因式分解的常用方法(目前最牛最全的教案).doc

1因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a 2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (a±b) 2 = a2±2ab+b2 ——— a2±2ab+b2=(a±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4) (a-b)(a 2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；例.已知 是 的三边，且 ，abc，ABC2abcabc则 的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解： 22222cccca2()()()0abab三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例 1、分解因式： nbm分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考2虑两组之间的联系。

解：原式= )()(bnma= 每组之间还有公因式！= )(n例 2、分解因式： bxyax5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组 第二、三项为一组解：原式= 原式=)()(y)(bxa= =52xb )2(5)(bayx= =)(5a2ba练习：分解因式 1、 2、c2 1（二）分组后能直接运用公式例 3、分解因式： ayx2分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组解：原式= )()(2= yxyx= a例 4、分解因式： 22cba解：原式= )(== (练习：分解因式 3、 4、yx3922 yzx22综合练习：（1） （2）2baxbax2（3） （4）18692y aba49162（5） （6）34 yxyx2243（7） （8）22yzxy1aba（9） （10）)()(m)2()(abca（11） （12）bcc2)(222 b33四、十字相乘法.（一）二次项系数为 1 的二次三项式直接利用公式—— 进行分解。

)()(2 qxpqxpx特点：（1）二次项系数是 1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和思考：十字相乘有什么基本规律？例.已知 0＜ ≤5，且 为整数，若 能用十字相乘法分解因a23xa式，求符合条件的 .解析：凡是能十字相乘的二次三项 式 ax2+bx+c，都要求>0 而且是一个完全平方数24bc于是 为完全平方数，98a1例 5、分解因式： 652x分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于 5由于 6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有 2×3的分解适合，即 2+3=5 1 2解： = 1 3 2x32)(2x= 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数例 6、分解因式： 672x解：原式= 1 -1 )6()](1[= 1 -6 )(（-1）+（-6 ） = -74练习 5、分解因式(1) (2) (3)2412x36152a542x练习 6、分解因式(1) (2) (3)y10（二）二次项系数不为 1 的二次三项式—— cbxa2条件：（1） 2a11（2） c22（3） 11b分解结果： =x2 ))((2cxa例 7、分解因式： 1032分析： 1 -23 -5 （-6）+（-5）= -11解： =2x)5(x练习 7、分解因式：（1） （2）67522732x（3） （4）310 106y（三）二次项系数为 1 的齐次多项式例 8、分解因式： 228ba分析：将 看成常数，把原多项式看成关于 的二次三项式，利用十字相ba乘法进行分解。

1 8b1 -16b 8b+(-16b)= -8b解： =228ba)16(8)]16([bab= )(练习 8、分解因式(1) (2) (3)223yx2nm2a（四）二次项系数不为 1 的齐次多项式5例 9、 例 10、2267yx 232xy1 -2y 把 看作一个整体 1 -1 xy2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= 解：原式=)3)()(xy练习 9、分解因式：（1） （2）224715yx862a综合练习 10、 （1） （2）36x 22151yx（3） （4）10)()(2yx 34)(ba（5） （6）2y42 nmnm（7） （8）34x 222 )(10)(3)(5ba（9） （10）1062yx22 )()(1)(y思考：分解因式： abcxabcx2五、换元法。

例 13、分解因式（1） 205)1205(xx（2） 63)1(解：（1）设 2005= ，则原式=aa(= )= 2051205x（2）型如 的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相ebcd乘原式= 222)6)(7(xx设 ，则A65xA7∴原式= == =2)(2)(练习 13、分解因式（1） )(42yyx（2） 90383x6（3） 222)3(4)5()1( aa例 14、分解因式（1） 6234xx观察：此多项式的特点——是关于 的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称” 这种多项式属于“等距离多项式” 方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法解：原式= =)12(2xx6)1()(2x设 ，则t1t∴原式= =6)2（ 02= =5tx 215xx= =1·· 12x= )2()1(2xx（2） 434解：原式= =2211412xx设 ，则yx12yx∴原式= =2(43)(1)3= =122x练习 14、 （1） 6776234xx（2） )(12六、添项、拆项、配方法。

例 15、分解因式（1） 432x解法 1——拆项 解法 2——添项原式= 原式=23x 43xx= = )1()1)( )()(= = =11=42)27= =2)(1x 2)(1x（2） 369解：原式= )()1()(369x= )()(33xx= 13= 2)()(62练习 15、分解因式（1） （2）893x 424)1()()(xx（3） （4）17242a（5） （6）)(y422 cbacab七、待定系数法例 16、分解因式 613622yxyx分析：原式的前 3 项 可以分为 ，则原多项)2(yx式必定可分为 ))((nm解：设 =22 )(nm∵ =)(yxyx myx)3(622∴ =136nn)((22对比左右两边相同项的系数可得 ，解得6132m32∴原式= )3)(23(yx例 17、 （1）当 为何值时，多项式 能分解因式，并分652yx解此多项式。

2）如果 有两个因式为 和 ，求 的值823bxa12ba（1）分析：前两项可以分解为 ，故此多项式分解的形式)(yx必为 )((by8解：设 =652ymx))((byxa则 = ay(2比较对应的系数可得： ，解得： 或6ab13m2∴当 时，原多项式可以分解；1当 时，原式= ；m))(2(yx当 时，原式=3（2）分析： 是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相823bxa乘，因此第三个因式必为形如 的一次二项式c解：设 = )(2)1(x则 =23 c233∴ 解得 ，8cba47cba∴ =21练习 17、 （1）分解因式 2910322yxxy（2）分解因式 675（3） 已知： 能分解成两个一次因p4式之积，求常数 并且分解因式p（4） 为何值时， 能分解成两个一k 2322yxkxy次因式的乘积，并分解此多项式第二部分：习题大全经典一：一、填空题1. 把一个多项式化成几个整式的_______的形式，叫做把这个多项式分解因式2 分解因式： m 3-4m= .3.分解因式： x 2-4y2= __ _____.4、分解因式： 4x=___________ ______。

95.将 xn-yn 分解因式的结果为(x 2+y2)(x+y)(x-y)，则 n 的值为 . 6、若 5,6y，则2x=_________，2xy=__________二、选择题7、多项式 3223150mnn的公因式是( )A、 B、 C、 5 D、 2m8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( 。