函数 y(x) 的极值条件泛函 J[ y(x)]的极值条件dy 0 J 0dx y三.泛函的极值条件〔欧拉方程〕泛函 J[ y( x)]x2F (x、 y、 y)dx 的极值条件等价于 Fyx1dFy 0dx- -.可修编 -第 3 页，共 32 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -- .欧拉方程给出了泛函极值条件与微分方程的关系！利用欧拉方程解教材 4.1.2的例题；〔留意这为求解变分问题的解析法〕在变分问题中， 使泛函 J(y)为微小值的条件， 除 J0 外，仍应有 2 J0 〔二阶变分〕四.里兹法〔泛函变分的近似解法〕〔变分原理在求解微分方程中的应用〕 连续介质问题常常有着不同的但为等 价的表达公式－－微分表达公式和变分表达公式，从例 4.1.2中我们可以看到，泛函的变分运算可用微分方程的求解来代替， 反之，微分方程的求解也可用泛函的变分运算来代替；求解变分精确解的过程中需要进展各种积分运算， 而很多情形下被积函数根本无法找到与相应的初等函数形式的原函数， 这说明通过求原函数来运算积分有它的局限性，甚至于可以说这种形式的变分运算根本无法表达出它的运算较微分 解方程有什么优越性；变分法的优越性表达在： 我们可以找到一种适用于求得以变分形式表达问题的近似解的简便方法，这种方法叫里玆法，为有限元法的前身 ；例：用里兹法解微分方程： y y 1 0边界条件x 0、 y 0x 1、 y 01 1 2 1 2x 0、 y 0解：构造泛函J[ y(x)] [ ( y )y y]dx ，在满意边界条件情形下，0 2 2 x 1、 y 0该泛函的极值条件与微分方程y y 10 同解；Fy利用欧拉方程可以很简洁的证明两者同解〔y 1，Fy y 〕34令近似函数〔或称为摸索函数〕2y a1( x x )a2 (x x )a3 ( x x ) ......- -.可修编 -第 4 页，共 32 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -- .其中 a1、 a2 、 a3 为待定系数，由于 近似函数必需满意边界条件，所以我们构造了这样一个函数；将近似函数代入泛函， 那么此时泛函 J[ y( x)] 已经“变质〞了， 它不再为函数 y(x)的函数〔泛函〕 ；而实际上为关于未知数a1 、a2 、 a3 、......an 的多元函数 J( a1 、 a2 、 a3 、......an )一般多元函数取极值的条件：J0 k=1、2、3、 nak从这 n 个代数方程中明显可以求得 a1、 a2 、 a3 、......an 等 n 个未知数这里，我们令y a ( x x2 )1J[ y( x)]1 1 2 21 2 2 2a ( x x )a (x x 2 )] dx[ a1 (1 2 x) 1 10 2 2J 1 [a (1 2 x)2 a ( x x2 )2( x x2 )2 ]dx01 1a11＝ [ a (1 4x4x2 )a ( x22x3x4 ) ( x x2 )]dx0 1 11＝ [ a(4a1)x(3a1) x22a x3a x4 ]dx0 1 1 1 1 11 1 1 1＝ a1 (4 a1 1) (3a1 1) a1 a12 3 2 51＝ 1 3 a ＝ 026 10检验：得： a15，所以： y95 ( x x ) 9近似解：y( 1) 0.13892由解析法得精确解：y cos x 11 cos1.0 sin x 1 sin1.0述评：y( ) 0.139492i〕一般而言近似函数〔摸索函数〕的项数愈多，到达的精度愈高；ii〕这个方法只为从一族假定中给我们最好的解，因此，特别明显，近似解的精确度和摸索函数的挑选有关；- -.可修编 -第 5 页，共 32 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -- .iii〕我们要求摸索函数应定义在整个求解区域上，而且它们至少要满意一些边界条件，通常为要满意全部边界条件；iv〕通常摸索函数为由次数连续增大的多项式构成，但在有些情形下，采纳其它类型的函数可能为有好处的；第 4.3 节 有限单元法一.里兹法的缺乏〔有限元法与里兹法的异同点〕一样点：两者实质为一样，数学根底都为泛函变分，求解方法都为以初等函数〔多项式〕去近似未知函数， 利用一般多元函数的极值条件来求解多项式中的待定系数；不同点〔里兹法的缺点〕 ：ⅰ〕里兹法将近似函数定义在整个定义域上， 而构造近似函数时， 又要求它满意全部的边界条件， 所以说定义域的边界只能为简洁的多边形或多面体 〔它只能应用在外形相当简洁的求解区域上〕 ，而不能为复杂外形的边界，故适用围有限；有限元素法将近似函数定义在一个单元〔给出未知函数的分片近似函数〕 ， 虽然对单元同样存在几何上的限制， 但为由于外形简洁的单元可以被集合起来表示特别复杂的几何外形， 因此，有限单元法比里兹法的用途要广泛得。