初中数学联合竞赛专题训练：几何题（含答案）.doc

第一题：已知：外接于⊙，，，，、相交于点，点为弧的中点，连接、求证：为等腰三角形简证：易证∠BHC＝120°，∠BOC＝120°，∴B、H、O、C四点共圆DB＝DO＝DC，∴DH＝DO＝OA，又AH∥OD，∴AHDO是菱形∴AH＝HD，△AHD为等腰三角形第三题：已知：中，，，求证：简证：以AD为边作正三角形ADE（如图）易知△ABC≌△CAE∴AD＝AE＝BC第四题：已知：中，为边的中点，，求证：简证：过D作DE⊥AC交BC于E由已知得AE＝EC，∠EAD＝∠C又∠A＝3∠C，∴∠BAE＝∠BEABA＝BE，由∠ADB＝45°得∠EDB＝45°∴A、D、E、B四点共圆，∠ABE＝∠ADE＝90°即AB⊥BC第五题：如图，四边形的两条对角线、交于点，，，，，解：设AD、BC交于点F，过D作DG∥AB交BF于点G，AG交BD于H则△ABF是等腰三角形，A、B、G、D四点共圆∠DAG＝∠DBG＝20°，∴∠BAG＝60°∠BDG＝∠BAG＝60°，∠AGD＝∠ABD＝60°∴△GHD是等边三角形△ABH是等边三角形BH＝AB＝BC，∴∠BHC＝80°，∴∠CHG＝40°∴∠HGC＝40°，∴HC＝GC，∴△HCD≌△GCD∴∠HDC＝30°，∴∠ACD＝80°。

第六题：已知，，，求证：简证：以AB为边向外作正三角形ABE则BC⊥BE，易证△DAB≌△CAE，BD＝CE于是第七题：如图，切⊙于，为圆的直径，为⊙的割线，、与直线相交于、求证：四边形为平行四边形证明：过C作CG⊥PO于G，则由∠AEC＝∠PGC＝90°得E、B、G、C四点共圆同理F、D、G、C四点共圆PC是⊙O切线，在RT△PCO中，∴，∴E、G、O、F四点共圆∴∠OGF＝∠OEF，∠BGE＝∠OEF，∴∠OGF＝∠BGE又CG⊥PO得∠EGC＝∠FGC，∠EGF＝∠EOF＝2∠EAF，∴∠EGC＝∠FGC＝∠EAF又∠EGC＝∠EBC，∠FGC＝∠FDC，∴∠EBC＝∠FDC＝∠EAF∴AF∥BC，AE∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形第八题：已知：在中，，，，求证：简证：延长CO交AB于D，以OC为边作正三角形OCE（如图）易知AC＝DC，BD＝OD，OC＝AD△ACE≌△CAD，△ACO≌△AEO，∠CAO＝∠CAE＝10°∴∠BAO＝70°，∠ABO＝40°∴∠BOA＝70°，∴AB＝OB第十一题：如图，与都是等腰直角三角形，，，交于，求证：证明：只要证明△CDF是等腰直角三角形时，E、F、B共线即可。

设，，，，则，∴∴∴，∴∵∴F是EB中点，∴△CDF是等腰直角三角形，∠CFD＝90°第十二题：已知：中，，的角平分线与的角平分线相交于点，且求证：简证：作∠ABD的平分线BE交AC于E，易得四边形ABDE是等腰梯形AD＝BE，BC＝BE∠C＝∠CEB＝3∠ABE∠CBE＝3∠ABE∴△BCE为等边三角形∠ACB＝60°第十三题：已知：在中，，，平分求证：简证：作BE使得∠ABE＝80°交直线AC于E，AD延长线与BE交于点F则BC是∠ABE的平分线，∠CAB＝40°∠AEB＝60°∠CDF＝120°，C、D、F、E四点共圆∠DFC＝∠DEC＝∠DEF＝∠DCFCD＝DF，AD＋CD＝AF＝AB第十四题：已知：中，，是的中点，过作于，连接，取中点，连接求证：简证：Rt△BDE∽Rt△DCE，，△BDF∽△ACE∠DBF＝∠CAE，∴A、D、G、B四点共圆∠BGA＝∠BDA＝90°，AE⊥BF第十五题：已知：中，，，为上一点，，连接求证：简证：以AB为边作正三角形（如图）由∠C＝30°得OC＝OB∠BOC＝2∠BAC＝48°∠AOC＝108°，∠OCD＝36°OC＝OD，∠COD＝72°∠BOD＝24°△ABD≌△OBD，∠ABD＝30°△ABD∽△ACB，AB·BC＝BD·AC。

