搭建桥梁获得知识——椭圆及其标准方程的教学案例.pdf

· 2 4 · 数学教 育研究 2 0 1 0年第 2 期 搭建桥梁获得知识 椭 圆及其标准方程 的教学案例 谷 文 俊 ( 湖北省黄石市第二十中4 3 5 0 0 0 ) 本课是基于前面直线与 圆的方程 以及曲线与方程 的内容后 ， 圆锥曲线的第一个 内容． 本节 内容与前面 的 内容 有 着 紧 密 的联 系 ， 我 们 可 以 通 过 圆与 椭 圆 的 对 照 ， 加 强 对 椭 圆 的 理 解 ， 以 及 曲 线 方 程 和 椭 圆 标 准 方 程 建 立的联系． 同时 ， 研究椭 圆的 方法 与手 段 、 理解 的思维 形式对学 习后面的双曲线 和抛 物线 的 内容有很大 的指 导作用 ． 因此 ， 本 节的 内容对学生 有很 高的要求 ， 必须 掌握． 1 教 学过程 1 ． 1 情景创设 ， 新课 引入 情景一 ： 教师 ： 大 家都 听 说过开普勒吧?晓不 晓得开普勒定理 ? 学 生( 众) ． 【 部分 同学小 声议 论 ， 没人 回答】 教 师 ： 开 普 勒第 一 定律 ( 轨道定 律) ： 所有行 星绕 太 阳运 动的轨道 都是 椭 圆， 太 阳处在 椭圆 的一个 焦点上． 我们来 看 张图片 ， 这个图形就是椭 圆．大家看看 ， 你能用什么语 言来描述 椭圆的形状 呢? 学生( 众) ： 像鸡蛋 、 将圆压扁 、 像哈密瓜等等 教师 ( 微笑 ) ： 你们的描述都不准确 ， 都不是真 正的 椭 圆． 知道什么是椭圆 ， 我们就 可能像 开普勒一样 去研 究 天体 的运动 ， 为做 天文学 家打好 基础． 所 以， 我们今 天 要讲 的内容是椭 圆及其标准方程． 1 ． 2 过程感知 ， 知识建构 教师 ： 在前面 的内容 中， 我们 学过 了圆， 记 不记得 圆的定义? 学生( 众) ： 到定点距离为定值的点的集合． 教师： 对 ， 那还记不记得 当时我是怎 么用定 义给大 家演示画圆的? 学生 1 ： 取一根绳子 ， 将其 中一端固定 ， 另一端系上 粉笔， 转一圈， 就是一个 圆． 教师 ： 不错 ， 看来掌握 的很 牢固． 今 天， 我们 可以用 同样 的材料画一个椭 圆， 在我画的过程 当中 ， 请 大家 仔 细的看好我是怎么画的， 我再 叫两个 同学上来 画． 【 画图演示过程】 利用事先准备好 的小黑板 、 两 个 图钉 、 一根绳 子 ， 将绳子的两端用图钉固定好 ， 用 一根粉笔紧绷绳 子， 粉 笔在绳 子上滑动 ， 转一 圈， 得 到一个图型 ， 就是椭圆． 教师 ： 好 了， 椭 圆画好 了， 看 下和 刚才 图片 的椭 圆 是不是很相似 !估计刚才我 画的时候有些 同学 还没看 清楚， 下面我叫两个 同学上来 ， 其他 同学看下要注 意什 么 问题 ! 学生 2 ， 3 ( 上来试 画， 演示 ) 教师 ： ( 问学生 2 ) 你觉得画的过程 中会 出现什 么问 题 ? 学生 2 ： 固定 绳子两端 的时候， 不 能把 绳子绷的太 紧了， 要不然就画不动． 教师 ： 那这个时候 粉笔 只能怎 么动?得 到什 么图 形 ? 学生 2 ： ( 思考 片刻) 在绷紧 的这 条绳子上 动 ， 是 一 条直线． 教师 ： 对 ， 你上来还是有收获的． ( 问学生 3 ) 你 觉得 画椭 圆的过程中哪些东西是没有变的? 学生 3 ： 两个定点是不动的． 教师 ： 还有呢?( 提醒 ， 引导) 学生 3 ： 绳 子的长度是不变的． 教师 ： 如果把绳子上的粉笔看成 一个动点 ， 两个图 钉看成两个定点 ， 那可 以把绳子理解成什么东西? 学生 3 ： ( 思考) 动点到两定点 的距离 之和 ， 距 离之 和不 变． 