n次方根与分数指数幂+课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册.pptx

第四章 指数,4.1.1,n,次方根与分数指数幂,数学,学习目标,理解并掌握根式的概念、分数指数幂的概念,掌握根式与分数指数幂的互化,掌握有理数指数幂的运算性质,学习,重难点,重点：,理解,n,次方根及根式的概念，掌握根式的性质,;,有理数指数幂的含义及运算性质,.,难点：,根式与分数指数幂的关系的理解与运用,.,牛顿是大家所熟悉的物理学家，可是你知道他在数学上的贡献吗？,他在1676年6月13日写给莱布尼茨的信里说：“因为数学家将,aa,，,aaa，aaaa,，写成,a,2,，a,3,，a,4,，,，所以可将,，,，,，写成,，,，,，将,，,，,，写成,，,，,，”，这是,牛顿首次使用任意实数指数,.,情境,公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示，希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数,的诞生.,思考1,边长为1的正方形的对角线长多少？,思考,2,4,的平方根是什么？任何一个实数都有平方根吗？一个数的平方根有几个？-27的立方根是什么？任何一个实数都有立方根吗？一个数的立方根有几个？,如果,=,，那么,叫做,的平方根，例如，,就是4的平方根，,如果,，那么,叫做,的立方根，例如，2就是8的立方根，,类似的，,16，我们可以把2叫做16的4次方根，,32，2叫做32的5次方根？,n次方根的定义：,一般地，如果,=,，那么,叫做,的n次方根，其中,且,.,归纳新知,【合作探究】,求值：,（1）-8的立方根=_，,（2）16的4次方根=_，,（3）32的5次方根=_，,（4）-32的5次方根=_，,（5）0的7次方根=_，,（6）,的立方根=_,.,-2,2,-2,0,思考,3,（1）一般地，当n为奇数时，实数a的n次方根存在吗？有几个？如关于,的方程,，分别有解吗？,(2)一般地，当n为偶数时，实数a的n次方根存在吗？有几个？如关,于的方程,，分别有解吗？有几个解？,(1)当n为奇数时,实数,a,的n次方根存在,方程有一个解；,(2)当n为偶数时,当,a,0，方程有两个解；当,a,=0，方程有一个解；当,a,1).,(4),a,(n为大于1的奇数).,(5),|,a,|,(n为大于1的偶数).,归纳新知,求下列各式的值,.,（1）,，（2）,，（3）,，（4）,.,【,例,2】,解,（,1,）,=-8.,（2）,=|-10|=10.,（,3,）,=|,|=,（4）,=|,|=,化简,.,【,变式,训练,1】,解,原式|,x,3|(,x,3)，,当,x,3时，原式6；,当,x,0,）,.,这些式子正确吗？,分数指数幂的性质：,（1）规定正分数指数幂的意义，即,=,例如,=,.,（2）规定负分数指数幂的意义，即,=,注：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.,（3）整数指数幂的运算性质，对于分数指数幂也同样适用，如,=,=,=,a0,b0,r,.,归纳新知,求值,：,；,(2),解,=,=,=,4,.,2,=,=,=,.,【,例,3】,计算：(1),;(2),.,解,=,=,=,.,2,=,.,【,变式训练,2】,【,反思感悟,】,分数指数幂的运算技巧,1.,对于既含有分数指数幂,又含有根式的式子,一般把根式统一化成分数指数幂的形式,以便于计算,.,如果根式中的根指数不同,也应化成分数指数幂的形式,.,2.,对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数,.,用分数指数幂的形式表示并计算下列各式（其中,a,0）,.,（,1,）,;(2),.,解,(1),=,.,(2),=,=,.,【,例,4】,下列根式与分数指数幂的互化正确的是(),A.,=,B.,=,C.,=,D.,=,C,【,变式训练,3】,【,反思感悟,】,根式与分数指数幂的互化,（,1,）根指数化为分数指数的分母，被开方数,(,式,),的指数化为分数指数的分子,（,2,）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题,计算下列各式（式中字母均是正数）：,【,例,5】,化简:,.,解,原式,=,=,=,.,【,变式训练,4】,【,反思感悟,】,利用指数幂的运算性质化简求值的方法,(1),进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序,(2),在明确根指数的奇偶,(,或具体次数,),时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算,(3),对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示,1下列说法正确的个数是(),16的4次方根是2；,的运算结果是2；当n为大于1的奇数时，,对任意,a,R都有意义；当n为大于1的偶数时，,只有当a0时才有意义,A1,B2,C 3,D4,2已知,2，则m的值为(,),A.,B,C,.,D,3.把根式,a,化成分数指数幂是(),A,B,C-,D,4.,_.,评价反馈,B,D,D,1,课堂小结,总结归纳,我们今天都讲了哪些知识？,1,.,分数指数幂的概念（与整数指数幂对比，有何差异，注意不能随意约分）,.,2,.,分数指数幂的运算性质，进而推广到实数指数幂的运算性质,.,3,.,根式运算时，先化为指数形式进行运算，原式为根式的，再将结果化为根式.,4.结论：（,1,）当n为任意正整数时，,a,；,（,2,）当n为奇数时，,a；,（3）当n为偶数时，,|,a,|,（4）,.,认真整理课本所讲内容，形成知识脉络,.,预习下节内容,.,。