琴生不等式【介绍】和相关高考例题.pdf

旗开得胜 读万卷书 行万里路 1 琴生不等式（Jensen Inequality）是以数学家（Johan Jensen）命名的，给出积分的 值和凸函数的积分值间的关系的数学名词 1概述 1.若是区间上的，则对任意的，有不等式: 有当且仅当时等号成立 2.若是区间上的 ，则对任意的 ，有不等式: 有当且仅当时等号成立 3.其加权形式为： 若是区间上的凸函数，则对任意的，且 ，有 旗开得胜 读万卷书 行万里路 2 若是区间上的凹函数，则对任意的，且 ，有 备注：对于函数凹凸性与上凸、下凸的：凸=下凸= ，形如；凹=上凸= ，形如 . 2应用 有了这个结论以后，使用琴生不等式就非常方便了， 如今我们可以非常容易的证明一般情况的平均不等式 比如 i). ii). iii). 旗开得胜 读万卷书 行万里路 3 其中前面两个取就可以了 后面一个取就可以了 举一个简单的例子：在中为凸函数（国外教材定义；若为凹函数，则国 内教材定义），如图所示： 同时，值得注意的是，上凸、下凸、凹、凸的含义是不同的如图： 涉及概率密度函数的形式 假设 是实线的可测子集，f（x）是一个非负函数 在概率语言中，f 是。

然后 Jensen 的不等式变成了关于凸积分的下面的陈述： 如果 g 是任何实值可测函数且 在 g 的范围内是凸的，那么： 如果 g（x）=x，那么这种不等式的形式可以简化为一个常用的特例： 旗开得胜 读万卷书 行万里路 4 例如随机变量的偶数矩 如果 g（x）=x，并且 X 是一个随机变量，那么 g 是凸的 所以 特别是，如果有的甚至瞬间 2N 的 X 是有限的，X 具有有限的均值这个论证的延伸表 明 X 具有每个阶的有限矩划分 替代有限形式 令 = x1，...xn，并且以 为 上的计数度量，则一般形式简化为关于和的声明： ， 条件是 i0 和 还有一个无限的离散形式 旗开得胜 读万卷书 行万里路 5 统计物理学 当是指数函数时，Jensen 不等式在中特别重要，给出： ， 其中期望值是关于随机变量 X 中的一些概率分布 这种情况下的证明非常简单（参见 Chandler，第 5.5 节）理想的不平等直接来自书写 displaystyle operatorname E left e X rightname = E operatorname E X operatorname E X 右 然后应用不等式 1 +X 至最终指数。

信息论 如果 p（X）是用于真正的概率分布 X 和 q（X）是另一种分布，然后施加 Jensen 不等 式随机变量 （X）=q（X）/p（X）和函数 （）= -log（y）给出 因此： 旗开得胜 读万卷书 行万里路 6 一个称为不平等的结果 它表明，当代码是基于真实概率 p 而不是任何其他分布 q 分配时，平均消息长度被最小 化即非负的量被称为相对熵的 q 从 p 由于-log（X）为严格凸函数 X 0，它遵循：当等号成立 p（X）等于 q（X）几乎无处 不在 RaoBlackwell 定理 主要文章：Rao-Blackwell 定理 如果 L 是一个凸函数，一个亚代数，然后，从 Jensen 不等式的条件版本中，我们可 以得到 所以如果 （X）是给定一个可观测量向量 X 的未观测参数 的;如果 T（X）是 的;那 么可以通过计算获得改进的估计量，即具有较小的预期损失 L 的意义 ，相对于 的期望值 在所有可能的观察值向量 X 上都可以与观察到的相同的 T（X） 值相匹配 这个结果被称为 Rao-Blackwell 定理 旗开得胜 读万卷书 行万里路 7 旗开得胜 读万卷书 行万里路 8 旗开得胜 读万卷书 行万里路 9 旗开得胜 读万卷书 行万里路 10 旗开得胜 读万卷书 行万里路 11 旗开得胜 读万卷书 行万里路 12 旗开得胜 读万卷书 行万里路 13 旗开得胜 读万卷书 行万里路 14 旗开得胜 读万卷书 行万里路 15 旗开得胜 读万卷书 行万里路 16 旗开得胜 读万卷书 行万里路 17 旗开得胜 读万卷书 行万里路 18 旗开得胜 读万卷书 行万里路 19 旗开得胜 读万卷书 行万里路 20 当我们在使用琴生不等式遇到困难时,往往会出现这个函数在某半段区间 内是上凸的，而另外半段区间内是下凸的情形时我们可以使用的半凹半 凸 定 理 ; 有 兴 趣 的 读 者 自 行 网 上 查 阅 , 但 事 实 上 是 这 种 定 理 及 其 证 明过程中给我们带来的某种调整的想法,高考命题者并不是想考你琴 生不等式,而是希望你运用高中所学的知识来解决,一般是通过 代数变形后构造函数来处理.希望读者能够学习其精髓,在做题中运 用恰当，做题时会起到很好的效果 。