用二分法求方程的近似解+课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册.pptx

4.5.2,用二分法求方程的近似解,数学,学习目标,1,.,通过具体实例，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解,(,给定精,确,度,),，体会二分法的思想，了解这种方法是求方程近似解的常用方法,.,2.,通过具体实例，归纳概括二分法的实施步骤，并用准确的数学语言表述出来,，,通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件,.,学习,重难点,重点：,二分法的原理，用二分法求方程近似解的一般步骤,.,难点：,对利用二分法求函数零点近似值的原理及精确度的理解,.,【设置悬念】在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的线路发生了故障，这是一条10 km长的路线，如果沿着线路一小段一小段地查找，困难很多.每查一个点要爬一次电线杆，10 km长的线路大约有200多根电线杆.,可是维修线路的工人师傅只要至多爬7次电线杆就能,确定出故障的很小范围,，你知道他是如何做到的吗？,如图所示，他首先从线段,AB,的中点,C,开始查，用随身带的话机向两端测试时，若发现,AC,段正常，则可断定故障在,BC,段，再到,BC,段的中点,D,，若这次发现,BD,段正常，则故障在,CD,段，再到,CD,的中点,E,来查.,每查一次，可以把待查的线段缩减一半，所以要把故障可能发生的范围缩小到50100 m，即一两根电线杆附近，只要7次就够了.,【情境问题】,思考1上述情景中，工人师傅是通过什么方法缩小故障范围的？,答案：二分法.,思考2工人师傅选择下次在哪个范围内爬电线杆的关键是什么？,答案：确立故障的范围.,思考3如果把故障可能发生的范围缩小在200 m左右，至多需要爬几次电线杆？,答案：6次.,x,1,2,3,4,5,6,7,8,9,f,(,x,),4,1.307,1.099,3.386,5.609,7.792,9.946,12.079,14.197,【结论】,函数只有一个零点，,落在区间,(2,3),内,.,【问题】,如何求出这个零点？,函数,f,(,x,),=,ln,x+,2,x-,6,部分对应值表如下,，那么这个函数有几个零点，落在哪个区间内,？,根据下表给出的数据求出方程的近似解（精确度为,0.1,）,.,零点所在区间,中点的值,中点函数近似值,区间长度,2.5625,0.066,2.53125,0.009,（,2,，,3,）,2.75,2.625,0.084,0.512,0.215,2.5,（,2.5,，,3,）,（,2.5,，,2.75,）,（,2.5,，,2.625,）,缩小范围,零点在,（,2,3,）,（,2.5,3,）,（,2.5,2.75,）,1.算中点,2,.找异号,零点所在区间的长度,求函数,f,(,x,)=ln,x,+2,x,-6,的零点的近似解,（精确度为,0.1,）,.,根据下表给出的数据求出方程的近似解（精确度为,0.1,）,.,零点所在区间,中点的值,中点函数近似值,（,2,，,3,）,2.75,2.625,2.5625,0.084,0.512,0.215,0.066,2.5,（,2.5,，,3,）,（,2.5,，,2.75,）,（,2.5,，,2.625,）,（,2.5,，,2.5625,）,1,0.5,0.25,区间长度,0.125,0.0625,2.53125,0.009,问题,:,若给定精确度,，如何选取近似值？