如图，在三边上，向外做三角形、、，使，，求证：与垂直且相等简证：以BR为边作正三角形（如图）则△ORA是等腰直角三角形，△OAB∽△PCB，△OBP∽△ABC△ORP≌△ARQ∴RQ＝RP，RQ⊥RP第十八题：如图，已知是⊙的直径，是中点，、交⊙于点、，、是⊙的切线，、相交于点，连接求证：简证：如图，过O作GH⊥DM，△OGE∽△MDE，△OHF∽△MDF∴，∴OG＝OHAGDH是平行四边形，D是BC中点∴G、H分别是AB、AC的中点∴GH∥BC，DM⊥BC第十九题：如图，三角形内接于⊙，两条高、交于点，连接、若，，，求三角形面积解：设HD＝x，F是BC中点，OF＝d由Rt△ACD∽Rt△BHD得，解得x＝1AD＝3，由OB＝OA得得d＝1∴OHDF为正方形，OH＝1三角形AOH面积为第二十题：如图，，，，，求解：延长BC至E，使CE＝BD，则AD＝DE，设∠E＝t，则∠EAC＝4x－t，由AD＝DE得6x－t＝t，t＝3x，∴AB＝AE，△ABD≌△AEC∴AD＝AC，∠ADC＝4x，∴2x＋4x＋4x＝180°，x＝18°即∠BAD＝18°第二十一题：已知：在中，，为上一点，是的中点，。

求证：简证：过A作BD平行线，交CE于F，交CB于G，则FA＝FG＝FB，易得△ADE≌△FBE∠ADE＝∠FBE∠CBE＝∠BGF＝∠GBF∠FBA＝∠ABD∴∠ADB＝2∠ABD第二十二题：已知正方形，是上的一点，以为直径的圆⊙交、于、，射线、交于点求证：点在⊙上证明：设DE与圆O交于N， ∴△DNC∽△DCE∴∠DCE＝∠DNCB、C、P、E四点共圆，∴∠DCE＝∠PBE＝∠FNE∴∠DNC＝∠FNE∴N、F、C三点共线，即DE、CF的交点为N，M与N重合故点M在⊙O上第二十三题：已知，点是内一定点，且有求证：是正三角形证明：显然当△ABC中DA＝DB＝DC时，△ABC是正三角形当△ABC中DA、DB、DC有两个相等时，易证△ABC是正三角形下面证明△ABC中DA、DB、DC互不相等是不可能的DA、DB、DC互不相等，不妨设DA最小，DB最大以D为圆心，DC为半径作圆，则A在圆D内部，B在圆D外部圆D上取点E，使得∠CDE＝120°，BC与圆D交于点F则△CEF是正三角形∠DAC＝∠DEC＝30°，有D、A、E、C四点共圆∠AED＝∠ACD＜30°，有点A在△FED内部设AB与EF交于点G，由∠GBD＝∠GFD＝30°知D、G、B、F四点共圆。