教师 ： 结合刚才两个同学的演示 和回答 ， 一起 回忆 一 下我们如何画圆的! 学生 4 ： 画圆的时候 只要 固定一个点 ， 椭圆要 固定 两个点 ； 画圆只有一个定长 ， 椭 圆是 两个 线段之 和为定 长 ． 教师 ： 很不错 ， 很全面 ， 能不 能结合圆 的定 义， 我们 一 起来定义椭圆的? 学生( 众) ： 动点 到两定 点的距 离之 和为定值 的点 的 集 合 ． 教师 ： 大家总结的很不错 ， 但我们一起来 想想有没 有 漏洞 ? 学生 ： 绳 子绷 紧的时候画出来 的不是椭圆 教 师 ： 对 ， 这 就 是 问 题 !所 以 我 们 再 来 总 结 一 下 ： 动点到两定点的距 离之和 为定值 的点 的集 合 ； 且动点 到两定点的距离之 和大 于定 点的 距离． 两定点 称为椭 圆的焦点 ， 距离为焦距． 1 ． 3知 识 运 用 ， 巩 固概 念 情 景 二 ： 教师： 绳子两端 固定在草地 的两个木桩上 ， 绳上套 个小 环 ， 环 上拴 头 牛 ， 过 一 段 时间 你 发现 社 么 现 象? ( 分两种情况考 虑： 1 ． 绳子绷紧 2 ． 绳子松 弛) 学 生： 当绳 子绷 紧 的时候 ， 牛的脚 印 成 了一条 直 线 ； 当绳子松弛 的时候 ， 牛的脚印成 了一个椭圆． 教师 ： 当成椭 圆的时候 ， 什 么是椭 圆 的焦点 ， 什 么 是焦距 ， 什么是动点? 2 0 1 0年第 2 期 数学教育研究 · 2 5 · 学生 5 ： 两个 木桩是焦点 ， 距离为焦距 ， 牛的鼻子是 动点． 【 全 班 大 笑 】 教师 ： 动点是绳子上的环． 我们接 下来要 了解 的是 椭圆的方程 ， 在 了解椭圆的方 程前 ， 大家先 回顾下如何 求圆的标 准方程 的? 学生 6 ： 建立 坐标 系 ， 取点 的坐标 ， 找方程 ， 化简 教师 ： 对 ， 很简 洁． 那我们如何来求椭圆的方程呢? 学生( 众) ： 先建立坐标系 ， 再取点 的坐标 教师 ： 如何建立坐标系? 学生 7 ： 随便怎么建都 可以． 学生 8 ： X轴过两个定 点 ， y轴 与 x轴 垂直． 教 师 ： 看 来 不 少 同 学 没 怎 么 预 习 啊 !建 立 坐 标 系 要结 合 图像 的特 点 ， 以 及 取 点 更 方 便 ， 同 时 还 可 以 结 合 圆的建 系的经验． 过两定点做 X轴 ， 过两定点的 中垂线 做 y轴． 【 标准方程的推导过程】 设 两 定 点 分 别 为 ：F。

( 一c ， 0 ) ，Fz ( f ， 0) ， P( -z， ) ， 令 l PF I + l PFz } ：2 a 则 ：~ ／ ( z一Ⅱ ) +Y + ~ ／ ( +n ) +Y 一2 a 化简的 ： ( n ～f ) z +n Y 一( 口 一c ) n 令 ： a 2 一c 2 一b ’．2 2 则 ： +寺 一1 ( n 6 o ) 教 师 ： 大家注意下 ， n ， b ， C之间有没 有什么关 系 ， 你 从 哪 看 出来 的 ? 学 生 ( 众 ) ：口 一6 +f 教师 ：请看下焦点在什么轴上? 学 生 ( 众 ) ：X 轴 教 师 ： 那 么 焦 点 可 不 可 以 在 y 轴 上 ? 这 与 什 么 有 有 关 ? 学生 9 ： 如何建立坐标 系有关． 教师 ： 那 么焦点可不 可 以在 y轴 上 的方 程?大家 下去把它 推导 下 ， 作 为 今天 的作业． 那 么 现 在 给 出大 ．．2 — 2 家： 与+ 一1 ( 口 6 0 ) ， 这两个方程很相似， 但他们 最大 的差别在哪? 学生 ( 众 ) ： 焦点 的位置 1 ． 4知识巩 固运 用， 知识结构重建 求下列椭 圆的 a ， b ， c 并求焦点 的坐标 ( 1 )了x 2 ‘ T yZ 一 1 ( 2 ) 车+ 等一1 0 ( 3 )4 x + 3 v 一 1 2 1 ． 