,说明,:,由,|,a,-,b,|,可知，,区间,a,b,中任意一个值都是零点,x,0,的满足精确度的近似值,.,为了方便,统一取区间端点,a,(,或,b,),作为零点的近似值,.,根据下表给出的数据求出方程的近似解（精确度为,0.1,）,.,零点所在区间,中点的值,中点函数近似值,（,2.5,，,3,）,（,2.5,，,2.75,）,（,2.5,，,2.625,）,（,2.5,，,2.562 5,）,2.53125,0.009,（,2,，,3,）,2.75,2.625,2.5625,0.084,1,0.5,0.25,0.125,0.062 5,0.512,0.215,0.066,2.5,区间长度,|2.562 5,2.5|=0.062 5,0.1,方程的近似解为,2.562 5.,对于区间,a,b,上图象,连续不断,且,f,(,a,),f,(,b,)0,的函数,y,=,f,(,x,),，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做,二分法,.,【小试牛刀】,例1下列图象所表示的函数中能用二分法求零点近似值的是（,）,【解析】,A,中,函数无零点,.,B,和,D,中,函数有零点,但它们在零点左右两侧的函数值符号均相同,因此它们都不能用二分法来求零点的近似值,.,而在,C,中,函数的图象是一条连续不断的曲线,图象与,x,轴有公共点,并且在零点的左右两侧的函数值符号相反,.,故选,C,.,C,跟踪训练1,若函数,f,(,x,)的图象如图所示，则其中零点的个数与可以用二分法求近似值的零点个数分别为(),A4,4,B3,4,C5,4 D4,3,D,【解析】,函数的图象与,x,轴有,4,个公共点,所以零点的个数为,4;,左右两侧函数值异号的零点有,3,个,所以可以用二分法求近似值的零点个数为,3,.,故选,D,.,思考,(,1,),用二分法求函数的零点时，函数需要满足什么条件呢？,提示：函数需要满足的前提条件是,f,(,x,)在区间,a,，,b,上的图象连续不断.,在区间,a,，,b,端点的函数值满足,f,(,a,),f,(,b,)0.,（2）在庄子天下中有一句话“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，若给木棒规定一个长度，是否就可以停止“取半”？同样，若给区间规定一个长度，是否也可以结束周而复始的运算？,提示：可以，所以二分法求函数的零点近似值时，规定了精确度.,用二分法求函数零点近似值的步骤：,给定精确度,，用二分法求函数,f,(,x,)零点,x,0,的近似值的一般步骤如下：,第一步，确定零点,x,0,的初始区间,a,，,b,，验证,f,(,a,),f,(,b,)0.,第二步，求区间(,a,，,b,)的中点,c,.,第三步，计算,f,(,c,)，并进一步确定零点所在的区间：,(1)若,f,(,c,)0，（此时,=,）则,c,就是函数的零点；,(2)若,f,(,a,),f,(,c,)0，则令,b,c,(此时,x,0,(,a,，,c,)；,(3)若,f,(,c,),f,(,b,)0，则令,a,c,(此时,x,0,(,c,，,b,),第四步，判断是否达到精确度,：即若|,a,b,|,，则得到零点近似值,a,(或,b,)；否则重复第二至第四步,1.,二分法定义,二分法是求函数零点近似值的一种计算方法,.,二分法渗透了逼近的数学思想,.,2.,利用二分法求方程近似解的操作步骤：,（,1,）确定初始区间,a,，,b,；,（,2,）取区间的中点,c,；,（,3,）计算,f,(,c,),并确定缩小后的区间；,（,4,）循环进行，达到精确度,.,归纳反思,例,2,证明函数,f,(,x,),=,2,x,+,3,x-,6,在区间,(1,2),内有唯一零点,并求出这个零点的近似值,(,精确度为,0,.,1),.,解,f,(1),=,1,0,即,f,(1),f,(2),0,，,f,(1),f,(1,.,5),0,，,f,(1),f,(1,.,25),0,x,0,(1,1,.,25),.,取,x,3,=,1,.,125,，,f,(1,.,125),0,.,444,0,，,f,(1,.,125),f,(1,.,25),0,，,x,0,(1,.,125,1,.,25),.,取,x,4,=,1,.,187,5,，,f,(1,.,187,5),0,.,160,0,，,f,(1,.,187,5),f,(1,.,25),0,，,x,0,(1,.,187,5,1,.,25),.,|,1,.,25,-,1,.,187,5,|=,0,.,062,5,0,.,1,可取,x,0,=,1,.,25,则函数的零点的近似值可取为,1,.,25,.,跟踪训练,2,用二分法求函数,在区间,（,0,1,）内的零点近似值，要求精确度为,0.01,时，所需二分区间的次数最少为（）,A.5,B.6,C.7,D.8,解析：,区间,(,0,1)的长度等于1,每经过一次操作，区间长度变,为原来的一半，经过,n,次操作后，区间长度变为,.,因为精确度为,0,.01,所以,0.01.