∴∠FGD＝∠FBD＜∠CFD＝30°，而∠FGD＞∠FED＝30°这是矛盾的故△ABC是正三角形第二十四题：如图，过正方形的顶点的直线交、于、，与交于点，，交于点求证：（1）；（2）证明：（1）设C＝0，D＝－1，B＝i，A＝－1＋i，M＝ai，N＝b（a，b∈）A、M、 N共线，有，即得，，求得L＝，，，∴CL⊥MN2），O＝，，∴，，且＞0由BP⊥MN得∠MON＝，∠BPM＝∴∠MON＝∠BPM第二十五题：已知：在正方形中边长为1，是上一点，交于点，交的延长线于点，连接，交于点，连接求证：（1）当且仅当为中点时，；（2）证明：（1）E为CD中点OE∥BC，AD＝CF（O是BD中点） GH∥OCGH＝GDOG＋GH＝OD＝AO（2）取BC中点K，则由Rt△FCH∽Rt△FKO，即，展开得 所以第二十六题：已知：与均为正方形，连接，取的中点，连接、求证：为等腰直角三角形证明：设O1、O2分别是正方形ABCD、AEFG的中心，则O1M∥AF，O2M∥ACO1M＝AO2＝O2E，O2M＝AO1＝O1D，∠DO1M＝90°－∠AO1M＝90°－∠AO2M＝∠MO2E，∴△DO1M≌△MO2E，MD＝EM又O1M⊥O2E，O2M⊥O1D，∴MD⊥EM故△MDE为等腰三角形。

第二十七题：四边形中，对角线、交于点，且，请你猜想与的数量关系，并证明你的结论解：过A作AE⊥BD于E，过C作CF⊥BD于F，由AO＝OC得AECF是平行四边形又AB＝AD得E是BD中点设BE＝x，AE＝d，OE＝t，BO＝x＋t，OD＝x－t（x＞t）当BO＞OD时，t＞0，AB＋BO＞BC＋OD＞＞4＞4txd2＞0当BO＝OD时t＝0，AB＋BO＝BC＋OD由对称性，当BO＜OD时AB＋BO＜BC＋OD综上，当BO＞OD时，AB＋BO＞BC＋OD；当BO＝OD时，AB＋BO＝BC＋OD；当BO＜OD时，AB＋BO＜BC＋OD第二十八题：已知：四边形中，，，，求的度数解：作△BCD的外心O，则由∠BCD＝30°得△BDO是等边三角形，∠ABC＝∠ACB，OB＝OC∴△ABO≌△ACO，AO平分∠BAC，∴∠BAO＝∠BAC＝32°而∠BAD＝64°－48°＝16°AD平分∠BAO，又BD＝BO∴△ABD≌△AOD（否则∠BDO＞60°），∴∠BDA＝30°第二十九题：在中，是的中点，，，求的度数解：作CD的垂直平分线交AC于E作△BCD的外心O，则∠DEA＝2∠DCE＝∠DAE，∴AD＝DE，又D是AB中点∴BE⊥AE，又∠DCB＝30°△BDO是等边三角形，于是DO＝BD∠BOA＝90°，∴A、B、O、E四点共圆若O与E重合（如上图），则∠ABC＝105°；若O与E不重合（如下图），则四边形DOCE是菱形，∴DO∥AC，且∠DOA＝30°∠DAE＝60°，△ADE是等边三角形∴E是AC中点，∴△ABC是等边三角形∴∠ABC＝60°故所求∠B＝105°或60°。

第三十题：在四边形中，，，，求的度数解：取AC中点F，则由AD＝CD得DF⊥AC，又AB⊥AC得Rt△ABE∽Rt△FDE，∴∴∴∠AEB＝60°，∠BEC＝120°第三十一题：在中，，，，、为直线上的两点，且，求的度数E？第三十二题：如图，中，于，为上一点，且，，，求的度数解：，，∴∴∠DEA＝24°第三十三题：为⊙的直径，、为半圆上两点，为过点的切线，交于，连接，交于，交于求证：证明：设O＝0，D＝1，C＝－1，A＝，B＝（），E＝1＋ai，由A、B、E共线得，即解得令M＝， N＝由A、C、M共线得，即，解得同理，故M＋N＝0，｜M｜＝｜N｜，即ON＝OM第三十四题：如图，四边形中，，，，，求的度数解：作△ABD的外心O，则由。