高等数学A1A2考试大纲.doc

《高等数学A》考试大纲一、总 要 求学生应了解或理解《高等数学A》中函数、极限和连续、一元和多元微积分、空间解析几何、无穷级数、常微分方程的基本概念与基本理论；学会应用变量数学的方法分析和研究自然现象中的数量关系，能运用基本概念、基本理论和基本方法进行推理证明及计算、能综合运用所学知识分析并解决实际问题本大纲对内容要求的高低用不同词汇加以区分；对概念和理论从高到低分“理解”、“了解”（或“知道”）两个层次；对方法和运算从高到低分“掌握”、“会”两个层次第一部分 高等数学A1部分第一章 函数与极限考试内容: 映射和函数；数列的极限；函数的极限；无穷小、无穷大； 极限运算法则； 极限存在准则、两个重要极限；无穷小的比较；函数的连续性与间断点；连续函数的运算与初等函数的连续性；闭区间上连续函数的性质考试要求: 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法, 会建立简单应用问题中的函数关系式2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数的概念4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念5．理解极限的概念，理解函数左、右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

6．掌握极限的性质及四则运算法则了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限的方法7．理解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念，会用等价无穷小求极限8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型9．了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理、零点定理与介值定理），并会应用这些性质第二章 导数与微分考试内容：导数的概念； 函数的求导法则； 高阶导数； 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数；相关变化率 ；函数的微分考试要求：1．理解导数概念及导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程.理解函数的可导性与连续性之间的关系2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法,掌握基本初等函数的导数公式3．会求分段函数的一阶导数；会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数,会求反函数的导数4. 了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数5．了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分6.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,了解微分在近似计算中的应用第三章 微分中值定理与导数的应用考试内容：微分中值定理（罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）； 洛必达法则；泰勒公式；函数单调性与曲线的凹凸性；函数的极值及最大值和最小值；函数图形的描绘；曲率。

考试要求：1．理解罗尔、拉格朗日中值定理并掌握其应用了解并会简单使用柯西中值定理和泰勒公式2．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法3．掌握用导数判断函数的单调性、函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点，会求水平、铅直渐近线，会列表分析函数的性态4. 理解函数的极值概念，掌握求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用5．了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径第四章 不定积分考试内容：不定积分的概念与性质；换元积分法；分部积分法；有理函数的积分考试要求：1．理解原函数及不定积分的概念掌握不定积分的基本公式和性质2. 掌握不定积分的换元法和分部积分法3. 会求简单有理函数的不定积分第五章 定积分考试内容：定积分的概念与性质；微积分基本公式；定积分的换元积分法和分部积分法；反常积分考试要求：1. 理解定积分的概念，掌握定积分的基本性质，理解定积分中值定理2. 理解积分上限函数及其求导定理，掌握牛顿一莱布尼茨公式3. 掌握定积分的换元积分法与分部积分法4. 了解反常积分的概念，会计算反常积分并会判别反常积分的敛散性第六章 定积分的应用考试内容：定积分的元素法； 定积分在几何学上的应用。

考试要求：1. 掌握用定积分计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积 第二部分 高等数学A2部分第七章 微分方程考试内容：微分方程的基本概念；可分离变量的微分方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；高阶线性微分方程； 常系数齐次线性微分方程； 常系数非齐次线性微分方程考试要求：1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念2．掌握可分离变量的微分方程，齐次方程和一阶线性微分方程的求解方法3．会用降阶法解一些高阶微分方程4. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，会求自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解第八章 空间解析几何和向量代数考试内容：向量及其线性运算；两向量的数量积、向量积； 曲面及其方程；空间曲线及其方程；平面及其方程； 空间直线及其方程考试要求：1. 理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示；掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积）2. 了解两个向量垂直、平行的条件；掌握单位向量、方向角与方向余弦、向量的坐标表达式，会用坐标表达式进行向量运算3. 掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。

4. 理解曲面方程的概念，了解常用曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程5. 了解空间曲线的参数方程和一般方程了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程第九章 多元函数微分法及其应用考试内容：多元函数的基本概念；偏导数；全微分；多元复合函数的求导法则；隐函数的求导公式；多元函数微分法的几何应用；方向导数和梯度；多元函数极值及其求法考试要求：1．理解多元函数的概念2. 了解二元函数的极限与连续性的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质3．理解多元函数连续、偏导数和全微分的概念及它们之间的关系，了解全微分在近似计算中的应用4. 理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法5. 掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法会求隐函数的偏导数6. 了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程7. 理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值8. 会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，会解决一些简单的应用问题第十章 重积分考试内容：二重积分的概念与性质；二重积分的计算法；三重积分；重积分的应用。

考试要求：1. 理解二重积分的概念，了解二重积分的性质2. 掌握二重积分（利用直角坐标系、极坐标系）的计算方法3. 理解三重积分的概念4. 会计算三重积分（利用直角坐标系、柱面坐标系）5. 会用重积分求一些几何量（如曲面的面积）第十一章 曲线积分和曲面积分考试内容：对弧长的曲线积分；对坐标的曲线积分；格林公式及其应用；对面积的曲面积分；对坐标的曲面积分；高斯公式，斯托克斯公式考试要求：1. 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系2. 掌握计算两类曲线积分的方法3. 掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径元关的条件，会求全微分的原函数4. 了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系5. 掌握计算两类曲面积分的方法6. 了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分7. 会用曲线积分及曲面积分，求一些几何量（ 如曲面面积、弧长）第十二章 无穷级数考试内容：常数项级数的概念与性质；常数项级数的审敛法；幂级数；函数展开成幂级数；傅里叶级数考试要求：1．理解数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握收敛级数的基本性质及收敛的必要条件2. 掌握几何级数与P级数的收敛性，会用正项级数的比较审敛法和根值审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。

3. 会用交错级数的莱布尼茨定理4. 了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系5. 掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法6. 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区问内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和7. 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件掌握一些函数的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数8. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-L，L]上的函数展开为傅里叶级数二、考试形式与试卷结构考试形式：闭卷，笔试考试时间为120分钟试卷满分100分试卷题型比例：选择题12%，填空题12%，计算题48%，综合应用题23%，证明题5%试题难易比例：基本题约60%，中等难度题约30%，偏难题约10% 数理与信息工程学院 2010.11.22。