又,n,所以,n,7,，,所需二分区间的次数最少为7.,故选,C.,C,例3,用二分法求方程2,3,30的一个正实数近似解(精确度是0.1).,解,令,f,(,x,),=,2,x,3,+,3,x-,3,经计算,，,f,(0),=-,3,0,，,因为,f,(0),f,(1),0,，,函数,f,(,x,),的图象是一条连续不断的曲线,，,所以函数,f,(,x,),在区间,(0,1),内存在零点,x,0,.,取区间,(0,1),的中点,0,.,5,，则,f,(0,.,5),0,因为,f,(0,.,5),f,(1),0,所以,x,0,(0,.,5,1),.,如此继续下去,得到方程的正实数解所在的区间,如下表,:,零点所在区间,中点的值,中点函数值符号,(0,1),0,.,5,f,(0,.,5),0,(0,.,5,0,.,75),0,.,625,f,(0,.,625),0,(0,.,625,0,.,75),0,.,687,5,f,(0,.,687,5),0,则,x,0,(0,.,687,5,0,.,75),.,因为,|,0,.,687,5,-,0,.,75,|=,0,.,062,5,0,.,1,所以方程,2,x,3,+,3,x-,3,=,0,的一个正实数的近似解可取为,0,.,687,5,.,【规律方法】用二分法求方程的近似解，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的解，又要使其长度尽量小，其次要依据给定的精确度，及时检验所得区间的长度是否达到要求(达到给定的精确度)，以决定是停止计算还是继续计算.,跟踪训练,3,用二分法求,2,x,x,4,在,1,，,2,内的近似解,(,精确度为,0.2).,参考数据：,，,，,2.594.,解：令,f,(,x,),2,x,x,4,，则,f,(1),2,1,40,则函数零点,x,0,(1,.,375,1,.,5),.,|1.3751.5|0.1250,(1，1.5),1.25,0.370,(1.25，1.5),1.375,0.0310,1,.用二分法求方程,2的近似解时，可以取的一个区间是（）,A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）,2.在用二分法求函数,f,(,x,)零点,的,近似值时，第一次所取的区间是3，5，则第三次所取的区间可能是（）,A1，5B2，1C1，3D2，5,3.求方程,2,x,30在区间（1，2）内的实数,解,，用二分法确定的下一个有,解,的区间是_.,（,1.5，2）,B,C,4.,以下是用二分法求方程,+3,x,50的一个近似解（精确度为0.1）的不完整的过程，请补充完整,解：设函数,f,（,x,）,+3,x,5，其图象在,定义域,R,上是一条连续不断的曲线,，且,f,（,x,）在,R,上是单调递,_,(,填,“,增,”,或,“,减,”),先求,f,（0）,_,，,f,（1）,_,，,f,（2）,_,所以,f,（,x,）在区间,_,内存在零点,，再填写下表：,（可参考条件：,f,（1.125）0，,f,（1.1875）0；符号填+、）,区间,中点,的值,中点函数值,符号,区间长度,因为,0.1,所以原方程的近似解可取为,.,区间,中点的值,中点函数值符号,区间长度,(1,2),1.5,+,1,(1,1.5),1.25,+,0.5,(1,1.25),1.125,-,0.25,(1.125,1.25),1.187 5,+,0.125,(1.125,1.187 5),0.062 5,答案,:,增,-,5,-,1,9,(1,2),|,1,.,187 5,-,1,.,125,|=,0。