5课 后 基 础 知 识 ， 提 高解 题 能 力 作业 ： ( 1 )推导焦点在 y轴上的方程 ( 2 )课 后 习 题 第 2题 2案例 点 评 在整个 课 堂 中， 都 是 采 取 “ 创 设 情 景—— 提 出问 题—— 引导研究—— 解决 问题” 的模式进行． 这一节 的 主要知识是椭 圆的定义 和椭圆 的方程 ， 在知识发 现前 ， 主要是结合学生 已有 的知识 ( 圆) ， 通过对 圆的分 析、 对 圆的探讨 过程 和方法 的分 析 ， 对椭 圆提 出问题 ， 积极 的 引 导 ， 让 学 生 通 过 对 比 、 思 考 发 现 新 的 知 识 ， 通 过 新 旧 知识 的 整 合 达 到对 新 知识 的 理解 与掌 握 ． 3反 思 ( 1 )整个过程中 ， 学生 主动提 出问题 的很少 ， 基本 上是在老师的引导 下 ， 回答老 师提 出的问题 ， 从 而达到 对新 知识 的理解 与掌握 ． 这对 培养学生 的独立思 考、 深 度探 究问题的能力 有不 好 的影 响； 同时对 老师把 握学 生上课 的思维 动向也不利． 因此 ， 可以适 当的在 引导 问 题 出现前 ， 让学生 自己起来提 出 自己的疑问 ， 有 利提 问 者的思考 ， 也会广泛的引起其他同学的关注． ( 2 )在进行教学的过程中 ， 要结合学生 已有的知识 结构 ， 向学生提 出适 当的引导 问题． 要 设计好 在授课 的 过程 中会 出 现 的 学 生 弄 不 清 楚 的 知 识 点 ， 让 学 生 对 知 识点 的接受理解顺 畅． ( 3 )在引导学生探究椭圆定义发生的过程时， 用 的 是粉笔 和绳 子为 工 具 ， 画 法机 械 、 不 具有 很 好 的操 作 性 ， 画图效果不好 ， 引导学生 观察椭 圆的本质 时有很多 的 不 足． ( 4 )情 景 的 创设 很 重 要 ． 第 一 ： 是 课 堂 师 生 互 动 的 根源 ， 在情景中学 生能 最大 程度 的参 与到课 堂 的讨论 中来 ． 第 二 ： 是发 现问题 的根 源， 在 情景 中的 问题 让学 生 的认知产生 了冲突 ， 激发 了学 生认知 的欲望 ， 让其不 断的解决 和发现 问题． 第 三 ： 是 知识 运用 的载体 ， 问题 源 于生活 ， 最终 回归实际 ， 让 学生用 自己的知识解 决身 边 的 问题 ， 这 也 是 新 课 改 的 重 要 精 神 所 在 ． [ 责任 编校王蓓 ] ( 上接第 1 7页 ) 生 ： 小棒 的长度 和就是这个 长方形 的周 长． 师 ： ( 出示 一个 长 6 c m， 宽 4 c m 的长方 形) ， 怎 样算 出这个长方形 的周长? 生 ： 6 十 4 +6 +4—6X 2+4 X 2 师 ： 将长方形纸这样 ( 沿对角 线) 对 折 ， 你发现 了什 么?长方形的周长还可以怎样计算? 生 ： ( 6 +4 ) ×2 概 括 出周 长 计 算 公 式 ． 学生 的主要 任务 不是论 证 和接 受现成 的知识 ， 而 是 参 与 知 识 的发 现 过 程 ． 在 此 过 程 中 ， 学 生 的 内 在 学 习 动机得到激发 ， 使学 生 在探究 发 现的 过程 中体会 乐趣 和成 功． 这种在 教师 指导下 的参 与 、 探 究过 程 ， 学 生成 为发现活动 的主体 ， 主体性原则 充分体 现 ， 他们 能通过 探究数学 问题理解数学知 识 ， 归 纳获得数 学结论 ， 再将 结论纳入到 已有 的认 知结 构 中 ， 建 立起 自主学 习的 内 在机制 ， 使之形成独立思考习惯和追求创造的意识 ． [ 责任 编校王蓓 ] 。