中考数学压轴题 《简单的四点共圆》.docx

《简单的四点共圆》解题方法如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称之为四个点共圆·一般简称为”四点共圆”．四点共圆常用的判定方法有：一．若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆．如图，若 OA＝OB＝OC＝OD，则 A，B，C，D 四点在以点 O 为圆心、OA 为半径的圆上．AODBC【答案】（1）略；（2）AB，CD 相交成 90°时，MN 取最大值，最大值是 2．【提示】（1）如图，连结 OP，取其中点 O＇，显然点 M，N 在以 OP 为直径的⊙O＇上，连结 NO＇并延长，交⊙O＇于点 Q，连结 QM，则∠QMN＝90°，QN＝OP＝2，而∠MQN＝180°－∠BOC＝60°，所以可求得 MN 的长为定值．PC QMO'NBOAD（2）由（1）知，四边形 PMON 内接于⊙O＇，且直径 OP＝2，而 MN 为⊙O＇的一条弦，故 MN 为⊙O＇的直径时，其长取最大值，最大值为 2，此时∠MON＝90°．二．若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆．如图，在四边形 ABCD 中， 若∠A＋∠C＝180°（或∠B＋∠D＝180°）则 A，B，C，D四点在同一个圆上．ADBC【答案】（1）略；（2）AD＝ 33DE；（3）AD＝DE·tanα．【提示】（1）证 A，D，B，E 四点共圆，从而∠AED＝∠ABD＝45°，所以 AD＝DE．1（2）同（1），可得 A，D，B，E 四点共圆，∠AED＝∠ABD＝30°，所以 ADDE＝ tan30°，即 AD＝ 33DE．三．若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆．如图，在四边形 ABCD 中，∠CDE 为外角，若∠B＝∠CDE，则 A，B，C，D 四点在同一个圆上．ADBC    E【答案】略四．若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆．如图，点 A，D 段 BC 的同侧，若∠A＝∠D，则 A，B，C，D 四点在同一个圆上．AGDBC【答案】略诸多几何问题，若以四点共圆作桥梁，就能与圆内的等量关系有机地结合起来．利用四点共圆，可证线段相等、角相等、两线平行或垂直，还可以证线段成比例，求定值等．例题讲解例 1 如图，在△ABC 中，过点 A 作 AD⊥BC 与点 D，过点 D 分别作 AB，AC 的垂线，垂足分别为 E，F．求证：B，E，F，C 四点共圆．A AEEBFD        CBFD        C证明 因为 DE⊥AB，DF⊥AC，所以∠AED＋∠AFD＝180°，即 A，E，D，F 四点共圆．2连结 EF，则∠AEF＝∠ADF．因为 AD⊥BC，DF⊥AC，所以∠FCD＝∠ADF＝∠AEF，所以 B，E，F，C 四点共圆．例 2 在锐角△ABC 中，AB＝AC，AD 为 BC 边上的高，E 为 AC 的中点．若 M 为线段 BD 上的动点（点 M 与点 D 不重合），过点 C 作 CN⊥AM 与点 N，射线 EN 与 AB 相交于点 P，证明：∠APE＝2∠MAD．A AE EPNPNBM    D      CBM    D      C证明 如图，连结 DE．因为 AD⊥BC，CN⊥AM，E 为 AC 的中点，所以 DE＝AE＝CE＝NE，从而 A，N，D，C 在以点 E 为圆心、AC 为直径的圆上，所以∠DEN＝2∠DAN．由题意可得 D 为 BC 的中点，所以 ED∥AB，所以∠APE＝∠DEP ＝2∠MAD．进阶训练1．已知⊙O 的半径为 2，AB，CD 是⊙O 的直径，P 是 BC 上任意一点，过点 P 分别作 AB，CD的垂线，垂足分别为 N，M．（1）如图 1，若直径 AB 与 CD 相交成 120°角，当点 P（不与 B，C 重合）从 B 运动到 C 的过程中，证明 MN 的长为定值；（2）如图 2，求当直径 AB 与 CD 相交成多少度角时，MN 的长取最大值，并写出其最大值．PPCBCMONBMONADAD图 1图 2答案：（1）略（2）AB，CD 相交成 90°时，MN 取最大值，最大值为 2．【提示】（1）如图，连接 OP，取其中点 O′，显然点 M．，N 在以 OP 为直径的⊙O′上．连结 NO′并延长，交⊙O′于点 Q，连结 QM，则∠QMN＝90°，QN＝OP＝2．而∠MQN＝180°－∠BOC＝60°，所以可求得 MN 的长为定值．3C QPO′BMNOAD图 1（2）由（1）知，四边形 PMON 内接于⊙O′，且直径 OP＝2．而 MN 为⊙O′的一条弦，故 MN为⊙O′的直径时，其长取最大值，最大值为 2，此时∠QMN＝90°．D2．在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，过点 B 的直线 MN∥AC， 为 BC 边上一点，连结 AD，作 DE⊥AD交 MN 于点 E，连结 AE．（1）如图 1，当∠ABC＝45°时，求证：AD＝DE；（2）如图 2，当∠ABC＝30°时，线段 AD 与 DE 有何数量关系？请说明理由；（3）当∠ABC＝α 时，请直接写出线段 AD 与 DE 的数量关系（用含 α 的三角函数表示）．FAMAEEBDCBD       CNG图 1图 2答案：（略）；（2）AD＝33DE；（3）AD＝DE·tanα．（2）同（1）可得 A，D，B，E 四点共圆，从而∠AED＝∠ABD＝30°，所以    ＝tan30°，即 AD＝    DE．【提示】（1）证 A，D，B，E 四点共圆，从而∠AED＝∠ABD＝45°，所以 AD＝DE．AEDE334。